分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性

尚淑彦, 韩晓玲

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言与预备知识

分数阶微分方程广泛应用于自然科学、 工程技术和控制系统等领域, 在电磁学、 力学、 医学、 扩散、 控制、 信息处理等应用中, 分数阶微分方程比整数阶微分方程更符合实情, 能更准确地描述一些实际问题. 目前, 关于分数阶微分方程的研究已取得了丰富的成果[1-9]. 例如： 文献[1]研究了分数阶积分边值问题

(1)

受上述文献启发, 本文用不动点指数理论, 在与相应的线性算子第一特征值相关的条件下, 给出积分边值问题(1)至少存在一个正解的结果, 与文献[2]相比, 本文所用方法不同, 而且对非线性项的条件最优, 最后给出一个实例说明本文结果的适用性.

定义1[3]函数f: [0,∞)→的α(α>0)阶Caputo分数阶导数定义为

其中[α]表示实数α的整数部分.

定义2[3]函数f: [0,∞)→的α(α>0)阶Riemann-Liouville分数积分定义为

定义3[3]函数f: [0,∞)→的α(α>0)阶Riemann-Liouville分数导数定义为

引理1[3]设n如上述定义, 则下列关系成立:

引理2[3]令α>θ>0且n-1<α

本文定义

引理3[2]当Q1<1,P2<1且(1-Q1)(1-P2)>P1Q2时, 有

mη(s)g(s)≤H(t,s)≤Mg(s), (t,s)∈[0,1]×[0,1],

其中：

Br={u∈C[0,1]|‖u‖0),

P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]},

则P是C[0,1]上的正锥, 取

引理4A:P1→P1是全连续算子.

证明: 由引理3可知

所以A:P1→P1. 下面证明算子A连续. 设un,u∈P1, ‖un-u‖→0(n→∞), 则有

于是有

设S⊂P1是有界集, 即∀u∈S, ∃M>0, 使得‖u‖≤M, 因为f在[0,1]×[-M,M]上一致有界, 所以存在一个正常数L>0, 使得|f(s,u(s))|≤L. 因此

下证算子A等度连续.

从而A等度连续, 由Arzela-Ascoli定理知A:P1→P1是全连续算子.

定义算子

(2)

易知T是线性全连续算子.

引理5[4]设T:C[0,1]→C[0,1]是全连续算子且T(P1)⊂P1. 如果存在ψ∈C[0,1](-P1)和一个常数c>0, 使得cTψ≥ψ, 则谱半径r(T)≠0, 且T的第一特征值λ1=(r(T))-1所对应的特征函数φ1为正.

引理6假设T由式(2)定义, 则算子T的谱半径r(T)≠0, 且T的第一个特征值λ1所对应的特征函数为正.

证明: 取t1∈[1/4,3/4], 使得H(t1,t1)>0. 于是存在[α,β]⊂[1/4,3/4], 使得t1∈[α,β]及∀t,s∈[α,β],H(t,s)>0. 取ψ∈C[0,1], 使得∀t∈[0,1],ψ(t)≥0. 进一步, ∀t∉[α,β],ψ(t1)>0且ψ(t)=0. 若t∈[α,β], 则

因此∀t∈[0,1], 存在常数c>0, 使得c(Tψ)(t)≥ψ(t). 由引理5知, 谱半径r(T)≠0, 且T的第一个特征值λ1所对应的特征函数为正.

u-Au≠μu0, ∀u∈∂Ω(P),μ≥0.

则不动点指数i(A,Ω(P),P)=0.

Au≠μu, ∀u∈∂Ω(P),μ≥1.

则不动点指数i(A,Ω(P),P)=1.

2 主要结果

定理1假设

(3)

(4)

成立, 则问题(1)至少存在一个正解, 其中λ1是T的第一特征值.

证明: 由式(3)知, 存在r1>0, 使得

f(t,u)≥λ1u, ∀0≤u≤r1, 0≤t≤1.

(5)

令u*是T关于λ1的正特征值函数, 于是u*=λ1Tu*. 对每个u∈∂Br1∩P1, 由式(5)可知

(6)

假设A在∂Br1∩P1中没有不动点(否则结论成立). 下面证明

u-Au≠μu*, ∀u∈∂Br1∩P1,μ≥0.

(7)

若上述结论不成立, 则存在u1∈∂Br1∩P1且τ0≥0, 使得u1-Au1=τ0u*. 因此τ0>0且u1=Au1+τ0u*≥τ0u*. 令τ*=sup{τ|u1≥τu*}, 显然有τ*≥τ0>0, 且u1≥τ*u*. 又因为T(P1)⊂P1, 从而λ1Tu1≥τ*λ1Tu*=τ*u*. 因此由式(6)有

u1=Au1+τ0u*≥λ1Tu1+τ0u*≥τ*u*+τ0u*=(τ*+τ0)u*,

与τ*的定义矛盾, 因此式(7)成立. 由引理7有

i(A,Br1∩P1,P1)=0.

(8)

由式(4)知, 存在0<ω<1和r2>r1, 使得

f(t,u)≤ωλ1u, ∀u≥r2, 0≤t≤1.

令T1u=ωλ1Tu,u∈C[0,1], 则T1:C[0,1]→C[0,1]是有界线性全连续算子, 且T1(P1)⊂P1. 令

显然有C<+∞.

再令W={u∈P1|u=μAu, 0≤μ≤1}. 下面证明W是有界集. 对任意的u∈W, 令

则对t∈[0,1], 有

因此((I-T1)u)(t)≤C. 因为λ1是T的第一个特征值, 且0<ω<1, 所以(r(T1))-1>1. 从而逆算子(I-T1)-1存在, 并且可表示为

由T1(P1)⊂P1知(I-T1)-1(P1)⊂P1. 因此, 当t∈[0,1]时,u(t)≤(I-T1)-1C, 从而W是有界集.

取r3>max{r2,supW}, 则由不动点指数的同伦不变性有

i(A,Br3∩P1,P1)=i(θ,Br3∩P1,P1)=1.

(9)

由式(8),(9)知

i(A,(Br3∩P1)(Br1∩P1),P1)=i(A,Br3∩P1,P1)-i(A,Br1∩P1,P1)=1.

定理2假设

(10)

(11)

成立, 则问题(1)至少存在一个正解, 其中λ1是T的第一特征值.

(12)

令u0是T关于λ1的正特征值函数, 于是u0=λ1Tu0. 假设A在 ∂BR∩P1中没有不动点(否则结论成立), 下面证明

u-Au≠τu0, ∀u∈∂BR∩P1,τ≥0.

(14)

若上述结论不成立, 则存在u3∈∂BR∩P1且ρ0≥0, 使得u3-Au3=ρ0u0. 因此ρ0>0且u3=Au3+ρ0u0≥ρ0u0. 令ρ*=sup{ρ|u3≥ρu0}, 显然有ρ*≥ρ0>0, 且u3≥ρ*u0. 又因为T(P1)⊂P1, 从而λ1Tu3≥ρ*λ1Tu0=ρ*u0. 因此由式(13)有

u3=Au3+ρ0u0≥λ1Tu3+ρ0u0≥ρ*u0+ρ0u0=(ρ*+ρ0)u0,

与ρ*的定义矛盾, 因此式(14)成立. 由引理7有

i(A,BR∩P1,P1)=0.

(15)

由式(12),(15)知

3 应 用

考虑如下分数阶微分方程：

(16)

显然,Q1<1,P2<1, 且

于是格林函数H(t,s)满足引理3, 由引理5和引理6可得λ1的存在性.

因为f(t,u)=λ0arctanu,t,u∈[0,1]×[0,∞), 显然f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)连续, 且有

所以根据定理1知, 分数阶微分方程(16)至少存在一个正解.