中小微企业信贷决策的数学模型

蔡正群，张经伟，黄昭，宛庆

（1.安徽建筑大学 外国语学院，安徽 合肥 230601；2.安徽建筑大学 机械与电气工程学院，安徽 合肥 230601；3.安徽建筑大学 经管学院，安徽 合肥 230601）

中小微企业一般规模较小，抵押资产较少。银行为了降低借贷风险，会对中小微企业进行信贷风险评估，依据信贷风险等因素来确定是否放贷及贷款额度、利率和期限等信贷策略。本文主要讨论银行如何评估信贷风险并制定信贷策略。

企业的生产经营和经济效益可能会受到一些突发因素影响，而且突发因素往往对不同行业、不同类别的企业会有不同的影响。综合考虑以上所有因素对各企业的影响，给出银行在年度信贷总额为1 亿元时的信贷策略。

本文采用2020 年全国大学生数学建模竞赛C 题中的数据，具体数据详见网址http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/10405905647c52abfd6377c031 1632b5.html。建立模型量化信贷风险，确定信贷决策，并考虑突发因素的影响，对信贷决策进行调整。所建立的模型及思想可以推广到多因素对某一事物的影响研究，量化多因素的影响，确定多因素的影响权重，最终得出多因素如何影响这一事物以便做出决策等。

1 建模准备

信贷风险由中小微型企业的实力、信誉确定，首先将两个指标进行量化，再将两者建立联系，表示出信贷风险，即量化信贷风险。考虑突发因素的影响时，用新冠病毒疫情对各行各业的影响代表突发因素的影响，合理处理数据将突发因素量化，加入原先建立的关系中，创建新的关系表达式，使得信贷风险再次被量化。最后将信贷风险与贷款额度、利率、期限等因素综合考虑，从高到低按比例分为五个等级，得出具体的信贷策略。

1.1 合理假设

（1）假设贷款期限都为一年；

（2）假设年利率根据企业信誉分等级之后不再变化；

（3）假设突发因素可以用新冠疫情代表；

（4）假设企业可以大致分为工程、科技、贸易、娱乐、服务五个行业；

（5）假设发票金额为负数的发票定义为负数发票；

（6）假设企业可分为个体经营、非个体经营两类别。

1.2 变量及符号

该模型中用到的变量及符号见表1：

表1 主要变量符号及意义表

2 基于AHP 的多元线性回归模型的建立

2.1 基于模糊综合评价分析量化信誉

为了寻找到合适的指标来量化信誉，根据全国大学生数学建模比赛的数据，将有效发票数目、（有效票数-负数票数）/有效发票数作为模糊综合评价的两个因素集：

设评判因素的等级集为：

V 中包含A、B、C、D 四个等级，A 代表信誉高，B 代表信誉较高，C 代表信誉中等，D 代表信誉低。

通过用专家评分法对各类专家征询调查、计算得到如下单因素评判矩阵：

继续用专家评分法，确定评判因素的权数：

式（1）中a为第k 个专家对第j 个企业第i个评判因素的权数分配。测得j 个公司的评判因数为：

进行矩阵运算得出模糊综合评价结果T：

依据最大隶属度原则，可知企业E423 的信誉等级为C 级。同理可得出所有企业的信誉等级见表2。

表2 302 家企业信誉表

将信誉划分为高、中高、中、中低、低五个等级，用MATLAB 将数据做成图1，可以清晰地表示出各等级企业所占比例。

图1 302 家企业信誉等级图

2.2 量化实力

将企业的实力用利润（利润=销项发票的价税合计总数-进项发票的价税合计总数）表示，利润数值越大，实力越强，经过计算处理得到302 家中小微企业实力强弱，具体结果详见表3。

表3 302 家企业实力强弱表

2.3 基于灰色预测法量化突发因素

由于所给数据有限，分析得新冠病毒疫情的爆发可作为突发因素。选取2019 年11 月至2020 年2 月的4 个月作为疫情期间，由于2 月达高峰期，4 个月数据偏少，于是预测出3 月的利润。计算出11 月、12 月、1 月、2 月、3 月这5 个月期间销项发票价税合计总值，分析疫情对各行各业造成的影响。再继续根据疫情、实力、信誉这3 个指标量化信贷风险，调整信贷决策。

为将突发因素的影响大小与信贷风险进行联系，建立多元线性回归模型。利用灰色预测法预测出三月份的利润后，用每个行业的利润的大小来表示疫情的影响大小，再将预测出的利润进行归一化处理，得到疫情对行业的影响大小。

2.3.1 数据的检验与处理

建立企业利润时间序列如下：

序列的级比：

由于所有的 λ ( k ) ∈[0.34,5.32],k=2,3,4所以符合级别判断。

2.3.2 G（1，1）建模对原始数据x做一次累加，得：

构造数据矩阵J 及数据向量Y，得：

计算：

得出

2.3.3 建立模型及求解：

积分求解，得：

将302 家企业大致划分为五个行业，在每个行业中选取有代表性的企业，得到突发因素对行业的影响总结为下表4：

表4 行业影响表

表4 中科技、工程、贸易影响均为负值，表示这些行业均受疫情影响，且为不利影响，服务和娱乐行业影响为正值，表示这些行业受疫情影响为有利影响，可见因为疫情刺激了此类行业的国民消费。

2.4 基于AHP 的多元回归模型的建立

首先不考虑突发因素，将实力与信誉结合，量化信贷风险。建立多元线性回归模型，为了得到多元线性回归模型的系数，将判别函数的系数作为目标层，将信誉、利润和突发因素作为准则层，将每个因素对应的数据作为方案层，由AHP 算法得出各系数权重：

式（3）中CR'表示判别函数值，W、P 分别表示中小微企业的实力和信誉，x1，x2，x3 为零。所得CR'的值越高，信贷风险越低；CR'的值越低或为负数，信贷风险就越大。

通过F 检验，检验的F 值为4710481520108330000，查a/2 上分位表可知F（2，223）=3.7514，因而拒接原假设，模型整体上通过了检验。

再考虑突发因素，将预测出的每个行业二、三月份的销项发票的价税合计之差x1（代表突发因素对不同行业的企业的影响）作为影响信贷风险的一个因素，将根据专家的建议把个体企业对信贷风险的影响定为0.6，把公司企业对信贷风险的影响定为0.4（个体经营和非个体经营是企业的类别，设为x2）。

在式（3）上加入x1、x2，得到修改后的多元线性回归模型为：

x1 表示不同行业的企业受突发因素的影响因素，x2 表示不同类别的企业受突发因素的影响因素。

3 基于AHP 的多元回归模型的求解

将每一个企业的信誉、利润、不同行业的企业受突发因素的影响、不同类别的企业受突发因素的影响数据代入CR''中，再由MATLAB 编程可算出不同企业的信贷风险CR''的值见表5：

表5 302 家企业信贷风险值表

将表5 的信贷风险值从高到低分成五个等级，得出信贷风险等级表6：

表6 风险等级表

同样运用MATLAB 软件，将风险等级表做成风险等级占比图更直观，见图2。对比图1，可以清楚地发现风险占比图发生了变化，即突发因素对各行各业产生了影响。

图2 风险程度占比图

至此，实力、信誉、突发因素、信贷风险已全部量化，将信贷风险、贷款额度、年利率从高到低按比例分成五个等级（贷款额度按全国大学生数学建模C 题的数据为每个企业分配额为10～100 万，总额为一亿；年利率为4%～15%。），得到具体的信贷调整策略见表7。贷款额占比=对应等级企业数目*额度/总额。

表7 信贷策略表

4 总结

本文对信贷风险进行了量化分析，对大量数据进行科学处理，基于模糊综合评价分析量化信誉，将信誉划分为五个等级。由于数据较少，用灰色预测法预测算出受新冠病毒疫情影响的月份所需数据，巧妙地表示突发因素对各行各业的影响，灵活的调整信贷策略。基于层次分析法建立多元回归模型对信贷风险量化分析，使所得影响因素的权重更加合理，决策更加准确。通过将贷款额度、信贷风险、年利率等以分等级的方式进行信贷决策，决策层次清晰明了。将信贷风险分等级，根据风险等级进而确定不同信贷决策，没有将风险等级与决策建立准确函数关系，但本文建立的模型通过检验均可行，证明方法可行。