指向“微观教学论”的数学实验教育研究

【摘要】在数学实验行为学范畴，以观摩课教学片断为行动载体，确立虚拟认知环境，探讨“微观教学论”的实践路径.微观教学论涵盖类比、联想和预见，涉及观察、实验、抽象与归纳等认知先行工具和二级因素因子.通过对“微观教学论”的恰当研究，实现“学好数学、学会审美”等高层次认知目标和高产出认知行为，促进“微观学”的充分发展.

【关键词】微观教学;数学实验;联想预见;虚拟认知环境

《吕氏春秋·慎大览第三》中《察今》一文指出，“察今可以知古”，以古察今，以所见知所不见.就数学实验来说，“察”就是观察与实验.欧拉说，“数学这门科学，需要观察，还需要实验”.高斯也说，他的许多定理都是靠归纳发现的，证明只是补行的手续.因此，观察与实验是“微观教学论”的一种通法，带有“敲门砖”的色彩意义，给“数学理解”带来不可替代的帮助.在数学实验行为学范畴，微观教学论涵盖类比、联想和预见，涉及观察、实验、抽象与归纳等先行工具意识和二级因素因子.

当然，微观教学论是一种实践性智慧.技艺精湛的数学教师，一般都需要研究“数学类比、数学发现、数学抽象、数学猜想、数学归纳和数学预见”等微观教学方法.只有这样，方能让学生在“类比”中发现，在抽象中“预见”，在预见中“获得实践智慧和健康生长”.在英国学者威廉姆看来，实践性智慧是“行动指向”（ActionOriented）、而非“结果指向”.数学实验作为“微观教学论”的实践智慧，其主要作用是帮助人们如何行动.

本文以观摩课教学片断为行动载体，在数学实验行为学范畴，探讨微观教学论的实践方法与行为路径（见图1），落实“学好数学、学会审美”的高层次认知目标和高产出认知行为.

1在“经历”中观察与抽象，获得直觉经验的“调用”能力

“经历”是行为动词，是认知观察与认知抽象的“触发器”，是直觉经验获得与“调用”的有效途径.譬如，从足球、魔方、礼品盒、易拉罐、斗笠等生活实物中抽象出球体、柱体和锥体的活动过程，就是观察与抽象的结果，就是一种认知“经历”及其认知心理活动.在数学实验教育学范畴，“经历”是在特定的数学活动中，获得一些感性认识.这里的“感性认识”就是一种直觉经验，是经历、思考、知觉、表象等思维的概括状态.在教学论维度，“经历”至少涵盖三个层面的意义：一方面，经历是一种观察，有助于学生产生“从天而降”的认知行为.在平时学习过程中，学生能“猜出来”的心理根据就是观察与经历.另一方面，经历是抽象的先行工具，是将“感性经验”上升为“理性认识”的必经之途.像经历“火柴棒”拼小鱼，建立代数关系及其方程模型（S=6n+2，其中n表示搭小鱼的条数，S表示搭n条小鱼所需火柴棒的根数），就是在“经历”中抽象的常见认知样例.第三方面，经历是知识迁移发生的心理前提，是新经验得以顺应的必备条件，是学生提出问题的思维桥梁，是学生获得“客观知识”和“精确结论”的有效手段.

当然，数学实验的根本任务是“提出问题”和“学会学习”.Silver指出，“问题提出”一是从一个情境或经验创造出新的问题（观察与抽象），二是对已经给的问题进行新的阐述或构想出新的问题（类比与联想）.譬如，“图形的密铺”这一数学实验设置的目的，原本是研究不同的多边形能组合铺设的条件，不经意从中揭示出“二元一次方程正整数解”的问题（如用边长相等的x块正三角形地砖和y块正方形地砖铺设地面，可得60x+90y=360，由此可知，该二元一次方程正整数解，就是在同一个点铺设地面需要的“正三角形”和“正四边形”的块数），就是构想出新问题的具体表现.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，重视学生的已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.其中，解决问题的过程在很大程度上实现了提出问题和“提出好问题”的目标.而“经历”是在特定的数学活动中，获得一些感性认识，是提出问题的知觉条件.为此，数学实验教育在“经历学习”层面需要关注三个方面的问题：一是通过“画图”，“调用”缓存经验，促进直觉经验的进一步发展;二是通过“算图”，促进直觉经验的有效转化，实现“落笔有据”的思维管理能力;三是通过“说图”，在知觉抽象的基础上建立直觉表象，并以此提高数学实验经验二次“调用”的心理水平.正如文[1]指出的那样，数学实验提高了学生数学学习能力，提升了学生数学学习品格，促进数学教师专业素养的发展，形成了初中生数学学习方式转变的“江苏经验”.

微观教学清样1

在研究“用相似三角形解决问题”的概念形成“反应块”时，执教者就是让学生在经历中观察，在观察中抽象，在“调用”经验的基础上获得直觉经验的调用能力.

具体实施过程如下：

首先呈现一些投影图片，讓学生感知平行光线物理投影的本质属性和现实意义.

其次，借助课本上的一个诊断题（苏科版《数学》九年级下册第82页“活动与交流”），类似于甲、乙、丙三人在同一时刻的太阳光线下站立状态，并给出甲的影长，要求“根据物高与影长成比例”原理，画出此刻乙和丙的影长.

数学活动

根据“物高与影子长成比例”的原理，通过测量算出旗杆的高度、建筑物的高度.

最后，设置了两个数学活动（见图2），旨在让学生经历观察与测量操作，在抽象的基础上，形成直觉经验及其直觉经验的调用能力.

就图2（1）来说，是关于“测量旗杆高度”的活动剪影，该问题可以这样描述：在阳光下，身高为1.68m的小丽在地面上的影长为2m.在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m.求旗杆的高度.

经历观察与抽象不难获得BE=18，CE=2，CD=1.68.根据“物高与影长成比例”原理，可得数学关系AB∶BE=CD∶CE，即AB18=1.682，至此借助算理算法，获得旗杆高度不困难（即旗杆AB的高度是15.12m）.

就圖2（2）来说，是另一类“测量建筑物高度”的活动剪影，该问题可以这样描述：在同一时刻，太阳光线经过建筑物顶端A照射在地面C处的镜子上，其反射光线经过高为1.65m竹竿DE的顶端E，设BC、CD的长分别为60m、3m.求这座建筑物的高度.

根据“光的反射原理”（即“入射角”等于“反射角”），不难知道△ABC∽△EDC，依据“相似三角形的对应边成比例”的性质，可得AB∶BC=ED∶DC，即AB60=1.653，由此可知该建筑物的高度是33m.

《利用GeoGebra软件开发高中数学实验课件》[2]一文指出，GeoGebra是一款“自由且跨平台”的动态数学软件，可在“实验设计、模型创建、输入输出、数据传递、界面优化、试用修改、操作指南、技术积累”诸环节发挥重要的作用.笔者将PPT执教平台转换为EN5智能技术认知环境，能让学生在恰当的虚拟信息平台，有效地经历“测量活动”的真实场景，实现了“自由活泼、界面优化”的学习目标.

如果说，虚拟测量是一种“微观学”的经历，则观察与抽象是一种经验“调用”的有效通道;如果说“画图”是一种抽象，那么“算图、说图”是一种直觉经验得以调用的表现.就这一认识来说，观察与抽象是数学实验教育生生不息的“思维细胞”，“经历”是形成直觉经验和调用直觉经验的行为机制的“思维砝码”，是数学实验有效发生的思维“中枢”，需要舍得、用好、用足.

2在“体验”中归纳与类比，获得直觉思维的“监控”能力

在数学实验教学法范畴，“微观教学学”[3]的研究对象以“教学”为主，研究方法以“实证”和“体悟”为主，研究目标以指导教学实践为主.“数学归纳和数学类比”是实证教学的先行思想工具，数学体验和“教好体验”是“体悟”认知的心理基础.譬如，通过“绳长井深问题”“篮球比赛问题”“年龄问题”“天平称重问题”的研究与抽象，建立不同形式的方程关系式，并对这些关系式的共性特征进行提炼、揭示与归纳，然后给出“描述性概念”，即“像这样……，叫做……”就是常见的数学归纳法.借助“一元一次方程”知识体系（概念、解法与应用）研究“一元二次方程”知识体系的过程就是类比，基于“线段的大小比较”（折纸、叠合与度量）研究“角的大小比较”也是类比方法的恰当使用.另外，数学规律的发现与概括需要归纳，是“不完全归纳运演”的常见样例.当然，归纳来源于数学体验，归纳与体验是一种“微观学”的通用技术，真正知识的获得、保持与迁移，离不开归纳，更离不开体验.譬如，研究“物高与影长成比例”原理时，让学生在虚拟环境中体验同一时刻阳光下的小树高度与影长的比存在定值，在相似变换思想的参与下，归纳得出“物高、影长的关系原理”，这就是在体验中归纳的实践样例.一般情况下，“体验”是指参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验.数学实验本身就是一种体验数学的好方法，能提高直觉经验的转化能力和恰当地进行直觉“监控”（你是怎么发现的？有没有更好的解答方法？等），落实学透概念、学好数学的课程教育目标.

李大潜院士认为，数学教育的本质是素质教育，学数学不是学定理、背公式，而是提高数学素养.提高“素养”不是凭空产生，需要参与体验数学活动、需要归纳和类比，需要直觉经验的监控与调用.有素养，意味着成熟的数学教师都会在不断的反问监控中，产生诸多新思想和新问题，而这些新问题、新路径、新思想往往是类比、归纳的思想产物.譬如，“打印纸中的数学”“测量旗杆的高度”“平面图形的密铺”“眼见未必为实”“数学与刺绣”等实验设计的确立都是直觉经验得以监控和调用的结果，是研究者善于归纳、善于类比、善于进行“有素养”教学的普遍形式.柯朗指出，一切数学的发展在心理上或多或少地是基于实际的（方程模型的建立就是基于实际应用的需要），但理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地使它自身获得发展的动力，并超越出直接使用的局限（分式方程的应用就突破了一元一次方程应用的局限，三等分角的问题、倍立方问题、圆化方问题得以解决是解析几何、代数理论以及对圆周率超越性认识的结果）.为此，在数学实验认知体验范畴，需要关注以下几个方面的思考：一是“舍得”给学生体验的时间，切实让学生理解概念“源于生活，服务生活”的课程目标;二是“用好”归纳与类比，让学生在一定层面形成结构化的直觉经验，并及时将感性经验上升为客观的理性思维;三是“恰当地”进行思维监控与认知调节，落实“知其然、知其所以然和知其所不然”的认知目标.

微观教学清样2

在研究“用相似三角形解决问题”的概念使用“反应块”时，执教者设计了“测量金字塔的高度”这一数学活动，让学生在用概念的过程中，体验归纳、尝试类比，形成一定层面的直觉监控能力和建立相应的认知心理水平.但由于“升学压力”和“课时长度”等诸多约束条件，数学实验活动展开不到位.这种草草收兵的认知状态，压缩了直觉监控的时长，降低了概念转化的心理水平.当然，良好实验效果的获得，既需要“教得好”，还需要设置可以体验的学习场景及其有效信息环境的铺设（图3是笔者对PPT环境的一种转换，试图引领课堂教学方向和现代化教学能力的朝向），方能让学生“学得好”，这才是最重要的.正如相关文献研究指出的那样，“图形计算器被称为移动的数学实验室”，为学生通过动手操作实验学习数学，提供了极大的便利[4];“以计算机技术辅助的课程教学用形象化的讲解和教授让复杂的教学内容变得简单”[5].

具体操作活动如下：

首先让学生明白“金字塔测量”的特殊背景和特定条件：即古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度，当这位学者确认在阳光下他的影长等于他的身高时，要求他的助手同时测出金字塔的影长BD以及金字塔底部正方形的边长（见图3（1）），这样他就知道了金字塔的高度.测量与思考如图，AC是金字塔的高，DB是金字塔的影长.如果此时测得影长DB为32m，金字塔底部正方形的边长为230m，你能帮助学者计算这座金字塔的高度吗？

其次，让学生在读题加工、抽象画图中提取有效的题干信息，体验“分离图形”的约简过程，构造“解直角三角形”各要素和要素关系，就绪概念应用的心理准备.

最后，通过“分离、抽象”将直觉状态的图3（1）转化成解题状态的图3（2）.

基于大尺度类比归纳思想的使用，在“物高与影长”成比例的条件下，获得解答方案不困难.即在Rt△ABC中，AC∶BC=1∶1，也就是AC=CD+BD，结合题干测量信息（见图3（1）），可知金字塔的高度是147m.

概言之，如果说研究“测量的背景与条件”是一种归纳，那么“文字语言→图形语言→符号语言”是一种体验，则分离图形与分解解题要素关系是一种直觉监控，这能让学生在类比中学好、在学好中提高类比的心理认知水平.

3在“探索”中联想与预见，获得直觉审美的“验证”能力

在数学实验活动论范畴，“探索”是审美的外在认知行为，“审美”是探索的顶层设计.也就是说探索为了审美，审美以探索为手段并指向“预见”.就这一认识来说，探索不止于知识，更在于智慧的积累和生活能力的逐步提升.从探索的行为过程来看，“探索”至少涵盖三个方面的意义.一方面，探索意味着规律的发现和数学真理的获得;另一方面，探索是一种数学创造，能让学生在“有用组合”中获得新思想、新路径、新方法;第三方面，探索是一种审美联想，在联想中审美，在审美中预见.像七巧板拼图、数学与刺绣、“幻方”游戏等数学实验的设计与实施，就是一种地地道道的审美行为与探索发现，能让学生在“无意识”的玩中，获得终身难忘、终身受益的知识和心智技能.譬如，用“七巧板”拼出“孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”的场景、“学会分享”、“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家”等文化传承、社会公益行为等，都是探索并审美的结果.我把这里“感受美”的过程理解为知识发现、知识应用、知识审美的过程.当然，审美本身就是一种联想和预见，是将知识的“功利性”转化为知识的“审美性”、知识的“学术性”转化为知识的“教育性”、知识的“本源性”转化为知识的“程序性”.从而在联想中预见，在预见中验证，最终将知识转化素养，将智慧转化为生活能力，这就是数学实验的最高认知目標.譬如，在研究“三角形三边制约关系”时，通过“告诉+训练”的方式，让学生因重复模仿加快“抓分”的速度，就是认知功利的普遍手段;而通过用小吸管“搭三角形”，让学生在“做”中联想、在探索中审美，获得客观知识和心理智慧则是审美认知的普遍方式.可惜，就课堂实际来说，很少有人舍得时间，让学生自己去发现结论、获得审美体验.这是当前和未来一段时间，课堂改革的切口.只有扭转知识获得的手段，让学生自己在探索中追求知识的价值，方能“育好人”，上好课，学好习.

就微观教学论而言，“探索”是指独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识.这里的“提出问题”需要以探索作为手段的，方能产生直觉的审美功能;“寻求思路”需要用“联想”“开山建桥”，方能让学生在“微观学”的过程中获得“大的人生认知智慧”;“理性认识”则是将“探索”转化为精确的结论、将“联想”转化为审美、将“审美”转化为服务社会、幸福人生的能力.孔子提倡“因材施教”、苏格拉底倡导“精神助产术”、亚里士多德坚持“自然教育论”、培根崇尚“尊重天性”、以及加涅对“学习者特征”的关注，均涵盖“直觉审美因素”或直觉的选择与超越.为此，在数学实验实践论范畴，需要做好几个方面的思考工作，方能将探索的“感性”转化为“理性和知性”，方能将“审美”转化为教书育人的力量.一是在“兴于诗”中健康学习，顺应自然;二是在“立于礼”中联想思考，学会规范;三是在“成于乐”中因材施教，学会审美，学会追求知识的价值.

微观教学清样3

《以探索性数学实验为抓手培养学生创新能力》[6]一文指出，基于混沌吸引子加密设计的探索性实验项目，对于培养学生学习、思维、协作与行动等多种能力具有特殊作用;《依托建模竞赛探索数学实验教学新模式》[7]一文指出，鼓励学生参加数学建模竞赛，对于激发学生的学习主动性和积极性，培养学生运用数学知识具有重要意义.我把这里的“探索”

理解为“直觉审美”，是在审美中探索，在探索中获得关爱社会的能力.显然，数学直觉的作用是解决新想法、新猜想是否符合数学美，在本质上的简单性、内容上的统一性、对称性、奇异性等要求的问题[8].执教者在研究“图形变换”条件下“坐标变化”与“位置关系”时（见图4，笔者将PPT环境转化为EN5智慧认知环境），就是通过“微观探索”让学生在画图中联想，在联想中审美，促进审美直觉的选择功能.

参考文献

[1]董林伟.数学实验：初中生数学学习方式的变革[J].全球教育展望，2020（9）：103-115.

[2]赖晓辉.利用GeoGebra软件开发高中数学实验课件[J].实验教学与仪器，2020（4）：50-52.

[3]宋德发，唐成军.高等教育呼唤“微观教学学”[J].青岛大学师范学院学报，2011：39-43.

[4]高学，李峰.基于图形计算器开展高中数学实验探索[J].中国教育技术装备，2020（7）：123-124+127.

[5]刘明芳.基于信息技术的高等数学实验教学模式研究[J].当代教育实践与教学研究，2020（14）：24-25.

[6]黄平，赵泽藩，杨启贵，刘小兰.以探索性数学实验为抓手培养学生创新能力[J].实验室研究与探索，2020（9）：182-187.

[7]苏茜，黄亚群，张怀雄，蒋慕蓉.依托建模竞赛探索数学实验教学新模式[J].云南大学学报（自然科学版），2020（S1）：78-83.

[8]徐利治.数学方法论十二讲[M].大连：大连理工大学出版社，2012：251.

作者简介张建山（1974—），男，江苏连云港人，中学高级教师，主要从事初中数学命题与初中数学教学研究.