培养深度思维 提升数学素养——谈思维教学案的设计和使用

山东

当前教育界广泛关注深度学习,与此相呼应的是学生高阶思维的培养,教师的教学应立足于深度思维的发生.“思维教学案”是指能够激发学生深度思考,进行深度思维训练,促进学生数学核心素养提升的教学案.深度思维是什么样子的？一是要有较长的逻辑链.越长的逻辑链就能体现出越是深刻的逻辑思维,推理和论证越是严谨；二是系统性思维.把自己置身于问题情景当中,与系统共生,找到问题之间的关联,不断地发现和总结规律；三是发散性思维.能够快速地进行头脑风暴,以独特的视角看待问题,打破常规,寻求问题解决的新思路.具有深度思维的学生在知识信息加工、概念的理解与运用等方面有着更深刻的见解,能够主动建构个人的知识体系,并且把所拥有的知识迁移到真实的情境中.

思维教学案的教学过程有两条线,明线是必备知识线和关键能力线,暗线是思维线、情境线和素养线.明线是展示在教学案上的,教师和学生都能看到的真实的例题和习题.暗线则是需要教师对题目进行合理的组织和安排,激发和调动学生思考,提升学生的数学核心素养.

1.深度思维的问题串设计

问题串即一串问题,或者说一系列的问题,这一系列的问题的导向是促进和提升学生对问题的理解和解决的能力.问题串设置合理,问题由难变易,知识形成的脉络清晰,下面以均值定理的问题串教学为例进行说明.

案例1均值不等式新授课教学.

这三个小题体现均值定理的“一正”,非常适合初学的同学,快速地去思考和理解如果项是负的怎么办.第(3)小题体现高阶思维,将第(1)题和第(2)题融合,题目虽然简单,但是渗透分类讨论的思想,提升逻辑推理和数学运算核心素养.

(4)如果x>0,y>0,xy=1,求x+y的最小值；

(5)如果x>0,y>0,x+y=1,求xy的最大值；

(6)如果x+y=1,求xy的最值.

这三个小题能够解决“和有最值,积为定值”和“积有定值,和为最值”的问题,即通常说的“二定”.第(6)小题x和y的取值范围不加以限制,如何处理呢？体现出能力提升的高阶思维,用到换元法,变量代换的思想,提升逻辑推理核心素养.

新授课的教学问题串的设置到此结束即可,后续就是应用,但是万变不离其宗,即“一正、二定、三相等”,思维训练的重点在哪里呢？模型化的方法、配凑的技巧、换元的方法、整体的思想、数形结合的思想等,这些都是问题串教学需要达到的思维训练水平.

设置问题串的目的是将原先的习题教学变得生动,可操作性增强,知识的归纳和梳理水平增强,使得学生透过现象看到问题的本质,教学案题目的训练过程就是循序渐进的知识积累的过程,题目不求多,但求务实,辅助适当的反馈练习和课堂检测,落实课堂教学的“四基”,突破课堂教学的重点和难点.

2.深度思维的习题变式

所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，即教师可不断更换命题中的非本质特征,变换问题中的条件或结论,转换问题的内容和形式,配置实际应用的各种环境,但应保留好对象的本质因素,从而使学生掌握数学对象的本质属性.

一道习题未必能使学生理解所学的知识,但是进行变式训练强化之后的知识会变得更加扎实.下面举例说明如何从提升数学思维的角度进行变式.

角度1:相对概念

【例1】(1)如果函数y=loga(x2+ax+2)的定义域为R,求a的取值范围.

(2)如果函数y=loga(x2+ax+2)的值域为R,求a的取值范围.

解:(1)要使函数y=loga(x2+ax+2)的定义域为R,需要x2+ax+2>0恒成立.

(2)要使函数y=loga(x2+ax+2)的值域为R,

定义域和值域属于相对的两个概念,处理问题的方法方式不同,当然它们相互制约.此题属于典型的易错题,加深学生对对数函数相关概念的理解,特别是对“为什么此函数的值域为R”的认识,同时增强分析问题和解决问题的能力.

角度2:平行概念

解:(1)方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0等价于x2-2x+m=0或x2-2x+n=0,

因为x2-2x+m=0与x2-2x+n=0的两根之和均为2,

不妨设x2-2x+m=0的根为a1,a4,x2-2x+n=0的根为a2,a3,

(2)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0等价于x2-mx+2=0或x2-nx+2=0,

因为x2-mx+2=0与x2-nx+2=0的两根乘积均为2,

不妨设x2-mx+2=0的根为a1,a4,x2-nx+2=0的根为a2,a3,

所以a4=4,a2=1,a3=2,

可以把等差数列和等比数列的逻辑关系看成两个平行概念,基于平行概念的变式能够体现出概念之间的差异,同时可以比较出问题解决办法的差异性,牢固地建立它们之间的联系.

角度3:主元变换

【例3】(1)已知x∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求a的取值范围.

(2)已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围.

解:(1)法1:讨论对称轴相对于区间的位置

分三种情况讨论:

综上所述,a<1.

法2:利用分离参数法

因为x2+(a-4)x+4-2a=a(x-2)+x2-4x+4>0恒成立,

而x-2∈[-3,-1],

所以a<1.

(2)记f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)

则f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,

此时f(a)的图象为直线,

解得x<1或x>3.

主元变换以函数类题目居多,如函数与导数中的问题等.主元变换更加强调对变量和参数的认识,特别是由与主元变换引起的问题解决办法的差异,甚至从审题的角度(看不清主元)都应该引起学生的重视.

数学深度学习特别主张变式教学,笔者认为变式教学包括“习题变式”和“方法变式”,前面我们提到的3个例题是对习题进行变式,对方法进行变式即一题多解,采用不同的方法解决同一道题目,甚至是不同章节的知识交汇解决问题.学生在教师的指导下养成“变式”的习惯之后,就会主动提出一些新的问题,或者形成独特的问题解决思路,拓宽数学学习的视野.

3.深度思维的知识拓展

在教学案的最后,建议设置知识拓展栏目,丰富课堂教学的思维含量,增加知识的探究性和趣味性.一般来讲,知识拓展是新知识的高阶运用,并不是说仅仅把题目的难度增加就行了,而是让知识的内涵更加丰富,理解数学,会用新知识解决新问题,变换视角来观察和研究问题.

案例2高中数学我们研究了数量和向量,这节课我们学习了实数形式的基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R),那么有没有向量形式的基本不等式a2+b2≥2a·b？请同学们自主证明,并利用此结论尝试解答下面的问题.

【例4】若平面向量a,b满足:|2a-b|≤3,则a·b的最小值是________.

(1)结论的证明

证明:因为(a-b)2=|a-b|2≥0,所以a2+b2-2a·b≥0,所以a2+b2≥2a·b.

当且仅当a=b时等号成立.

相关变式:

①2(a2+b2)≥(a+b)2；

②a2+b2≥-2a·b；

③(a+b)2≥4a·b；

④(a-b)2≥-4a·b.

(2)结论的应用

解:因为|2a-b|≤3,所以|2a-b|2≤9,因为|2a-b|2=(2a-b)2≥-8a·b,

平面到空间是一个拓展,数量到向量也是一个拓展,实数到复数还是一个拓展,我们把这些可拓展的知识体系建立起联系,梳理它们的一致性和差异性,高阶思维自然呈现,数学核心素养得到提升.

4.与新高考模式融合

2020是山东新高考元年,数学试卷最大的变化是出现多选题、“开放性”的解答题.其目的在于考查学生缜密的思维,严格的推理的能力,体现出较强的选拔功能,基于对学生的“素养”、“创新”等的考查.另外从全国各省市的高考试题看,逻辑题、信息题(新定义题)、“双空”的填空题、数学文化题、数据分析题、举例题等都应该成为我们思维教学案的命题和选题类型.

类型1:数学文化题

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为

()

A.20° B.40°

C.50° D.90°

答案：B.

(2020·全国卷Ⅰ理·3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

()

答案:C.

(2020·全国卷Ⅱ理·4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)

()

A.3 699块 B.3 474块

C.3 402块 D.3 339块

答案:C.

类型2:信息题(新定义题)

()

A.若n=1,则H(X)=0

B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大

D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)

答案:AC.

()

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

答案:C.

类型3:多选题

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·9)已知曲线C:mx2+ny2=1.

()

A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

答案:ACD.

类型4:“双空”填空题

类型5:数据分析题

给出下列四个结论:

①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是________.

答案:①②③.

类型6:开放性题目

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

在进行思维教学案设计时,我们要尽可能多的设置创新题型,强化日常教学与新高考之间的关联,多做题而不是重复训练,通过题目强化基础知识的同时要注重提升数学能力,以提升学生的六大数学核心素养为教学案编写的立足点,以激发思考和调动思维为教学案编写的基本原则.特别是要关注《中国高考评价体系》中“一核四层四翼”,“一核”是高考的核心功能,即“立德树人、服务选才、引导教学”；“四层”是指核心价值、学科素养、关键问题、必备知识；“四翼”是指基础性、综合性、应用型、创新性.