数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析

杨昌生

【摘    要】數形结合思想是学生数学学习、解题中的重要思想，需要教师引导学生自觉在学习中使用数形结合思想。本文基于数形结合思想的概述，分析了数形结合思想在高中数学教学中的应用价值，并简要阐述了目前高中数学教学中存在的问题，提出数形结合思想在高中数学教学中的具体应用方法，探讨了如何在高中数学教学中渗透数形结合思想的策略。

【关键词】高中数学  数形结合思想  应用

中图分类号：G4      文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2021.17.001

一、数形结合思想概述

在数学问题研究的过程中，使用图形直观地对代数问题进行表达，使用代数关系表达图形方面的问题的思想方法便是数形结合思想方法，其本质就是将抽象的数量关系借助直观的图形进行结合思考，做到在全面分析题目数量关系的同时了解题目中的几何直观关系，寻找全新的问题解决思路[1-2]。数学作为一种针对客观事件空间形式和数量关系进行深刻研究的学科，数、形是高中数学教学内容中研究的两类基础知识对象，二者在教学内容和方法上呈现出一种相互联系的关系，并且可以在一定的环境条件下进行相互转换以及补充。在针对数量关系进行研究的过程中，借助图形的转化能够帮助人们深刻理解数量的直接关系，而在图形研究的过程中，可以借用数量关系进行标注，确保学生能够更加清晰地了解题目中的具体条件。数形结合思想能够帮助学生在问题解答的过程中找到数形各自的优势，进一步明确解题的思路，以最简便的方式得出正确的答案。

二、数形结合思想在高中数学教学中的应用价值

数形结合思想和高中数学教学的有效结合，能够对学生已有的数学知识结构体系进行进一步优化，以此为学生接下来的知识学习奠定良好的基础[3]。高中阶段的数学学科知识点数量相对较多，且分布呈现一种错综复杂的状态，会使学生的认知结构清晰度不足。通过数形结合思想的应用，学生对数学基础知识的认知就能够变得更为清晰和直观。

作为数学问题解答过程中的关键工具，数形结合思想也是一种解题过程中的指导思想，能够将抽象的数学问题具体化呈现，降低问题解决过程中的难度。高中数学教学中数形结合思想的应用，能够帮助学生通过发散思维寻找更多的解题方法。比如，能帮助学生在解决代数问题时自动联想到与之相关的几何模型，借助最为直观的数学图形，对于知识的本质属性做出深入的理解，并迁移应用到实际问题的解决中，能够帮助学生从多种角度、多种层次，以多种方法解决数学问题，能够在学生发散思维的培养中发挥重要的作用。

三、目前高中数学教学中存在的问题

目前，我国教育事业的快速发展使年轻教师开始成为教师队伍中的工作主力，但因为缺乏足够的教学经验，对于高中数学教学工作中的数形结合思想的理解相对较为浅显，导致整体的教学工作呈现出一种理论知识灌输的单一化教学倾向，并且教师长期在课堂教学过程中占据主导地位，抑制了学生在知识学习过程中的主观性。学生即便对数形结合方法有所了解，却无法在问题解答的过程中主动进行应用。因为校方对年轻教师的继续教育专业培训工作有所不足，再加之未能为年轻教师提供妥善的职业发展规划，也使得教师未能在教学的过程中贯穿数形结合思想。

即便当下高中阶段的数学教师普遍接受过高等教育，但在社会范围内高度关注学生考试分数提高的影响下，教师依旧延续传统的教育观念，未来将数形结合思想和教学工作进行全过程的结合，导致学生的数形结合知识体系建立不够完整。教师因为过分信赖自己数学教学工作的稳定性，工作态度缺乏积极性，忽视了教育理念改变对于教育工作的重要价值，影响到学生对于数学知识学习的兴趣，不但影响了高中数学教学的整体工作效果，使学生也未能全面掌握数形结合思想并迁移应用到实际问题解决中。

四、高中数学教学中数形结合思想的具体应用

（一）在集合知识教学中的应用分析

集合作为高中数学重要的基础内容，也是其他知识点得以学习的必要理论条件。在集合这部分知识学习的过程中，数形结合思想的应用能够将集合知识中抽象的数与数之间的关系转化为图形间图像关系的研究，从而帮助学生建立完善的集合部分的知识框架。换言之，数形结合思想在集合知识部分教学的过程中，是使用以形解数的方式帮助学生理解其中的知识点[4-5]。

（二）在函数知识教学中的应用分析

函数作为高中数学知识内容的重要组成部分，在教师带领学生研究函数的定义和值域的过程中，也可以使用数形结合的方法，以区间的形式进行表示，同样可以利用韦恩图和数轴的方式进行。比如，在讲解有关函数定义域和值域这部分知识的过程中，教师可以直接将定义域给出的实际范围和区间的两个端点，使用解析式求解对应的函数值，并将大小的数值分别标注在区间的两侧，用来表示函数的值域[6]。这种方法所用到的原理就是函数的单调性，如果在求解区间上函数的因变量随着自变量逐渐增大而增大，则证明在这个区间内部的取值范围下，函数呈现一种单调递增的趋势;反之，则函数在取值范围内呈现一种单调递减的趋势。如果学生能够直接对函数的类型进行判断，便可以将函数定义域中的两个端点数值直接使用解析式求解最终的数值，随后得出函数所求的取值范围值域。如果学生需要针对二次函数的值域进行求解，则需要使用配方的方法，优先对二次函数进行配方。在引入数形结合思想的前提下，描绘出函数图像，确定函数图像的顶点位置是否在将要求取的取值范围内。通常而言，如果函数X的取值范围是整个实数级别，可以根据函数表达式中a的正负值画出函数的图像进行判断，如果a自身大于0，则函数的值域为（N，+∞），若a小于0则函数的值域为（-∞，N）。如果求解的目标二次函数有着确定的定义域，顶点不在这个定义域范围之内，则需要直接代入两个定义域的端点，进行函数值域的求解。在这种情况下，函数呈现出一种单调递增或者递减的特性。如果经过配方处理后的二次函数图像顶点同样在所求的取值范围之内，需要优先针对给出的取值范围的两个端点以及函数的顶点值进行求解，在最后求解出数值的情况下，较大和较小的两个数值则分别为函数的最大值和最小值。

在高中階段的数学教学中，函数的零点问题也是其中解题难度相对较高的一类，并且在历年的高考中也都有所展示。在求解有关函数零点个数的过程中，实际上是求解函数的图像与X轴交点的数量，在这种情况下，数形结合思想的运用需要优先让函数的y=0成立，求解出来的x也就是零点，随后将y=0的方程拆解成两个初等函数并画出函数的图像，找到图像之间的交叉点，这交叉点所对应的X值就是函数的零点，这种操作的主要原因是在函数图像交点的位置上，这个交点对应的函数的X值和Y值大小完全相等，也就意味着这一点对应的y值在彼此相减之后差值一定为0，这也是原函数的零点。又或者可以利用函数的求导法求解除有关函数的极值列。

（三）在不等式知识教学中的应用分析

不等式作为高中阶段数学知识体系的重要组成部分，在高考中是以线性规划的方式出现，同样可以使用数形结合的思想方法理解其中的主要问题，尤其是其中的线性规划问题，可以通过数形结合的方式将之转换为二元一次不等式组求解其解集的问题。根据不等式组中的各种条件限制画出的能够选择的数值点所围成的区域就是可行域，位于这一区域内的任何一个数值点，都是符合这个二元一次不等式组要求的解集。

五、高中数学教学中数形结合思想有效渗透策略

（一）挖掘教材中与数形结合思想结合的素材

高中数学基础知识和数学思想共同组成了高中数学的教材内容，其中数学知识蕴含高中阶段各种常用的数学思想，需要由教师对教材内容进行深刻的挖掘，使用其中的各种经典素材渗透各种数学思维和解题思路。作为高中阶段重要的思想工具之一的数形结合思想，与整个高中数学知识体系有着较为紧密的关联。数轴、基本初等函数、函数图像、方程的根与函数的零点、数列、不等式等教学内容都是与数形结合思想有着紧密关联的教学素材，教师可以凭借这些初等数学知识的学习，帮助学生形成对于数学结合思想的初步认知，认识到数形结合这一方式应用的具体价值，学会使用直观的图形解决抽象的代数问题[7]。圆锥曲线与方程、直线与方程等教学内容同样与数形思想有着较为紧密的关联，通过学习这方面的知识点，学生也可以进一步认识到以代数方式解决图形问题、数形转换思想的具体价值，帮助学生在解题的过程中灵活地使用数形结合思想，并逐渐内化为自己的解题工具。在进入高三阶段的总复习之后，学生能够对自己的数形结合思想进行综合运用以及考查，数形结合思想的有效应用对于学生解题速度和正确率的提升有着十分重要的帮助。教师需要以综合的数学题目作为载体，将数形结合思想进行巧妙的渗透。

（二）在知识的形成、解决中逐步渗透

高中阶段数学知识体系基本贯穿了数形结合思想，这也就意味着学生掌握数形结合思想是一个需要长期坚持的过程，需要在形成正确认识之后通过应用进行巩固以及内化。因为高中阶段的数学思想都隐藏在数学知识模块中，教师需要在向学生传授全新的数学知识的过程中引导学生探索这些知识的完整形成过程，进一步体会数形结合思想的真正价值[8]。比如，教师在带领学生共同学习有关函数奇偶性这部分知识的时候，可以邀请学生在上课之前使用五点法画出f（x）=x2以及f（x）=|x|的具体图像，并让学生观察图像的特点以及对应函数值的特点。在学生给出回答之后，教师可以要求学生思考是否函数中定义域中的任意x都完全符合这一规律，由学生自行进行推导。推导工作完成之后，教师可以和学生共同给出偶函数方面的定义，这种图形和代数结合的方法也体现了数形结合的思想。教师需要引导学生通过描绘函数图像，并通过层层问题的设置为数形结合思想的渗透提供完美的铺垫，让学生意识到在知识学习过程中数形结合思想的重要作用。

问题解决作为数学知识学习过程中的重要部分，数学思想也起到了十分重要的指导作用，教师需要在知识讲解的过程中，为学生建立良好的问题解决情境，引导学生积极思考，体会数形结合思想在问题解决中的真正价值。在学生感受到函数图像对于代数问题解答价值之后，教师可以解释代数方法很容易忽略x的符号问题，所以会得到错误的答案，并帮助学生在独立思考的情况下引导其找出错误发生的原因，让学生自主进行函数图像的绘制，真正体会到数形结合思想的作用。

（三）教学工作的趣味化、信息化发展

高中阶段的数学知识呈现出一种抽象枯燥的特点，教师为了帮助学生集中注意力，需要结合实际的生活内容，讲述一些具备数学教育意义的故事，并结合历史发展过程中数学家发生的趣味故事，介绍数形结合思想的价值，让学生的数学学习思维得以真正的活跃，并为学生提供数学知识学习的动机。现代信息技术的发展也为教育工作提供了更为先进的设备支持，因为高中阶段的数学知识点数量较多并且抽象，无法单纯凭借教师的口头语言阐述帮助学生深刻地理解抽象的逻辑知识。教师可以在进行知识讲解的过程中，使用多媒体设备在图像和视频播放等方面的优势传授数形结合思想。比如，在带领学生共同学习有关函数定义域这部分内容的过程中，可以使用多媒体软件将函数的图像画出，并呈现出详细的步骤以及学生需要了解的图像绘制细节，这也能够帮助学生进一步提高数学作图能力。这种直观化的教学方式，能够帮助学生体会到图形在代数知识学习过程中的重要价值，形成对于各种知识点的深刻理解并自觉在今后的学习中使用数形结合思想。

六、结束语

数形结合思想作为高中数学思想体系中的重要组成部分，能够将抽象的代数和较为复杂的几何问题进行相互转化，以一种更为直观的方式帮助学生进行问题的解答。教师可以在结合各种趣味故事以及使用多媒体设备的前提下，深刻挖掘教材中与数形思想相关的教学内容，带领学生经历知识形成的完整过程，让学生体会到数形结合思想的真正价值，并自觉在解题中进行应用。

参考文献

[1]徐欣欣.浅析数形结合思想方法在高中数学教学中的应用[J].新课程，2021（41）：135.

[2]赵贝蓓.浅析高中数学教学中渗透数形结合思想[J].数学学习与研究，2021（28）：22-23.

[3]高金财.数形结合方法应用于高中数学教学的实践研究[J].数理化解题研究，2021（27）：30-31.

[4]王继祖.核心素养下高中数学建模教学分析[J].中学数学，2021（17）：80-81.

[5]林荣元.探究数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].新课程，2021（36）：125.

[6]卢燕春.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用研究[J].考试周刊，2021（66）：82-84.

[7]李志琴.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].新课程，2021（31）：128.

[8]赵文奎.高中数学教学时数形结合方法的应用[J].当代家庭教育，2021（21）：11-12.