谈解决问题的关键能力的培养

范琦

摘要：过去，教师大多是采用传统的教学方法，即课堂上以老师讲学生听为主，笔者认为，这样教学，一些问题虽然交代清楚了，但由于学生处于被动地位，仅仅是一听了之，容易使学生在获取知识、学习能力等方面养成依赖性，因而，不同程度地影响了教学效果及对学生探求知识能力方面的培养，为了改变上述状况，我从设计问题开始，提高他们学习的能力。

关键词 类比 数形结合 几何意义

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-08-238

1 教学分析

1.1学情分析

复数是苏教版选修2-2第三章的内容，教材内容比较简单，安排的课时较少，它在高考中的分量也很少，只要学生了解数系的扩充、会简单的四则运算、了解复数的一点几何意义。因此，这一部分内容往往不被老师和学生重视，教师很快把知识“塞”给学生，学生似懂非懂，加上巩固练习又少，导致时间一长，学生又把它还给老师了，特别是“复数的几何意义”到高三复习时，“一问三不知”的现象非常严重，很多学生不知道复数与点的对应关系，更不知道复数模的几何意义。

1.2教法分析

那么如何让学生理解透彻呢，那就要基于数学核心素养的教学，首先我们应注意到复数集是由实数集扩充而来，实数是复数的特殊情况，他们的几何意义有很多相似的地方，因此新授课的教学，可以利用实数的几何意义，通过类比学习来学习，从数与形两个角度来研究

2  教学过程

问题设计

问1： 实数与数轴上的点是什么关系？

生1： 实数与数轴上的点是一一对应的关系。

问2：那就是说实数可以用数轴上的点来表示，那么复数是否也可以用点来表示？

生2： 能，但是要两条数轴，一条数轴上的点表示实部，另外一条数轴上的点表示虚部

师：两条数轴，那我们想到是什么？

生3：直角坐标系，用横坐标表示复数的实部，纵坐标表示复数的虚部，因此，杜宇任何一个复数z=a+bi，在直角坐标系中，都有唯一一个点（a，b）与它对应。

师：你说的很好，能否举几个具体的实例来说明一个？

生3：在平面直角坐标系中，如A（0，0）表示复数的实部和虚部都为0，即表示复数0，点B（1，0）表示-1，C（1，2）表示复数1+2i（教师根据学生的回答作出草图演示说明）

师：很好，顺势给出复平面的概念：把建立了平面直角坐标系来表示复数的平面角复平面，又叫高斯平面，是高斯在1799年提出的，x轴叫实轴，y轴叫虚轴，实轴上点表示实数，那虚轴上的点表示纯虚数，对吗？

生4：不对，实轴上点是表示实数，但是虚轴上的点要去除原点，就能表示纯虚数了，

我们得到复数z=a+bi（a，b）与复平面上点Z（a，b）一一对应，那么 点Z（a，b）还能表示什么量？

生5：向量=（a，b）

师;为什么？

生5：原点O为起点，只要终点Z（a，b）确定了，向量=（a，b）

就確定了，所以复数与向量=（a，b）也是一一对应的

设计意图  从学生熟悉的实数出发，过渡到复数，让学生进一步理解特殊与一般的关系，通过学生已有的经验来类比复数的情况，再通过学生归纳，思维容易形成。

点和向量都是复数的几何意义，复数z=a+bi与复平面内点Z（a，b）与向量=（a，b）三者之间一一对应的，可以相互转化，也突出数形结合的思想。

师：下面请同学们来完成例题1.

在复平面内分别用点和向量表示下列复数

3，1+i，-2i，3-2i （老师投影学生的解题过程）

师：如果给你一个实数a，那么a的绝对值|a|是不是也有几何意义？是什么？

生6：表示实数 a 在数轴上的对应的点 A 到原点O 的距离.

师：那么我们在复数里是不是也有相关的性质呢？|z|表示什么？我们不叫复数的绝对值了，叫复数的模，那它的几何意义是什么呢？

生7：表示在复平面内点Z到原点的距离

师：很好，请问，你是怎么得到的？你能用表达式表示出来不？

生7：类比得到

师：那么你能用表达式表示出来不？

生7：可以，|z|=|a+bi|=

师：其他同学你能用其他的方法来验证一下吗？

生8：可以，我想用向量来验证，|z|=||=

师：很好，想到用向量，学以致用（教师在复平面上画出来）那么一个复数满足|z|=1，它对应点Z的轨迹是什么？

生9：是以原点为圆心，半径为1的圆

师：你是怎么想到的？

生9：由复数模的几何意义得到的，这样的点满足圆的定义，到定点的距离等于定长

师：很好，比较容易得到的，其他同学还有其他的思路吗？

生10：我的答案也是圆，但是我是设复数z=x+yi（x，y）有模的定义可知=1，化简可得=1，由这个方程可知它的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆

师：不错，这位同学给我展示了另外一个思路，从轨迹方程的特征来得到轨迹，那|z-1+i|=1表示的轨迹又是什么呢？同学们可以独立思考后再小组讨论你的想法。

生11：我用设复数z=x+yi（x，y）有模的定义可知=1，=1，由这个方程可知它的轨迹是以点（1，-1）为圆心，半径为1的圆

师：可以，请问其他小组还有什么想法不？

生12：我从向量的角度入手，从而转化成向量与向量=（1，-1）差的模即||=||，向量||就是点Z与点两点间的距离

师：不错，很好的解释，所以我们就得到了两个复数相减的模的几何意义就是它们在复平面内对应两个点间的距离，两个复数相加的模的几何意义呢？

生13：可以化加为减，也可以从向量的加法来转化）

师：精彩，你可以出师了（让学生花点时间去落实一下，然后教师在黑板上画出来，板演）

总结：由实数的绝对值到复数的模，让学生学会类比学习，这样的问题设计，体现了联系的原则，让学生深刻认识到实数的绝对值与复数的模之间的内在联系，促进了学生对复数模的理解，基于数学核心素养的教学，首先要改变教学设计的思路，感受知识发生发展的过程，引导学生宏观认识数学内容与方法;其次要重视情景创设与问题设计，促进学生对数学本质的理解。充分发挥复数的几何内涵，不但可以使学生系统深入地领会和把握复数相关的知识点，还可以更加深入巩固相关几何知识，进一步理清知识间的横向联系，进而提升数学的思维水平。

溧阳市埭头中学 江苏 常州 213300