具有方案偏好权重完全未知的区间多属性决策方法

陕振沛 宁宝权

（1六盘水师范学院数学与计算机科学学院，贵州 六盘水 553001；2六盘水师范学院经济与管理学院；贵州 六盘水 553001）

区间数多属性决策问题在社会、经济等诸多领域有着广泛的应用，一直是决策理论与方法研究的热点。近年来，对于区间数多属性决策问题的研究取得了丰硕的成果。陈伟等[1]采用误差传递和联系数对动态区间型多属性决策问题展开研究。汪伦焰等[2]基于联系数理论提出了属性权重完全未知的区间型多属性决策方法。许立波等[3]针对属性值和权重都用区间表示的多属性决策问题，结合后悔理论和证据理论提出新的决策方法。苏丽敏等[4]根据Spearman秩相关系数解决权重完全未知的区间数多属性决策问题。王丽萍等[5]对传统区间数灰靶决策模型进行改进提出了基于多维关联抽样的区间数灰靶决策模型。钱吴永等[6]基于改进向量相似度的方法，构建一种属性权重和时间权重未知兼顾决策信息和决策偏好的动态多指标决策模型。潘显兵[7]建立了区间数型多属性决策正交投影模型。周全等[8]提出了基于概率分布的区间数多指标灰色关联模型。常志朋等[9]提出了一种利用马田系统处理区间数决策向量信息、利用TOPSIS法对区间数决策向量进行排序的方法。靳留乾等[10]提出了基于证据推理和前景理论的区间多属性决策方法。郭凯红等[11]利用可能度矩阵方法展开研究。从这些文献中发现，当前，关于区间多属性决策方法的研究主要有结合证据理论和投影方法、基于联系数理论、TOPSIS方法与灰色关联分析等方法开展研究。然而，针对属性权重完全未知，决策者对方案带有主客观偏好关系的这类区间数多属性决策问题的研究并不常见。基于此，本文提出一种新的具有方案偏好权重完全未知的区间多属性决策方法，并将该决策方法应用在房产投资决策案例来验证其可行性和有效性。

1 预备知识

1.1 区间数及代数运算

定义1[12]：设R为实数域，称闭区间为区间数，xL和xR分别表示区间数的左端点和右端点，xL,xR∈R,且xL

如何度量区间数间的距离是区间数多属性决策研究的一个重要问题。目前，区间数间的距离度量公式有很多种形式，下面给出区间数距离公式中最常见的区间数汉明距离和欧氏距离公式。

1.2 相对熵

根据信息论理论可知，对于两个系统M和N，它们的状态间的差别程度可用Kullback-Leibler距离来度量[13]，其计算公式为：

式中，D的值越小，表示系统M和N间的状态差别程度就越小，D称为系统M和N的相对熵。

相对熵又被称为KL散度，它是用来衡量两个函数或概率分布之间的差异性，差异越大说明相对熵越大，差异越小则相对熵越小。特别地，若这两个系统为同一个系统或是等同的，则它们的相对熵为零。尤为要注意的是，KL散度它是非对称性的。

2 决策理论与方法

2.1 问题描述

设A= {A1,A2,… ,Am}为m个备选方案的集合（m≥2），其中，Ai表示第i个备选方案；C= {C1,C2,… ,Cn}为n个指标属性的集合（n≥2），其中，C j表示第j个属性；w= (w1,w2,… ,wn)T为决策属性的权重向量，其中，w j表示属性C j的权重，满足j= 1,2,… ,n。这里，决策属性C j的权重w j不能完全确定，但有j= 1,2,…,n。设备选方案Ai在决策属性C j下的属性 值 为 区 间 数j= 1,2,…,n），决策者分别给出m个方案在n个指标下的属性值，则区间数决策矩阵X记为

假设决策者对方案Ai有一定的主观偏好，αi表示在第j个属性下决策者对第i个方案Ai的主观偏好，这里，主观偏好以区间数的形式给出，

2.2 决策方法与步骤

针对决策矩阵为区间数的情形，结合相对熵与灰色关联分析原理和思想，下面给出具体决策步骤：

步骤1：对区间数决策矩阵X=(xij)m（×ni=1,2,…,m，j= 1,2,… ,n）进行标准化处理，得到标准化区间数决策矩阵

对效益型属性，标准化公式为

对成本型属性，标准化公式为

因为在决策过程中，存在着各种不确定的因素以及各式条件的限制，决策者的主观偏好与客观偏好实际上是存在着一定偏差的。为了消除这些偏差对决策结果带来的影响，进而使决策过程和结果具有科学性、客观性和合理性，属性权重w（jj= 1,2,… ,n）的选取应当使决策者的主观偏好与客观偏好的总偏差最小。又因为每个评选方案是公平参与竞争，它们之间不存在任何的偏好关系，因此可建立下列单目标优化模型：

式中，i= 1,2,… ,m，j=1,2,…,n。

为了求解式（7）的最优化模型，可构造Lagrange函数

对式（8）求偏导数，并令

求解方程组（9），可得到属性权重的最优解

步骤3：计算每个备选方案的客观偏好对主观偏好的相对熵和灰色关联系数[14]，其计算公式如下：

步骤4：计算每个备选方案的客观偏好对主观偏好的合成关联度。合成关联度的计算公式如下：

式中，β1和β2表示决策者的偏好程度，且β1+β2=1，β1,β2∈ [ 0,1]，β1、β2的取值由决策者根据自身的偏好程度来确定。分别表示加权相对熵和灰色关联度，合成关联度γi反映了方案A（ii= 1,2,… ,m）对所有属性的客观偏好与主观偏好之间的总相似度。

根据各个方案合成关联度γ（ii= 1,2,… ,m）数值的大小，对备选方案排序并进行优选，γi的值越大，则决策者对方案的客观偏好对主观偏好就越接近，其偏差也就越小，该方案也就越优，最大者为最优。反之，γi数值越小则对应的方案也就越差。

3 算例分析

下面通过房产投资决策案例来对文中所提的方法展开验证。假设有某小区要进行房产开发，有四种投资方案A1、A2、A3和A4可供选择，现需要从这四种方案中挑选出最佳的投资方案。备选投资方案的决策属性分别为房屋的面积(C1)、设施水平(C2)、小区环境(C3)、房屋价格(C4)和小区与工作单位的距离(C5)。其中，C1、C2、C3为效益型指标，C4、C5为成本型指标。A1、A2、A3和A4这四种投资方案的评价指标值如表1所示：

表1 四种投资方案的评价指标值

首先利用式（5）和（6）对表1中的原始指标值进行标准化处理，从而得到标准化的区间数决策矩阵，结果见表2：

表2 标准化的区间数决策矩阵

通过建立的权重单目标优化模型式（7），依据式（10）可求得决策属性C1、C2、C3、C4和C4的权重向量为w= (0.2168,0.4078,0.1762,0.0201,0.1791)T。

因此，可得到A1、A2、A3和A4这四种投资方案加权规范化的区间数决策矩阵，如表3所示：假设决策者对A1、A2、A3和A4这四种投资方案的主观偏好值分别为α1= [0.30,0.70]、α2= [0.20,0.90]、α3= [0.10,0.45]和α4= [0.25,0.55]。根据式（11）计算各备选投资方案的客观偏好对主观偏好的灰色关联系数，所得结果为

表3 加权规范化的区间数决策矩阵

利用式（12）、（13）和（14）计算各备选投资方案的客观偏好对主观偏好的相对熵，其结果为

将上述所得的各备选投资方案的客观偏好对主观偏好的加权相对熵、灰色关联度整体代入式（15），这里，假定决策者的偏好程度一致，即β1=β2= 0.5，经计算最终求得A1、A2、A3和A4这四种投资方案的合成关联度如下：

因为γ2>γ1>γ4>γ3，所以决策者对于投资方案A2相比另外3种投资方案，其客观偏好对主观偏好最接近，它们的偏差也就最小，因此，方案A2为最佳投资方案，方案A1次之。

为了进一步地验证文中所提算法的有效性，现选取文献[9][15]所提方法应用于文中的算例，将所得结果与文中方法的结果作对比分析，对比结果如表4：

表4 文献[9][15]所提方法和文中方法的排序结果比较

通过表4可知，文中方法与文献[9][15]所提方法的排序结果均为A2≻A1≻A4≻A3，方案A2为最佳投资方案，因此文中所提算法是可行的和有效的。但是文中方法考虑了主观偏好对客观偏好的影响，这是文献[9][15]中所提方法所不具备的。

4 结论

本文旨在针对属性值为区间数、权重信息完全未知且对方案的偏好信息为区间数的多属性决策问题给出一种新的决策方法。一方面，该方法通过对建立的单目标优化模型求解来得到属性权重，另一方面，通过加权相对熵与灰色关联度结合得出的合成关联度来对方案排序优选。将该方法应用在房产投资决策的案例上，并与其他方法做了对比分析，结果表明本方法是可行的、有效的。