含梯度项椭圆边值问题正径向解的存在性

伏彤彤, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

正径向解的存在性与唯一性, 其中N≥3, R0>0, K: [R0,∞)→+和f: [R0,∞)××+→连续. 在系数函数K(r)=O(1/r2(N-1))(r→+∞), 非线性项f(r,u,η)满足一些适当的不等式条件且关于η满足Nagumo条件时, 证明该问题正径向解的存在性与唯一性.

where Ω={x∈N: |x|>R0}, N≥3, R0>0, K: [R0,∞)→+ and f: [R0,∞)××+→ are continuous. When the coefficient function K(r)=O(1/r2(N-1))(r→+∞), under the condition that the nonlinear term f(r,u,η) satisfies some appropriate inequality conditions and Nagumo condition on η, we prove the existence and uniqueness of the positive radial solution of the problem.

0 引 言

考虑如下非线性项中含梯度项的椭圆边值问题:

(1)

正径向解的存在性与唯一性, 其中:Ω={x∈N: |x|>R0},N≥3,R0>0;n为∂Ω上的单位外法向量;α,β是常数;K:J→+为系数函数,J=[R0,∞),+=[0,+∞);f:J××+→为非线性函数. 本文假设:

(H1)α,β≥0,α+β>0;

(H2)K∈C(J,+), 且当r→+∞时,K(r)=O(1/r2(N-1)), 即∃K0, 使得

(H3)f∈C(J××+,), 且对∀M>0,f(r,u,η)在J×[-M,M]×[0,M]上一致连续; 对∀(u,η)∈×+,f(·,u,η)在J上有界.

椭圆边值问题在数学物理和工程等领域应用广泛, 可描述万有引力、 流体力学及人口动态等问题. 近年来, 关于非线性项不含梯度项的椭圆边值问题正径向解的存在性研究得到广泛关注, 并获得了一些好结果: 文献[1-5]讨论了Dirichlet边界条件的特殊情形; 文献[6-7]应用上下解方法和先验估计法获得了含Robin边界条件的椭圆边值问题正径向解的存在性结果; 文献[8]在允许非线性项f超线性增长或次线性增长的条件下, 应用锥上不动点指数理论, 获得了方程

(2)

正径向解的存在性结果, 其中f:+→+为连续函数,f(0)=0; 文献[9-11]讨论了含线性梯度项的椭圆型方程

-Δu=f(x,u)+g(|x|)x·u,x∈Ω

(3)

正径向解的存在性. 目前, 关于非线性项含梯度项的椭圆边值问题正径向解的存在性研究文献报道相对较少. 文献[12]在允许非线性项f(r,u,η)非负且关于u,η超线性增长或次线性增长的情形下, 应用锥上不动点指数理论, 获得了方程(1)正径向解的存在性结果, 其中f: [R0,∞)××+→+为连续函数.

上述研究结果讨论的均是非线性项f不含梯度项或f含梯度项且非负的特殊情形, 但对非线性项f含梯度项且变号的椭圆边值问题(1)的研究目前尚未见文献报道. 本文在不假设非线性项f非负的一般情形下, 讨论方程(1)正径向解的存在性与唯一性. 在非线性项f(r,u,η)满足一些恰当的不等式条件且关于η满足Nagumo条件时, 先利用上下解方法给出方程(1)正径向解的存在性结果, 再由微分中值定理进一步给出该问题正径向解的唯一性结果.

1 预备知识

对椭圆边值问题(1)的径向对称解u=u(|x|), 令r=|x|, 则其转化为区间J上的常微分边值问题(BVP):

(4)

(5)

则方程(4)转化为区间(0,1]上的奇异常微分边值问题(BVP):

(6)

其中:

(7)

(8)

(9)

(10)

设h∈CB(0,1]. 为讨论BVP(6), 先考虑BVP(6)相应的奇异线性边值问题(LBVP):

(11)

引理1对∀h∈CB(0,1], LBVP(11)有唯一解v∶=Sh∈C1(I)∩C2(0,1], 且解算子S:CB(0,1]→C1(I)为线性全连续算子.

引理2对∀h∈CB(0,1], LBVP(11)的解v=Sh满足下列条件:

证明: 1) 对∀h∈CB(0,1],v=Sh为LBVP(11)的解. 由引理1知,v∈C1(I)∩C2(0,1], 于是

2) 由边界条件v(0)=0,α1v(1)+β1v′(1)=0, ∃ξ∈(0,1), 使得v′(ξ)=0, 于是

|f(r,u,η)|≤c|u|+dη+C0, (r,u,η)∈J××+,

(12)

则BVP(6)有解.

证明: 对∀v∈C1(I)∩C2(0,1], 令

F(v)(t)∶=f(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|),t∈I,

则由假设条件(H3),F:C1(I)→CB(0,1]连续, 且把有界集映为有界集. 定义映射A=S∘F, 则由引理1知,S:CB(0,1]→C1(I)为线性全连续算子, 因此算子A:C1(I)→C1(I)为线性全连续算子. 再由S的定义, BVP(6)的解等价于算子A的不动点. 考虑同伦簇方程:

v=λAv, 0<λ<1.

(13)

下面证明方程簇(13)的解集在C1(I)中有界. 设v∈C1(I)∩C2(0,1]为方程簇(13)中某λ∈(0,1)对应方程的解, 则v=S(λF(v)). 令h=λF(v), 则由S的定义知,v=Sh为LBVP(11)的解. 因此,v∈C1(I)∩C2(0,1]满足方程

(14)

由式(12),(14)及引理2中1), 有

对式(15)两边取‖·‖C, 由引理2中2), 有

于是

(16)

因此, 由式(16)及引理2中1)知, 方程簇(13)的解集在C1(I)中有界, 由Leray-Schauder不动点定理[16]知,A在C1(I)中有不动点, 该不动点为BVP(6)的解. 证毕.

|f(r,u2,η2)-f(r,u1,η1)|≤c|u2-u1|+d|η2-η1|,

(17)

则BVP(6)有唯一解.

证明: 对∀(r,u,η)∈J××+, 在式(17)中, 取(r,u1,η1)=(r,0,0), (r,u2,η2)=(r,u,η),C0=max{|f(r,0,0)|}+1, 则式(12)成立. 因此由引理3知, BVP(6)至少有一个解.

设v1,v2∈C1(I)∩C2(0,1]是BVP(6)的两个解, 令v=v2-v1, 则由式(10),(17)及引理2中1), 有

对式(18)两边取‖·‖C, 由引理2中2), 有

参照文献[12]中引理2.3, 有:

引理5LBVP(11)对应的线性特征值问题:

存在最小正实特征值λ1, 其相应的特征函数φ1∈C+(I)∩C1(I)∩C2(0,1], ‖φ1‖C=1, 且满足方程

(19)

有唯一正解v∈C+(I)∩C1(I)∩C2(0,1].

证明: 易证BVP(19)相应的非线性项满足式(17). 因此, 由引理4, BVP(19)有唯一解. 同理, 边值问题(BVP):

(20)

That Christmas, as I sat looking at my brightly wrapped presents, the shining tree and my happy family, I remembered Lauren. I hoped that she was having just as wonderful a Christmas with her family. I felt like we had helped to keep a little girl s belief in Santa Claus alive.

σ=α1/(α1+β1)为常数, 因此v≥0. 于是

h(t)=c|v(t)|+dg(t)|v′(t)|+C0=cv(t)+dg(t)|v′(t)|+C0,t∈(0,1].

从而v为BVP(19)的解, 结论成立. 证毕.

定义1设v(t)∈C1(I)∩C2(0,1], 若v(t)满足

(21)

则称v(t)为BVP(6)的下解; 若式(21)均取反向, 则称v(t)为BVP(6)的上解.

Nagumo条件:

(H4) 存在单调递增的连续函数H:+→(0,+∞), 满足

(22)

使得

|f(r,u,η)|≤H(η),r∈J,v0(t)≤u≤w0(t),η∈+.

(23)

引理7假设条件(H1)～(H3)成立, 设BVP(6)有下解v0和上解w0,v0≤w0. 若f关于v0和w0满足条件(H4), 则BVP(6)在v0和w0之间至少有一个解.

(24)

η1(r,u)=max{v0(t),min{u,w0(t)}},

(25)

(26)

则η1(r,u):J×→连续. 做f(r,u,η)的截断函数：

因为

|f*(r,u,η)|≤max{|f(r,u,η)|:r∈J,v0(t)≤u≤w0(t), 0≤η≤Q}+‖w0‖C+‖v0‖C+1,

故f*连续有界. 因此由引理3知, 修改的边值问题

有解v(t)∈C1(I)∩C2(0,1]. 下面证明v(t)为BVP(6)的解.

Φ′(t0)≤0,Φ″(t0)≥0,

即

(27)

(28)

由截断函数的定义、 式(25),(28)及定义1, 有

与式(27)的第三个不等式矛盾. 因此v0≤v. 同理可证v≤w0.

由边界条件v(0)=0,α1v(1)+β1v′(1)=0, 易证v′(t1)≤0,v′(t2)≥0. 因此

令

s1=sup{t′∈[t1,t2)|v′(t′)=0},

则s1∈[t1,t2), 且

v′(s1)=0;v′(t)>0,t∈(s1,t2].

令

s2=inf{t″∈(s1,t2]|v′(t″)>M2},

则s2∈(s1,t2], 且

v′(t)≤M2,t∈[s1,s2);v′(s2)=M2.

因为当t∈[s1,s2]时, [g(t)|v′(t)|]Q=g(t)|v′(t)|, 所以由截断函数的定义及式(10),(23), 有

因此

(29)

对式(29)两边在[s1,s2]上积分, 再对左端做变量替换ρ=g(1)v′(t), 有

与式(24)矛盾, 于是|v′(t)|≤M2, 即g(t)|v′(t)|≤M1≤Q. 因此按f*的定义,

f*(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|)=f(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|),

故v(t)为BVP(6)的解. 证毕.

2 主要结果

假设:

(H5) 存在δ>0, 使得

f(r,u,η)≥λ1u, (r,u,η)∈J×[0,δ]×[0,δ];

f(r,u,η)≤cu+dη+C0, (r,u,η)∈J×+×+;

(H7) 对∀M>0, 存在单调递增的连续函数HM:+→(0,+∞), 满足

并使得

|f(r,u,η)|≤HM(η), (r,u,η)∈J×[-M,M]×+.

定理1假设条件(H1)～(H3)成立, 若f满足条件(H5)～(H7), 则椭圆方程(1)至少有一个正径向解.

因此,v0为BVP(6)的下解. 由引理6知, 线性BVP(19)有正解w0, 从而由条件(H6), 有

因此,w0为BVP(6)的上解. 下证v0≤w0. 考察u0=w0-v0, 由v0和w0的定义, 有

假设：

(H8)f(r,u,η)关于u,η的偏导数存在, 且当r∈J,u∈,η∈+时, 有

fu(r,u,η)<0.

定理2假设条件(H1)～(H3)成立, 若f(r,u,η)关于变量u,η连续可微, 且满足条件(H5)～(H8), 则椭圆方程(1)有唯一的正径向解.

证明: 由定理1, 椭圆方程(1)至少有一个正径向解, 从而BVP(6)有正解.

设v1,v2∈C1(I)∩C2(0,1]为BVP(6)的两个正解, 令v=v2-v1,h=F(v2)-F(v1), 则

v=v2-v1=Av2-Av1=S(F(v2)-F(v1))=Sh.

因此,v∈C1(I)∩C2(0,1]是LBVP(11)的解, 满足方程

-v″(t)=a(t)(F(v2)-F(v1)),t∈(0,1].

由微分中值定理知,v(t)∈C1(I)∩C2(0,1]满足

(31)

v′(t*)=0,v″(t*)≤0,t*∈(0,1].

(32)

由式(31),(32)的第一式及条件(H8), 有

-v″(t*)≤a(t*)(p(t*)v(t*)+|q(t*)|g(t*)|v′(t*)|)≤KLp(t*)<0,t*∈(0,1],

例1考虑球外部区域Ω={x∈3: |x|>1}上含梯度项的椭圆边值问题:

(33)

(34)

取δ∈[0,1/4), 则当0≤u≤δ, 0≤η≤δ时, 有

因此,f满足条件(H6). 易见f(r,u,η)关于η二次增长, 满足条件(H7). 由定理1, 方程(33)至少有一个正径向解.