整体思想在数列定义教学中的应用

内蒙古自治区赤峰市喀喇沁旗锦山实验中学 刘月飞

在数列的教学中，很多老师困惑的是对于较复杂的数列表达式，学生对于前后项的书写有困难，一不小心就容易写错，不能深层次地把握数列中项与项之间的变化关系。下面就把我个人在数列定义及等差数列定义（等比数列在此文中不做说明，教学策略类似等差数列）教学中的一点感悟做如下分享。

一、数列定义教学

数列定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第二项，排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，简记为数列{an}。

我们在数列定义教学中除了把以上内容讲明白之外，重点是对定义的拓展认知，一般情况下，学生只认识到{an}是数列，而对于如{an+1-an}、{an2+n}、{nan}等组合得到的数列，学生认知度不够，所以在教学中，我们就要渗透整体思想意识，让学生自由书写数列并写出它的项数变化，例如：

学生A：数列{an+1-an}，首项是a2-a1，第二项是a3-a2，以后依次是a4-a3，…，an+1-an……

学生B:数列{a2n+n}，首项是a21+1，第二项是a22+2，以后依次是a23+3，…，a2n+n……

学生C：数列{nan}，首项是1a1，第二项是2a2，以后依次是3a3，…，nan……

教师可以组织小组讨论，让每一个学生都可以放开思想，任意书写数列，从而达到真正意义上的理解。如果每一位学生对数列的定义能上升到以上所述的理解，那么对数列定义的认知就会上升到一个新的高度，也进一步提升了学生对数学中换元思想的认知。

例题：设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，求{an}的通项公式。

二、等差数列定义教学

等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列。可符号表示为：an+1-an=d（d为常数，n∈N*）。

在等差数列教学的过程中，同样要对定义进行拓展，让学生从整体的角度去理解等差数列的定义。

学生A：等差数列{an+1-an}，则有：（an+1-an）-（an-an-1）=d（n≥2，n∈N*，d为常数）。

学生B：等差数列{a2n+n}，则有（a2n+n）-（a2n-1+n-1）=d（n≥2，n∈N*，d为常数）。

学生C：等差数列{nan}，则有（n+1）an+1-nan=d（n∈N*，d为常数）。

这样让全班学生完全放开去书写，并得到相应的等差数列定义式，进一步提升学生的整体换元意识。对于等比数列定义的教学，可以让学生按等差数列的定义教学去自主研究，小组合作探究，很自然就可以达到目标。

例题：已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，b是an和an+1的等差中项。设cn=a2n+1-b2n，n∈N*，求证：数列{an}是等差数列。

说明：此题就是要证（b2n+1-b2n）-（b2n-b2n-1）=常数（n≥2，n∈N*），学生要有整体意识来认知数列{b2n+1-b2n}（n∈N*）为等差数列。

总之，践行新课程理念，就是要实现全人的教育，而立德树人的任务就要在学科内完成。通过数学学习，应该达到培养学生有耐心、细心、有恒心、有毅力的优良品质的目标。那么，高中数学课堂教学评价就要以这个目标达成为核心，不仅关注教师对知识的传授，更要关注教师如何引领学生解决问题。从关注教师的“教”到关注学生的“学”，这一视角的转变，为传统的课堂教学评价注入了全新的内容。对定义的教学一定要关注定义的本质，要明白学生理解的误区，从而有针对性地进行教学，引领学生耐心地观察问题，细心地发现问题，有恒心地探索问题，有毅力地解决问题，把新课标理念融入数学课堂教学中。