乘积度量空间上满足σ(γ)-压缩条件映射的唯一不动点

朴 勇 杰

(延边大学 理学院数学系, 吉林 延吉 133002)

1 引言与预备知识

Banach压缩原理[1], 即Banach不动点定理， 是不动点理论中最基本、 最简单形式的定理, 在数学及其他领域应用广泛, 因此该定理在各类不同空间, 特别在乘积度量空间[2-4]上已被广泛推广和改进. 特别地, Özavsar等[5]通过在乘积度量空间上引进乘积压缩映射的概念, 给出了若干乘积压缩映射的不动点存在定理.

(i)αα关于每个变量连续;

(ii)α存在k∈[0,1), 使得当a≤α(a,b,b)或a≤α(b,a,b)或a≤α(b,b,a)时,a≤kb.

实度量空间X上的自映射T为A-压缩的[6]是指对任何x,y∈X, 均有

d(Tx,Ty)≤α(d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty)),

(1)

其中α∈A. 文献[6]利用该条件得到了若干重要的不动点存在定理; 文献[7]利用A-压缩把文献[6]的部分结果推广到积分形式. 显然, A-压缩是如下压缩条件的推广:

d(Tx,Ty)≤ad(x,y)+bd(x,Tx)+cd(y,Ty), ∀x,y∈X,

(2)

其中a,b,c∈[0,1)且满足a+b+c<1, 因此也是如下压缩条件的推广：

d(Tx,Ty)≤ld(x,y)+k[d(x,Tx)+d(y,Ty)], ∀x,y∈X,

(3)

其中l,k∈[0,1)且满足l+2k<1. 因此文献[6]的结果推广并改进了Kannan型不动点定理及其变形结果[8]. 文献[9]在复值度量空间上重新定义了A-压缩概念, 讨论并得到了文献[6]中的相应结果; 文献[10]在度量空间上得到了满足A*-压缩条件的不动点定理, 从而推广并改进了文献[6]的结果; 文献[11]通过在复值度量空间上引进另一类压缩条件, 即B-压缩条件, 得到了若干新的不动点定理, 并由该定理得到了满足压缩条件

d(Tx,Ty)≤αd(x,y)+βd(x,Ty)+δd(y,Tx),α,β,δ∈[0,1),α+2max{β,δ}<1

的自映射的不动点存在性定理, 因此在复值度量空间上推广并改进了Chatterjea型不动点定理[12]及其变形定理.

本文将在乘积度量空间上引进两类压缩条件, 并给出两个重要的不动点定理, 进而给出若干不动点定理. 这些结果是在乘积度量空间上的Banach不动点定理、 Kannan不动点定理、 Chaterjea不动点定理及其变形结果的新表现形式, 即本文结果推广并改进了乘积度量空间上很多已有的不动点定理.

定义1[2]设X是非空集合, 如果映射d:X×X→[0,∞)满足下列条件：

1) 对任何x,y∈X,d(x,y)≥1且d(x,y)=1⟺x=y;

2) 对任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x);

3)(乘积三角不等式) 对任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)d(y,z).

则称d是X上的乘积度量, 称(X,d)为乘积度量空间.

例2[13]设X=并定义d(x,y)=e|x-y|(∀x,y∈X), 则(,d)是乘积度量空间.

定义2[2]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中序列, 且x∈X. 若对任何积性开球Bε(x)={y∈X|d(x,y)<ε}(ε>1), 均存在自然数N, 使得当n>N时xn∈Bε(x)成立, 则称序列{xn}乘积收敛于x, 并记为xn→x(n→∞).

引理1[5]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中序列且x∈X, 则

xn→x(n→∞) ⟺d(xn,x)→1(n→∞).

定义3[5]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中序列. 若对任何ε>1, 均存在自然数N, 使得当n,m>N时d(xn,xm)<ε成立, 则称序列 {xn}为乘积Cauchy序列.

引理2[5]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中序列, 则{xn}是乘积Cauchy序列当且仅当d(xm,xn)→1(m,n→∞).

定义4[5]如果乘积度量空间(X,d)中的每个乘积Cauchy序列都是乘积收敛的, 则称(X,d)是完备的.

引理3[5]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}和{yn}是X中的两个序列, 且x,y∈X, 则

xn→x,yn→y(n→∞) ⟹d(xn,yn)→d(x,y),n→∞.

定义5[5]设(X,d)是乘积度量空间. 对于映射f:X→X, 若存在λ∈[0,1), 使得对任何x,y∈X, 均成立d(fx,fy)≤(d(x,y))λ, 则称f为乘积压缩的.

定理1[5]完备的乘积度量空间(X,d)上任何乘积压缩映射f必有唯一不动点.

2 唯一不动点定理

首先, 引进第一个函数类:σ∈Σ当且仅当σ: [1,∞)3→[0,∞)满足下列条件：

(i)σσ关于每个变量连续;

(ii)σ存在k∈[0,1), 使得当x,y∈[1,∞)且满足x≤σ(y,y,x)或x≤σ(y,x,y)或x≤σ(x,y,y)时,x≤yk成立.

例4定义σ: [1,∞)3→[0,∞)为σ(x,y,z)=(max{x,y,z})k, 其中k∈[0,1).显然,σ满足条件(i)σ. 假设x≤σ(y,y,x)=(max{y,y,x})k. 如果y

定理2设(X,d)是完备的乘积度量空间, 且f:X→X为映射. 如果对任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤σ(d(x,y),d(x,fx),d(y,fy)),

(4)

则f在X中存在唯一不动点, 其中σ∈Σ.

证明: 任取x0∈X, 并根据xn+1=fxn(n=0,1,2,…)构造一个序列{xn}.

对任何n=1,2,…, 根据式(4)得

根据条件(ii)σ得d(xn,xn+1)≤(d(xn-1,xn))k. 因此由归纳原理可得

d(xn,xn+1)≤(d(x0,x1))kn,n=1,2,….

(5)

对任何正整数n,m且n>m, 根据定义1中条件3)和式(5)得

对任何n=1,2,…, 根据式(4)得

对式(7)两边取极限, 根据引理2、 引理3和条件(i)σ得

d(x*,fx*)≤σ(1,1,d(x*,fx*)),

于是根据条件(ii)σ得d(x*,fx*)=1, 即fx*=x*, 表明x*是f的一个不动点.

如果y*也是f的不动点, 则得

d(x*,y*)=d(fx*,fy*)≤σ(d(x*,y*),d(x*,fx*),d(y*,fy*))=σ(d(x*,y*),1,1),

于是根据条件(ii)σ得d(x*,y*)=1, 因此x*=y*. 表明x*是f的唯一不动点.

定理3设(X,d)是完备的度乘积量空间, 且f:X→X为映射. 如果对任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(d(x,y))α(d(x,fx))β(d(y,fy))δ,

则f在X存在唯一不动点, 其中非负实数α,β,δ满足α+β+δ<1.

证明: 考虑例3中的σ, 根据定理2和例3知, 给定的条件满足定理2的所有条件, 因此f有唯一不动点. 证毕.

类似地, 根据定理2和例4可得如下不动点定理:

定理4设(X,d)是完备的乘积度量空间, 且f:X→X为映射. 如果对任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(max{d(x,y),d(x,fx),d(y,fy)})k,

则f在X中存在唯一不动点, 其中非负实数k<1.

注1定理3是度量空间上满足压缩条件(2)的不动点定理在乘积度量空间上的表现形式. 如果β=δ=0, 则定理3是乘积度量空间上Banach型不动点定理, 即定理1; 如果α=0,β=δ, 则定理3是Kannan型不动点定理, 而定理4是乘积度量空间上Ciric型不动点定理. 因此定理2～定理4推广并改进了很多重要的不动点定理.

其次, 引进第二个函数类:γ∈Γ当且仅当γ: [1,∞)3→[0,∞)满足下列条件:

(i)γγ关于每个变量连续且单调递增的;

(ii)γ存在k∈[0,1), 使得当x,y∈[1,∞)且x≤γ(y,xy,1)或x≤γ(y,1,xy)时,x≤yk成立.

x≤γ(y,xy,1)=ys(max{xy,1})t=ys(xy)t=xtys+t,

则x≤y(s+t)/(1-t)=yk; 如果

x≤γ(y,1,xy)=ys(max{1,xy})t=ys(xy)t=xtys+t,

则x≤y(s+t)/(1-t)=yk. 于是γ满足条件(ii)γ, 因此γ∈Γ.

定理5设(X,d)是完备的乘积度量空间, 且f:X→X为映射. 如果对任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤γ(d(x,y),d(x,fy),d(y,fx)),

(8)

则f在X中存在不动点, 其中γ∈Γ. 进一步, 若γ满足对任何x>1, 均有x>γ(x,x,x), 则f有唯一不动点.

证明： 任取x0∈X, 并根据xn+1=fxn(n=0,1,2,…)构造一个序列{xn}.

对任何n=1,2,…, 根据式(8)、 定义1中条件3)和(i)γ得

对任何n=1,2,…, 根据式(8)有

对式(9)两边取n→∞, 根据引理2、 引理3和条件(i)γ得

d(x*,fx*)≤γ(1,d(x*,fx*),1),

于是根据条件(ii)γ得d(x*,fx*)=1, 即fx*=x*, 表明x*是f的一个不动点.

假设y*也是f的不动点, 则根据式(8)有

于是根据附加条件得d(x*,y*)=1, 即x*=y*, 表明x*是f的唯一不动点.

定理6设(X,d)是完备的乘积度量空间, 且f:X→X为映射. 如果对任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(d(x,y))α(d(x,fy))β(d(y,fx))δ,

则f在X中存在唯一不动点, 其中非负实数α,β,δ满足α+2max{β,δ}<1.

证明: 考虑例5中的γ, 根据定理5和例5知, 给定的条件满足定理5的所有条件, 因此f有不动点. 此外, 当x>1时,γ(x,x,x)=xα+β+δ

同理, 根据定理5和例6可得如下不动点定理:

定理7设(X,d)是完备的乘积度量空间, 且f:X→X为映射. 如果对任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(d(x,y))s(max{d(x,fy),d(y,fx)})t,

则f在X中存在唯一不动点, 其中非负实数s,t满足s+2t<1.

证明： 考虑例6中的γ, 根据定理5和例6知, 给定的条件满足定理5的所有条件, 因此f有不动点. 此外, 当x>1时,

γ(x,x,x)=xs(max{x,x})t=xs+t≤xs+2t

于是定理5中的附加条件也满足, 因此f有唯一不动点.

注2定理6是复值度量空间上满足压缩条件d(fx,fy)≤αd(x,y)+βd(x,fy)+δd(y,fx)(其中α,β,δ∈[0,1)且满足α+2max{β,δ}<1)的自映射的不动点定理在乘积度量空间上的表现形式. 特别地, 当β=δ=0时, 定理6即为Banach型不动点定理; 当α=0,β=δ时, 定理6即为Chatterjea型不动点定理. 显然, 定理7是Banach型不动点定理和Ciric型不动点定理的混合型结果. 因此定理5～定理7推广并改进了很多重要的不动点定理.

当x,y∈{0,2},x=y=5时, 显然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e0=1≤(d(x,y))α(d(x,fx))β(d(y,fy))δ;

当x=0,y=5时, 显然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

当x=2,y=5时, 显然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

于是(X,d),f,α,β,δ满足定理3的所有条件, 因此f有唯一不动点0.

当x,y∈{0,2},x=y=5时, 显然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e0=1≤(d(x,y))α(d(x,fy))β(d(y,fx))δ;

当x=0,y=5时, 显然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

当x=2,y=5时, 显然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

于是(X,d),f,α,β,δ满足定理6的所有条件, 因此f有唯一不动点0.

d(fx,fy)=e2

于是(X,d),f,s,t满足定理7的所有条件, 因此f有唯一不动点0.