基于深度学习的高中数学概念教学实践研究

2021-05-28广东

教学考试(高考数学) 2021年2期

广东

深度学习是指在教师的引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.在这个过程中,学生掌握学科的核心知识,理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法,形成积极的内在学习动机、正确的价值观.如何判断课堂教学深度学习是否发生,主要看是否具备以下几个特征:一是联想与结构,把要学的内容与以前的内容联系起来,同时以融会贯通的方式对学习内容进行组织,构建出自己的知识结构;二是活动与体验,学生能够全身心投入到探索、发现、经历知识的形成过程,体会科学的思考方法;三是本质与变式,能够抓住教学内容的关键特征,全面把握学科知识的本质联系,并能够在变式中辨析本质特征;四是迁移与应用,要将学习的东西用到新的情境中去,能够举一反三,学以致用.

《普通高中数学课程标准(2017版2020年修订)》中指出:日常教学应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的全程,帮助学生逐步加深理解.随着新课程的深入实施,高中数学的概念教学受到了前所未有的重视.在高中数学概念教学实践中引导学生实现“深度学习”必须做好以下几个方面:1.问题驱动,激活学生思维;2.深入探索,体验数学概念的形成过程;3.意义构建,理解数学概念的本质;4.灵活迁移,应用数学概念解决问题.

一、问题驱动,激活学生思维

问题是数学的心脏,激发深度学习的教学应该以学生为核心,设计适合学生学习的问题来展开教学,发展学生思维.教学内容的问题是教师为学生创设问题情境,以问题为中心组织教学内容,以问题启发学生思考,探索发现数学结论,以获得知识形成、问题解决的体验.在高中数学概念教学中,教师围绕概念的生成创设一系列的问题情景,交叉地指导学生探究,步步深入,最终解决问题.

(一)合理地创设具有启发性的问题情景

华罗庚曾说过:“唯一推动我学习的力量,就是兴趣与方便,因为数学是充满了兴趣的科学,也是最便利于自学的科学.”富有趣味和启发性的问题情景可以形成生动活泼、积极健康的课堂氛围,这样能使学生的大脑处于适度的兴奋状态,易于引起学生的兴趣,从而更好地接受新知识,并在此基础上通过联想、分析、综合和推理,进行创造性的深度学习,最终习得概念的本质及迁移应用.在这个过程中,使学生个体的创造力、潜能和素养得到丰富和发展,个体的能动性得到充分展现,实现知识向能力的转化,使教学过程变成学生个性发展和完善的过程.

数学归纳法(节选)

师:四大古典名著之《三国演义》中有非常著名的一个章节——吕子明白衣渡江,关云长败走麦城,讲的是“武圣人”关羽打败仗的故事,有哪些同学读过这个故事?跟大家分享一下.(学生们被成功吸引,部分同学跃跃欲试,老师抓住机会开始点将)

生:故事讲的是……(老师根据学生的讲述情况进行补充,保证故事的完整性)

师:故事听完了,我想问大家一个问题:“白衣”是“化装成平民”,那么吕蒙为什么要“白衣渡江”?(课堂气氛进一步活跃,同学们都迫不及待地发表意见)

生:化装成平民可以出其不意地袭取烽火台,打关羽一个措手不及.(同学们各抒己见,课堂气氛高涨)

师:为什么出其不意地袭取了一个烽火台,就会打关羽一个措手不及?烽火台有什么作用?(老师特别强调“一个烽火台”)

生:烽火台点火就会升起“狼烟”,一个接一个地点火,以这种方式向远方传递敌情.而吕蒙成功袭取了一个烽火台,使这种“狼烟”没有办法升起,也就无法进行信息的传递,所以……

师:吕蒙的胜利是因为他懂得“数学归纳法”.(同学们都目瞪口呆,纷纷表示“抗议”,要老师对这个结论做出让他们理解的解释,我因正中下怀而暗自窃喜,旗开得胜,课程开始)

在这个导入设计中,摒弃了传统的导入方式,设计了一个充满启发性的问题情境,一下子抓住了学生的思维,使学生思维顺着教师的设计,一步一步进行下去,并在整个数学归纳法的教学过程中都跟烽火台的狼烟传递进行呼应,让学生在情感体验的同时轻松地学习,取得了较好的效果.强化问题情景的启发功能,让学生体验数学应用、形成探究的欲望,应成为数学课堂的发展方向.

(二)合理创设问题链,引领学生层层深入探究

问题链是教师为了实现一定的教学目标,根据学生的已有知识和经验,针对学生学习过程中将要产生或可能产生的困惑,将教材知识转换成层次鲜明、具有系统性的一连串的教学问题:是一组有中心、有序列、相对独立又相互关联的问题.高中数学概念教学中的“问题链”,对学生主动建构概念有较强的导向作用,是促进学生理解和掌握概念本质,发展学生的思维能力,以及推动学生实现预期目标的一种有效控制手段,是提高课堂教学效率的一种教学策略.

函数的奇偶性(节选)

问题1:观察下列函数的图象有何特征?

问题2:如何用数学的语言去描述函数图象的“对称”?

问题3:如何定量刻画二次函数f(x)=x2自变量取互为相反数时对应的函数值相等?能列举一些具体数据吗?这样的列举能反映函数f(x)=x2图象的变化趋势吗?能用什么办法解决好定量刻画问题?

问题4:如何用符号语言表示函数f(x)的图象“关于y轴对称”或“关于原点对称”?

问题7:如果函数f(x)对于定义域内任意自变量x,都有f(-x)+f(x)=0,函数f(x)是奇函数吗?

问题8:如果函数f(x)对于定义域内任意自变量x,都有f(-x)-f(x)=0,函数f(x)是偶函数吗?

问题9:回顾上述学习过程,有何体验或感悟?

问题的设计一定要精准,问题链中的每一个问题都是学生学习的一个“锚点”,环环相扣,层层深入,引导学生抓住核心问题深入探究.“函数的奇偶性”的课堂教学设计中,问题链就像一根指挥棒,指引着学生对“函数的奇偶性”进行深度学习.从图象直观出发,到奇(偶)函数的描述性定义,再到奇偶性形式化的定义;从定性描述到定量刻画;用“任意”突破“无限”等,由浅入深,环环相扣,最终达成教学目标.

二、深入探索,体验数学概念的形成过程

传统数学课堂教学“轻过程、重结果”,流行做法有“导学案”,“一个定义三项注意”等,忽视概念产生的背景和形成过程,概念学习退化为“列举概念要素、关键词和注意事项”的学习.教学活动外化,教学内容泛化,课堂变的热闹了,在一定程度上激发了学生学习的兴趣和热情,但学生内在的思维和情感没有被真正激活,课堂缺乏深层次的思考.导学案的设计打破了原有课程的内在逻辑,支离破碎,课堂的花架子很多,实质性的内容却很少,教学内容严重泛化或碎片化,造成了低效甚至无效.课堂教学教师要引导学生进行深入探索,体验数学概念的形成过程和本质,坚持重结果也重过程,让数学教学成为“有思想的教学”,成为提高学生思维能力的舞台.

直线的倾斜角与斜率(节选)

师:在平面直角坐标系中,要确定一条直线,需要哪些几何要素?

生:两点确定一条直线.

师:还有没有其他确定一条直线的方法呢?

情境:教师展示一个很大的正方形,该正方形的对角线比同学们手中的三角板(等腰直角)的任意一条边都长得多,怎么样将它的对角线连接起来呢?

生:正常情况下直接将相对的两个顶点连接起来便可得到,但是这里的正方形对角线比三角板的任意一条边都长得多,这种做法不可取.我们知道正方形的对角线与边成45°,只要将三角板的一条直角边或者斜边与正方形的一边重合,且两者的顶点重合,把过该点的斜边或直角边逐渐延长,最终可准确地将正方形的对角线连接起来.

师:直线还可以由一个点和一个方向(角)来确定.这个角就是两条直线间的相对位置关系.

设计意图:引导学生发现确定一条直线的要素除了两个点,还可以是一个点和一个方向(角).

下面我们将直线放在平面直角坐标系中来研究.给出一点P,可以作无数条直线.这些直线组成“直线束”.

师:一个点不能确定一条直线,如果要确定直线束中的某条直线,还需要一个什么条件?如果学生说出第二个点,引导学生回忆刚才画正方形对角线的情境.确定一条直线还需要一个方向(角),由此说明引入倾斜角的必要性.

师:刚才通过画正方形对角线了解到,一个角是两条线的相对位置关系,现在我们要有刻画倾斜程度的角,就必须还有一条形成角的参照的直线.在平面直角坐标系中,以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答x轴或y轴)

师:以x轴或y轴为基准都可以,在平面直角坐标系中讨论角,我们常常以x轴为基准.当直线l与x轴相交时,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.

设计意图:利用富有启发性的问题串,引导形成倾斜角概念,让概念生成水到渠成.

在“直线的倾斜角”的教学中,让学生从“要确定一条直线,需要哪些几何要素?”问题情境开始,挑战一个操作性的问题,学生在动手操作的过程中,体会概念形成的必要性和必然性,倾斜角的概念生成水到渠成.问题由浅入深,层层递进,学生在深入探究的过程中思考、归纳并总结规律,在这个过程中提升学生的数学核心素养,增强数学概念教学的有效性.这样的数学概念教学,过程自然而又体现数学概念的本质,学生真正经历概念的探究过程,思维得到极大的发展,实现数学概念的育人价值.

三、意义构建,理解数学概念的本质

深度学习特别重视对知识本质的理解,基于深度学习的高中数学概念教学就必须重视对于概念本质的理解,特别是要注重探索理解概念本质的过程,为了帮助学生把握数学概念的本质,教学中可通过类比生活中的一些常识性的模型或概念,进行有意义的构建,理解数学概念的本质.

直线的倾斜角与斜率(节选)

情境:除了用倾斜角、斜率刻画直线的倾斜程度以外,日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

师:如图,我们经常用一些生活斜面的图片,从“坡度”、“坡比”这两个概念刻画斜坡的倾斜程度.你们还记得坡比的概念吗?

生:倾斜角α的正切值.

师:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.

倾斜角是90°的直线没有斜率.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tanα(α≠90°).

倾斜角相同的直线,其斜率相同;倾斜角不同的直线,其斜率不同.因此,我们可以用斜率刻画直线的倾斜程度.直线的倾斜角、斜率都是用来刻画倾斜程度的,它们本质上是一致的.倾斜角从形的角度刻画倾斜程度,而斜率是比值,实质是数值,它从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些.

设计意图:通过类比,由形的角度刻画倾斜程度过渡到数的角度刻画倾斜程度,得到斜率概念.

高中数学的教学不应该简单地成为数学知识的传递,而要充实学生的知识基础、完善学生的逻辑思维、发展学生科学理性的精神,即学习理解数学本质的同时也要经历掌握知识本质的过程.在“直线的斜率”教学中,为了让学生把握“斜率”的本质,先提供一下生活中的斜坡的图片,然后引导学生发现从“坡度”、“坡比”这两个概念刻画斜坡的倾斜程度,抽象出如何刻画直线的倾斜程度.只有这样充分经历认识“斜率”本质的过程,才能促进学生的深度学习.

四、灵活迁移,应用数学概念解决问题

有学习就会有迁移,甚至“学习就是迁移”，“学习为了迁移”.“迁移”是经验的扩展与提升,“应用”是将内化了的知识外显化、操作化的过程,也是将间接经验直接化、将符号转为实体、从抽象到具体的过程,是知识活化的标志,也是学生学习成果的体现.基于深度学习的高中数学概念教学必须做好“迁移与应用”,让学生参与概念的迁移并应用的过程,使新概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.这是学生在数学概念学习活动中经历的对未来要从事的社会实践的初步尝试,也是数学概念教学教育性的重要体现.

基于深度学习的平面向量的实际背景及基本概念(节选)

问题10:观察图中的正六边形,请给图中的任意两条线段加上箭头表示向量,试说说它们间的关系,找出你认为有特殊关系的向量?