三物种竞争系统行波解的最小波速

周音波, 张亚菲

(西安电子科技大学 数学与统计学院, 西安 710071)

0 引 言

考虑如下三物种的Lotka-Volterra(L-V)竞争系统:

(1)

其中t>0,x∈,di,ri,bi(i=1,2,3)都是正数,di表示扩散系数,ri表示种内增长率,bi表示竞争系数,u1(x,t),u2(x,t)和u3(x,t)分别表示在时间t和位置x处的物种密度. 系统(1)非线性项中每个物种的迁移能力都标准化为1, 由系统(1)可见, 物种u1与u3之间没有竞争, 而物种u2与u1和u3之间都存在竞争.

目前, 关于最小波速选择机制的研究已被广泛关注. 文献[1]研究表明, 系统在不稳定平衡点处的线性化问题可以控制系统的最小波速. 但对于某些参数的选择, 最小波速可能严格大于c0. 为方便, 本文给出线性选择和非线性选择的定义. 当cmin=c0时, 系统的最小波速是线性选择的； 如果cmin>c0, 则系统的最小波速是非线性选择的. 文献[2-6]研究了二维L-V竞争系统最小波速的选择机制； 文献[7]讨论了相应的格动力系统； 文献[8-9]研究了其他模型中最小波速的选择机制. 目前, 对更高维数的L-V竞争系统最小波速的选择机制研究文献报道较少, 文献[10]研究了三维L-V竞争系统最小波速的线性选择机制, 结果表明, 当系统的参数满足

时, 系统的最小波速是线性选择的, 其中

本文进一步研究三维L-V竞争系统的速度选择机制, 给出判断系统速度选择机制的一般条件, 并通过构造一些新的上下解给出一些判断速度选择机制的确切条件.

1 行波解的存在性

下面用单调迭代方法考虑系统行波解的存在性. 令u=1-u1,v=u2,w=1-u3, 则竞争系统(1)可转化为合作系统：

(2)

且初值条件为

u(x,0)=1-u1(x,0),v(x,0)=u2(x,0),w(x,0)=1-u3(x,0), ∀x∈.

假设竞争系数满足

b2>1,b1+b3<1.

(3)

则当式(3)成立时, 系统(2)存在平衡点:

(u,v,w)=(0,0,0)=α0, (u,v,w)=(1,1,1)=α1, (u,v,w)=(1,0,1)=α2.

引入新变量ξ=x-ct, 并定义(u,v,w)(x,t)=(U,V,W)(ξ)是系统(2)连接α1和α0的行波解, 则(U,V,W)(ξ)满足

(4)

令θ充分大, 使得

其中F,G,H分别对U,V,W单调. 则系统(4)可转化为

(5)

(6)

用参数变换法可得系统(5)的积分形式为

(7)

其中

定义1如果(U,V,W)(ξ)≥(≤)(T1,T2,T3)(ξ), 则连续函数(U,V,W)(ξ)是积分系统(7)的一个上(下)解.

类似文献[5]的引理6.1可得：

引理1连续函数(U,V,W)(ξ)在(-∞,+∞)上除有限点ξi(i=1,2,…,n)外处处可微, 不仅满足

下面给出一些假设并证明如果系统(7)存在一组上解和下解, 则可以得到系统(4)真实解的存在性, 并给出估计.

(8)

其中n=0,1,2,…. 由文献[11]可得：

定理1如果系统(7)满足假设(H), 则迭代式(8)收敛到一个非增的函数(U,V,W)(ξ). 该函数即为系统(4)的解, 不仅满足(U,V,W)(-∞)=α1， (U,V,W)(+∞)=α0, 而且对于ξ∈(-∞,+∞), 有

2 速度选择机制

由文献[12]可得:

引理2假设存在常数η-和η+, 满足η-<0<η+, 并且在t0∈(-∞,+∞)时定义函数η(t)为

dφ″(t)-cφ′(t)+rφ(t)(η(t)-φ(t))=0

存在单调非负解φ(t), 满足φ(-∞)=η+和φ(+∞)=0.

(10)

证明： 当U(ξ)=1-ψ(ξ)时, 方程(9)可转化为关于ψ的方程：

令ξ=-t并定义ψ(ξ)=ψ1(t), 1-b2V(ξ)=b(t), 则有

(11)

则对所有的t∈(-∞,+∞)有b(t)≥b-(t). 由引理2可知, 方程

引理4当b1=b3=0时系统(4)的最小波速满足cmin=c0.

证明： 此时系统(4)为

下面通过对系统(4)中第二个方程构造合适的上下解研究系统(4)最小波速的选择机制. 在α0处对系统(4)进行线性化可得一个常系数系统：

(12)

对一些正常数z1,z2,z3和μ, 令(U,V,W)(ξ)=(z1e-μξ,z2e-μξ,z3e-μξ), 将其代入系统(12)可得

(13)

这里A(μ)是一个三阶矩阵, 具体形式为

当且仅当A(μ)=0时, 代数方程(13)有非平凡解. 令

f(μ)=d2μ2-cμ+r2(1-b1-b3)=0.

(14)

如果c≥c0, 则式(14)存在两个正解：

(15)

(16)

这里A是一个常数,μ1是式(15)中所定义的形式.

(18)

下面在c→c0时构造系统(4)的一个下解. 定义连续函数

证明： 只需证明对于所有的ξ∈(-∞,+∞), 均有

(19)

当ξ≤ξ1时式(19)的第二个不等式成立, 而且对于所有的ξ, 第一个和第三个不等式也成立. 考虑式(19)第二个不等式的左边, 当ξ>ξ1时, 有

这里f(μ1)是式(14)定义的形式. 当ε2充分小时, 式(20)右边的第一项为0且第二项恒大于0； 当M充分大时有z2>0, 且第二项的指数函数可以控制第三项. 因为最后三项取值也全为正数, 所以结论得证.

定理2当式(18)成立时, 系统(4)的最小波速是线性选择的.

下面考虑系统(4)最小波速的非线性选择机制.

(21)

证明： 假设系统(21)当c∈[c0,c1)时存在单调的行波解(U,V,W)(x-ct), 初值条件为

u(x,0)=U(x),v(x,0)=V(x),w(x,0)=W(x).

(22)

V(x-ct)=V(ξ*+(c1-c)t)→V(+∞)=0,t→+∞,

下面构造一个连续单调的函数

(23)

如果

(25)

定理3当式(25)成立时， 系统(4)的最小波速是非线性选择的.

3 速度选择判定定理

定理4假设d1=d3,r1=r3. 如果

则系统(4)的最小波速是线性选择的.

证明： 定义

其中

(26)

(27)

当ξ>ξ2时,

因此在条件(27)下, -2(1-b1-b3)+J1(ξ)<0恒成立, 从而由定理2可得结论成立.

定理5如果b1+b3<1/3, 且

(28)

或

(29)

成立, 则系统(4)的最小波速是线性选择的.

(30)

通过简单计算, 有

(31)

(32)

(33)

将式(31)～(33)代入系统(4)可知, 如果

(34)

从而当式(29)的第二个不等式成立时， 这两个不等式也成立. 因此由定理1可知结论成立. 证毕.

(35)

定理6如果

(36)

则系统(4)的最小波速是非线性选择的.

(37)

将式(35)替换到系统(4)中, 则需证明不等式(25)成立, 且当c=c0+ε1时下列不等式也成立：

(38)

(39)

从而在条件(37)和(39)下, 式(38)的第一个不等式成立. 同理可知式(38)的第二个不等式也成立. 将式(35)代入式(25)可得

则当ε1充分小时, 在条件(37)下, 有

从而由定理3可知结论成立.

综上可见， 本文定理5的结果可以简化为E1∪E2, 其中