对人教版初中数学教材中一个问题探索的商榷

【摘要】文章对人教版初中数学“22.2二次函数与一元二次方程”课初“问题”进行了详细分析，分析发现“问题”存在人为添堵、逻辑颠倒、重心偏移等问题，研究者针对这些问题提出了相应的优化建议.

【关键词】人教版;初中数学;函数与方程

近日，在区九年级数学教研会上某老师执教人教版九年级数学课例《22.2二次函数与一元二次方程》时，执教者按照教材呈现的内容顺序精心演绎时，感觉前半段学生久久不能进入状态而且费时太多——学生懵，教师费力，教学目标达成效果差，这让笔者十分疑惑.在评课环节，许多九年级数学老师反映自己上课时也有类似现象，费时费力效果还差.为了彻底弄明白个中缘由，笔者对相关教材进行了仔细研读分析，现将分析所悟及优化建议呈现出来，供教材再版时参考.1问题及其分析

问题如图22.21，以40m/s的速度将高尔夫球沿与地面成30°角的方向击出时，高尔夫球的飞行轨迹将是一条抛物线.不考虑空气阻力的情况下，高尔夫球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h=20t-5t2.图22.21

考虑以下问题：

（1）高尔夫球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）高尔夫球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）高尔夫球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）高尔夫球从飞出到落地要用多少时间？（下称题1）

1.1教材分析

人教版九年级上册教材“22.2二次函数与一元二次方程”一节呈现顺序，导语后就是题1.在这个题中，将某一高度的数值（具体）代入函数解析式，就转化为求一元二次方程的根.由此引出，已知二次函数的值求自变量的值，就可以看作解一元二次方程;反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=0就可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量x的值.然后利用二次函数的图象（抛物线）讨论一元二次方程的根.教材中段再由“思考”栏目鼓励学生去发现本节课的规律（本节课重点）.最后由一个例题介绍怎样用二次函数的图象去求一元二次方程的根.

从教材呈现顺序看，题1是这节课课首的实际探究问题，此处以一个具体的生活情境（打高尔夫）来作为课首探索问题，编者意图是凸显“二次函数与一元二次方程联系密切”，让学生初步体验应用二次函数与一元二次方程的关系解决生活问题的流程，增强他们的应用意识，同时为顺利导出本节课重点（二次函数与一元二次方程联系的结论）作好过渡.

1.2解法分析

题1中几个小问题都可用一元二次方程求解，从函数解析式（数的角度）看，就是已知函数值求自变量的值，从函数的图象（形的角度）看，就是求直线h=k（k≥0）与抛物线h=20t-5t2的公共点的横坐标.如人教版配套《教师教学用书》所言，在（1）中，属于一元二次方程有两个解的情形，从“数”看，就是把自变量换成这两个数值时函数值等于15，从“形”看，就是直线h=15与抛物线h=20t-5t2有两个公共点;在（2）中，属于一元二次方程有两个相同的解的情形，从“数”看，就是当自变量取这个值时函数值为20，从“形”看，就是直线h=20与抛物线h=20t-5t2有一个公共点;在（3）中，属于一元二次方程无实数解的情形，从“数”看，就是当自变量取任何实数值时函数值都不会为20.5，从“形”看，就是直线h=20.5与抛物线h=20t-5t2没有公共点;在（4）中，属于一元二次方程有两个解的情形，从“数”看，就是自变量取这两个值时函数值都为0，从“形”看，就是直线h=0与抛物线h=20t-5t2有两个公共点.

1.3学情分析

“方程与函数”第一次出现在人教版八年级下册教材“19.2.3一次函数与方程、不等式”.孩子们从一个“具体”的函数——一次函数的角度看一元一次方程，初步有了利用“函数与方程联系”可以更好地解决相关问题的成功体验.本节课为人教版九年级上册第二十二章二次函数中的章末内容，通过探究另一个“具体”函数——二次函数与一元二次方程的联系，再次展现利用具体函数与方程的联系解决相关问题的巧妙之处（数学结合思想），这样安排一方面可以深化学生对前一章“一元二次方程”的认识，另一方面又可以运用本章二次函数图象求解一元二次方程，打通二次函数（形）与一元二次方程（数）的联系.以上是基于教材前后关联进行的学情分析，是包括笔者在内的诸多一线教师展开教学的基本依据[2].

2问题教学的困惑

2.1人为添堵

本课的重点是二次函数与一元二次方程的联系，属于本章的一个难点，因为对于“函数与方程”的关系来说，在八下“一次函数与方程”时就是学生的一个难点——首次用“形”来解释“数”，教材上仅仅就是简单的一大段示例的内容让学生去理解两者的关系（从函数的角度看解一元一次方程），老师们普遍感觉教学困难，到最后只有达成共识——只要学生会解题就够了.

对于第二次呈现函数与方程的联系，人教版教材本课的导入非常贴近学生学情，“以前从一次函数的角度看一元一次方程，认识了……的联系.本节将从二次函数的角度看……，认识……的联系”.编者引导意图明显：运用孩子们上学期的“一次函数与一元一次方程联系”（旧知）类比转场到“二次函数与一元二次方程的联系”（新知）.鉴于学生对八下“函数与方程”的学习内容已过去一学期了，教师普遍在处理“导入”时会举一个k、b为具体数字的一次函数图象解一元一次方程的例子，来唤醒学生尘封的旧知.

接着教材用“先来看下面的问题”一句话呈现出题1中4个小问.教材上给出“分析”：将题目中的h值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程并解之，再根据实际情况判断是否有符合4个小问的解.

学生解（或判断）4个方程的根显然是得心应手的，但还是需要花一定时间.接着思考教材上第1问步骤旁云朵中的问题“你能结合图22.21指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？”以及第2问旁云朵中问题“你能结合图22.21指出为什么只在一个时间小球高度为20m吗？”学生就感到棘手了：首先要把实际问题转化成数学模型（画直角坐标系），接着他们对h=15、h=20、h=20.5这三条直线的出现感觉是突兀的，心中往往有无数个为什么（它們是谁？来干什么？对本节新知识有何用？）真正到学生把心中堵点理解透彻时，这节课基本上都接近30分钟了.这儿难就难在从学生已有知识（直角坐标系中一条抛物线图象）怎么突然就跟一系列直线y=k发生了关系.说通俗点，直线y=k真的就是生硬地“砸”在孩子们面前，而且还是很多条，这真正成了本节课学生的堵点和痛点.

2.3重心偏移

人教版教材中，题1被安排在本节课课初导入后，以“问题”为驱动，其作用就是说明“二次函数与一元二次方程联系密切”，事实也如此，学生遇到实际问题马上就开始联立方程求解了，如果仅从数的角度来看，题1的教学目标是基本实现了.然而，实际教学中，让学生从图象的角度去理解时，学生们却集体滞后了，4个小问中“从形的角度去看数”大大耗费了学生们宝贵的时间（普遍超过20分钟），这样一来学生花大量时间感受“二次函数与一元二次方程联系密切”与探索发现“抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况”规律及运用此规律（独立练习）的时间分配严重本末倒置，重心偏移，这显然是不妥的.3优化建议

3.1类比到底，统一函数方程联系

函数与方程联系首次出现的方式是这样的：人教版教材八下“19.2.3一次函数与方程、不等式”一开始没有过多的实际问题，直接抛出一个“思考”：下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度求解这3个方程吗？接着呈现3个具体的一元一次方程和相关的一个一次函数图象.笔者认为，同一套教材应该保持前后一致.所以笔者建议教材再版时，可直接把题1删去（或放在最后，原因见下2），直接把本节教材中段“思考”前置于导入后直接呈现3个具体二次函数图象（学生的最近发展区）引导学生合作探究去发现“抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况”规律.这样设计有两个好处：一是顺应教材编排的体系，从具体到一般，做到了前后一致;二是让学生从最近发展区（二次函数图象、一次函数与一元一次方程联系）出发，螺旋上升的学习新知识，再一次真正体会数形结合思想的神奇.

3.2问题后移，丰富函数方程联系

把题1放在导入后的“问题”探究中，虽然遵循了“生活—数学—生活”知識认知历程，但对实际问题的探索占用了大量的教学时间（而下一节课还有“22.3实际问题与二次函数”，将深入探讨二次函数解决实际问题），反倒阻碍了孩子们对本节重点结论的探索理解和运用.因此笔者建议把难度较大的题1后移，放在本节课课尾拓展阶段，以“探究”（例题）的形式呈现，题目之前加一句话“刚才我们研究了抛物线y=ax2+bx+c与x轴（直线y=0）的交点情况，请问：y还可以取什么？”如此安排的意图是：系统化研究函数与方程的联系.探究时追问：抛物线与y=k（k>0）的交点情况;题1讲解完成后再追问：y还可以取什么？——拓展到抛物线与y=kx+b的交点情况.这样一系列曲径通幽的探究下去，最后豁然开朗：抛物线与y=kx+b的交点情况就是二次函数与一次函数的关系（从研究函数与方程联系到函数与函数联系之间的无缝完美切换）.从而让学有余力的学生可以窥见抛物线与直线相爱相杀的浪漫关系，无疑为学生系统掌握“函数与方程”埋下了精彩的伏笔，让教材例习题（问题）真正在培养数学核心素养的课堂上活起来[3].

3.3着眼未来，贯通函数方程联系

人教版教材八下“19.2.3一次函数与方程、不等式”的最后有一个“归纳”栏目：方程（组）与函数之间互相联系，从“数”（函数）的角度可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.此处编写者为孩子们开了“函数与方程”的一扇窗——孩子们，你们后续课程还会遇到这种类似情形的.而本节教材的最后却只是一个简单的“归纳”——“抛物线与x轴的三种位置关系”（二次函数的一个结论而已），没有留白，容易让人感觉“函数与方程”的研究就到此为止了.

笔者仔细研读了人教版高一A版（必修）数学教材发现，在高一上第三章“函数的应用”中有一节“3.1函数与方程”，本节以高一学生最熟悉的知识为“思考”导入——一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系？接着呈现了三对具体的函数（图象）与方程，让学生回忆出“二次函数的图象与x轴交点和相应的一元二次方程根的关系”（本节内容），接着教材用一句话“可以推广到一般情况.”让孩子们完美地从熟悉的初中旧知列车跨上了全新版的高中新知列车，顺势导出新知识“零点”以及发现函数与方程联系的一般情况（通性），并逐步形成“用函数观点处理问题的意识”.高一教材不仅希望学生在思想知识上有所收获，而且着眼于让孩子们感受到来自中外数学文化的熏陶，所以在“阅读与思考”栏目中，介绍了古今中外数学家在方程求解中所取得的伟大成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这样的编排既彰显了我国传统数学文化的魅力（让孩子们文化自信），又触发了学有余力的孩子继续探索函数与方程联系的源动力，编写者此处为孩子们留了一扇更大的拓展之窗，可谓用心良苦.因此，笔者建议再版时，此处可以延续八下（看齐高一）的留窗模式，可以站位更高一点，本节课题是“二次函数与一元二次方程”，最后教材末尾可以留下新的展望（寄语）：从八下研究“一次函数与一元一次方程”（具体函数）到今天的“二次函数与一元二次方程”（具体函数），你发现了函数与方程（一般函数）的联系规律吗？如果让你来设计，你将从哪些方面入手进行研究呢？这样具有挑战性的留白，首先让学生对“函数与方程”产生无尽的遐想，同时把主观能动性交给孩子们，让孩子们积极主动的数学思维如星星之火在高一相关新知识前就可能熠熠发光，更是将“函数与方程”从整体观念立意一以贯之[4]，这也正好关注了学生核心素养培养的连贯性，谋取了孩子们的长远利益.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]印冬建.对人教版初中数学教材中一道例题的商榷[J].中学数学（初中），2019（8）：34-35，62.

[3]李洪兵，刘志成.让教材例习题“活”起来[J].中学数学教学参考（中旬），2019（9）：35-38.

[4]张青云.“不学也会”的课如何教——对“字母表示数”一课的教学设计与思考[J].中国数学教育（初中），2020（7/8）：53-57.