分析学生解题 助推教学改进

文|何月丰

2020年12月9日，周三

今日要教学“商的变化规律”，脑海里浮现出以前这节课教学之后学生做习题时的景象，于是在读完《教师教学用书》上的“教材解读”和“教学建议”之后，赶紧翻开配套的作业本查看。因为我已经不止一次在这个事情上“翻船”了——按照《教师教学用书》的建议进行教学，结果作业本上的习题超出了“教材解读”中的要求，学生和我都苦不堪言。

下图是《商的变化规律》一课同步作业本上的最后一题。

真是不看不知道，一看吓一跳。如果依据教材，通过观察几组除法算式得出“商的变化规律”，面对这道习题时我和学生岂不又要苦不堪言了！

如何在教学之后使学生能较好地解答这道题？这个困惑让我陷入了思考。思之思之，猛然觉得，这道习题所要求的解题思路，不正是“商的变化规律”的原形吗？于是，一个新的教学设想在心中逐步形成，赶紧记录下教学流程，带着信心走进了教室。

师：我们这段时间在学除法，我写几道题大家算一算。

先板书“16÷8=”，请学生口答并板书答案。继续板书“160÷8=”。

师：现在等于几呢？

学生基于现在的水平，马上一起回答等于“20”。我写出答案后继续板书“320÷8=”，询问答案，板书“40”。继续完成“640÷8”的计算。

此时形成一组板书：

师：请大家看一看这些算式，有没有特殊的地方？

生：除数都是8。

我结合学生的回答，与大家一起关注除数，并用红色粉笔在8下面画横线凸显。

师：除了除数都是8，你还有什么发现吗？

此处《教师教学用书》的建议是“提出问题：每组题中的什么数变了？什么数没变？除数（或被除数）和商的变化有什么特点？”我没有采取这个建议，因为我认为这样太琐碎了，所以让学生整体观察，自己发现。

生：我发现被除数都是乘2，商也一样。

此话一出，已经有学生表示反对了。大家围绕第1、2两个算式进行比较，证明这个发现不对。

生：我发现除数不变，被除数乘几，商也乘几。

我没想到这个答案会来得这么快且清晰！“铜钥匙”奖励。一些学生对于这次奖励有意见，认为太简单了不足以用“铜钥匙”。

师：这个发现并不简单。不信的话，谁再来把这个发现讲一遍？

请了三位学生，都不能达到上述清晰的程度，至此大家认可了此次奖励。

师：现在我们一起来把这个发现讲一遍。

与学生一起讲的时候，配合板书进行标识。

讲完后，与学生一起用字母式将此发现进行了表达。（在学“积的变化规律”时，已经有过这样的表达，因此学生对此并不陌生）

师：谁还有新的发现？

学生都觉得不可思议，还能有什么新的发现？

师：想问题有时候需要倒过来想。

有了这个提醒，反应快的学生马上举手了。

生：这些算式倒过来看就是除数不变，被除数除以几，商也除以几。

“铜钥匙”奖励，然后结合黑板上的算式进行理解，最后结合字母式表达形成如下板书。

师：现在谁能把这个发现合起来说一说？

学生独立思考后各抒己见，然后统一说法，对此不再赘述。

师：学到这里，你们心里产生什么问题了？

学生提问，以问引学。

生：乘或除的这个数能是0吗？

这是意料之外的，不过那么真实。一起讨论，发现不能是0，板书“0除外”。

师：谁还有不一样的问题？

生：如果被除数不变，除数乘几，商会怎么变化呢？

意料之中，给予“铜钥匙”奖励——好问题。

举例、观察、发现，并以“分苹果”为例，理解为什么商的变化与除数的变化相反，（具体过程略）最后用字母式表达。（如下图）

师：现在，谁能再合起来说一说我们的发现？（略）

师：学到现在，不知道你们心里有没有新的问题产生呢？

话音刚落就有学生举手了，说明下面这个问题不是此刻经我提问后产生的，而是他们在前面的学习中就有了。

生：刚才都是一个数不变，如果两个数都变会怎么样？

师：好问题，“铜钥匙”奖励！

板书“18÷6=3、180÷60”。

师：等于几？

生：3。

师：有什么发现？

生：商不变。

师：对的。为什么商不变呢？

生：因为被除数乘10，除数也乘10，所以商不变。

从道理上讲，这样的解释完全正确。根据“教学建议”，这样的解释也可以了。但现在是要“发现道理”，且我还想要学生会解答作业本上的那道题，现在自然没这么简单。毕竟，前面那么长的铺垫可不是用来做摆设的。

我随着学生的解释，完善板书。

师：好奇怪！被除数乘了10，除数也乘了10，怎么商是不变的呢？

学生陷入了慌乱！不过，还是有勇敢举手的学生。

生：抵消了。

师：乘10和乘10怎么就抵消了呢？

我本来想刺激一下这位学生，让他继续往下讲，可他却坐下了。看来他所谓的“抵消”也是一种猜测。不过，这好像启发了其他学生。

生：被除数乘10，商就乘10，除数乘10，商就除以10。这样乘10和除以10就抵消了。

学生这下炸开了，似乎一下子都明白了，于是又请了两位学生把这个理由复述了一遍。然后，我结合学生的说法跟进板书。

师：看来不变真的是“抵消”了的原因，奖励！

继续板书“360÷12”，练习运用，解释不变的原因。

此后，自然要用字母式来表示其规律了。

结合上述板书，总结“商不变性质”。（略）

【日志解读】

我相信，如果没有作业本上的那道习题，对于“商的变化规律”的教学我会在学生发现“商不变”时就止步了。这样的“发现”，已经较好地完成教材对于这节课的教学要求，也符合《教师教学用书》的解读和建议。然而作业本上的一道习题，让我的教学又向前走了一步。这一步，将“商不变”不是作为一种特定的发现来对待，而是作为被除数和除数变化过程中的某一种现象来对待，是商随着除数和被除数变化而变化过程中的一种比较特殊的情况而已。同时，字母表达式这样的模型，也为学生解答相关习题提供了支撑。略感可惜的是，因为前面的发现和推理耗时太多，导致来不及在课堂上做习题。不过从课后学生的作业情况看，效果还是不错的。

一次教学改进，起因是作业本上的一道习题。这便是我在这则教学日志中所想表达的一个观点：分析学生解题，助推教学改进。

一、为什么学生解题可以助推教学改进

研读教材和研读学生是实现数学课堂教学改进的两个重要抓手。研读教材有助于我们更好地把握“教什么”，研读学生有助于我们更好地把握“怎么教”。一直以来，对于教材的研读，我们常常将重心落在例题教学上，与此相对应，对于学生的研读，我们的重心也就常常落在学生对例题的学习上。但是在实际教学过程中，我们的教学改进常常还有第三个抓手——学生在解答习题中的表现。

如上教学日志中记录的故事，对于“商的变化规律”，我研读了教材和《教师教学用书》，也研读过学生——这节课之前已经教过几次了，因此很清楚要“教什么”和“怎么教”。但当看到作业本上的习题后，我立刻想起了以往学生解答此类习题的表现，这让我清楚地意识到，如果仅仅根据现在我对这节课“教什么”和“怎么教”的理解，学生在解答这道习题时一定会遇到比较大的困难。这促使我再一次对“教什么”和“怎么教”进行审视，努力寻求解决路径，最终有了教学日志中的教学改进。

因此，如果我们现在把“研读教材”狭义地理解为是研读教材上的例题教学，把“研读学生”狭义地理解为是研读学生的例题学习，那么，研读习题、分析学生的解题表现，无疑成为连接“教材”和“学生”的纽带。也就是说，通过习题教学，不仅可以巩固学生对数学知识的理解和掌握，还可以检验我们的教学效果。如果习题在“学生端”出现了问题，那么，作为教师就该反思自己的教学，从“知识端”入手，并设法改进。

以上是从我个人实践的层面看待习题对教学改进的助推作用。从更为广义的层面讲，各地甚至全国范围内开展的教学质量监测，不也是通过学生解答相关习题的形式来分析教师教学中存在的问题，进而提出改进意见的吗？可见，分析学生解题助推教学改进，是一种较为常态的做法。

二、如何通过分析学生解题助推教学改进

通过上文分析已经明确，对学生解题的分析可以助推我们平时的教学改进，进而提高教学效率。那么，在具体的教学过程中我们该如何实施呢？一般而言，需要我们把握好以下两个方面。

1.深入分析学生的解题表现。

对学生在解题过程中的表现进行分析，是实现教学改进的重要前提。教师一般能在两种场景下注意到学生在解题中的表现：一是学生在课堂上的解题过程中；二是学生在课后练习的解题结果中。本文讨论的主要是第二种场景下的学生解题表现。

教师对学生的课后练习进行批阅，不仅可以了解学生对知识的掌握情况，还可以从中看到自己教学中是否存在问题，这便是习题的评价功能。当然，要实现习题的这个功能，作为教师，在批阅时就不能仅仅看到“对”“错”，还要对其中的“错”展开深入地分析，找到“错”背后的原因，进而厘清学生在解题中遇到的困难到底是什么。举一个典型的例子，在梯形教学之后，学生在后续解题中经常不认可下图是个梯形。深入分析不难发现，学生广泛出现这个错误的原因，是我们对梯形认识教学不到位造成的。

这就告诉我们，面对学生的大面积错误，或者出现了聚集性的典型错误，这个时候必须要引起重视，因为此时的错误往往已经不是“学生端”的原因，而是“教师端”的原因，是教师对“教什么”和“怎么教”把握不到位造成的。

2.把握教学改进的两个时机。

从时间顺序上讲，学生在解题中出现问题是在教师教学之后。因此，当我们发现了问题，需要反思的应该是之前的教学，需要改进的也是之前教学这一内容的策略。但是，时间不可能倒流，我们不可能再回到之前的教学时段进行教学改进来纠正学生的错误。由此可见，分析学生解题表现后的教学改进，不是“回到从前”，而是“启示未来”。

（1）改进“下一课”教学——及时补救。

当我们通过分析学生的解题表现发现了自己教学存在的问题后，此时需要做的第一件事就是及时补救，途径是想办法改进“下一课”的教学。

这里的“下一课”，可以是紧接着自己批阅学生练习之后的那节课，是名副其实的下一课。此时，学生解题中出现的问题一般与紧接着的教学内容联系密切，如果不及时解决，会影响后续的教学。

这里的“下一课”，也可以是在某一阶段性教学内容完结之后再专门安排的一节课。此时，学生解题中出现的问题不会直接影响紧接着的教学内容，因此可以暂时缓一缓。

常用的改进措施：一是将学生在解题中出现的问题通过一定形式在课堂上呈现，然后组织学生对问题进行讨论，进而纠正学生的错误认识，以弥补之前教学中存在的不足，促进学生的深刻理解；二是可以重新设计一道类似的习题，然后有针对性地展开教学（像教例题一样教习题），以此弥补之前教学中存在的不足，帮助学生更好地理解并掌握知识。

当然我们还要认识到，如果因为例题教学时存在不足而导致学生在解题时出现问题，那么仅凭一次补救往往是不够的，这需要有一个不断强化的过程。

（2）改进“下一轮”教学——根源入手。

一般情况下，小学数学教师的教学是一个循环往复的轮回过程。如第一学段的教师一般在1～3年级轮回，第二学段的教师一般在4～6年级轮回。因此，当我们在学生的解题中发现了问题，此时虽不能“回到从前”，但可以促使我们再次教学这个内容时进行教学改进。

这是一种从根源入手的教学改进方法。其实，这种方法在教师平时的教学实践中还是非常多见的，比如平时大家在备课时思考“以前教到这里时学生的问题是什么”，此时的思考对象常常就是学生在解题中出现的问题。因此这样的思考，其本质便是基于上一轮教学中学生解题时出现的问题而引发的教学改进行为。

不过，从现在发现学生在解题中出现的问题，到下一轮教学这个内容，往往要间隔一至三年时间。这么长的时间，期间难以避免会出现一定的遗忘。因此，每一次备课时先去看一看、做一做教材或作业本上的习题，想一想以前学生在这里出现过什么问题，就可以“唤醒”自己的记忆，有助于“教学改进”的更好发生，如上教学日志中的故事便是如此。

当然，我们更希望从“发现问题”到“教学改进”的过渡时间能再缩短一些，因为正常情况下真的到“下一轮”往往是一到三年以后的事情。对此，加强教师间的教学交流便是一种较为有效的手段。这也就是说，对学生在解题中出现问题的认识，并不是一定要自己亲身经历，还可以从同事那里交流而得。当然，自己发现的问题也可以分享给同事，这不仅可以为大家提供第一手的教学资料，也可以一起商讨更为有效的教学改进策略。

可见，这里的“下一轮”，可以是自己真实的下一轮，也可以是从别人那里学来的“下一轮”，还可以是自己提供给别人的“下一轮”。

深入分析学生的解题表现，充分发挥习题的评价功能，促进自己的教学不断改善，最终目标是为了促进学生更好地发展。