空时分数阶Phi-4方程的新精确解

黄 春

(四川职业技术学院 教师教育系，四川 遂宁 629000)

近年来，分数阶偏微分方程在量子力学、通信、控制理论、流体力学、等离子体物理等众多领域有着广泛的应用，寻找分数阶偏微分方程的精确解一直以来是数学工作者的重要研究课题.构建分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括：exp-函数法[1-3]、(G’/G)-展开法[4-6]、F-展开法[7-8]、首次积分法[9-12]等。

考虑如下空时分数阶Phi-4方程[13-16]：

(1)

(2)

它具有如下性质：

(3)

(4)

(5)

(6)

空时分数阶Phi-4方程是一类重要的数学模型，在粒子物理和核物理中占有重要的地位.本文拟用Riemann-Liouville分数阶导数与首次积分法相结合，得到空时分数阶Phi-4方程的新精确解.

1 方法简述

定理1.1(除法定理)[19]假设P(w，z)，Q(w，z)是复数域C(w，z)上的多项式，并且P(w，z)在C(w，z)上是不可约的.如果Q(w，z)包含P(w，z)的全部零点，那么在复数域C(w，z)上存在一个多项式G(w，z)使得

Q(w，z)=P(w，z)G(w，z)

(7)

下面是首次积分法求解分数阶偏微分方程的主要步骤.考虑如下分数阶偏微分方程：

(8)

步骤1 作复变换

(9)

这里k，c为常数.

将(9)式代入方程(8)中，方程(8)转化为只含变量ξ的常微分方程：

(10)

步骤2引入两个新的独立变量X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)，则方程(10)等价于一阶常微分方程组

(11)

步骤3设(11)式的首次积分形式为：

(12)

这里ai(X)(i=0，1，2，…，m)是实数域上的待定多项式.根据除法定理，存在实数域上的多项式g(X)，h(X)，使得

(13)

由(13)式可以确定多项式g(X)，h(X)，进而求出Q(X，Y)

步骤4将X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)代入(12)式，解之即得到方程(8)的精确解.

2 运用与结果

对方程(1)作复变换，方程(1)转化为整数阶常微分方程：

(14)

令X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)则方程(14)等价于

(15)

由首次积分法，假定X(ξ)和Y(ξ)是方程(16)的非平凡解，则方程组(15)的首次积分形式为

(16)

其中ai(X)(i=0，1，2，…，m)关于X(ξ)的多项式且am(x)≠0.根据除法定理，存在复数域上的多项式g(x)+h(x)Y(ξ)，使得

(17)

仅考虑(17)式中的两种情况，即假定m=1和m=2.

情形1 当m=1时，则有

Q[X，Y]=a0(X)+a1(X)Y(ξ)

(18)

将(18)式代入(17)式后比较等式两边Yi(i=0，1)的系数可得

(19)

(20)

(21)

因ai(X)(i=0，1)是关于X(ξ)的多项式，由(21)式可知ai(X)必是一个常数且h(X)=0.为运算简便，不妨取a1(X)=1.通过平衡(19)式中过g(X)和a0(X)的次数，可得deg[g(X)]=1，deg[a0(X)]=2.假设g(X)=A1X+B0，且A1≠0，则有

(22)

其中A0为积分常数.

将a0(X)，a1(X)，g(X)代入(19)式并比较Xi(ξ)对应项的系数可以得到

(23)

从而(15)式有下面的首次积分：

(24)

将X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)代入(24)式有

(25)

方程(25)是著名的Riccati方程，即V′(ξ)=α0+α1V(ξ)+α2V2(ξ)，其中α0，α1，α2是常数，α2≠0，Riccati方程有以下解：

(26)

(27)

(28)

其中ξ0是任意常数，ε=±1.由(26)-(28)式可得：

大连港、天津港：目前美国航线规模较小，初步测算，吞吐量直接受冲击的程度低于其他干线港。但由于近年来两港美线发展缓慢的原因，除腹地经济结构和产品结构影响外，更是受到釜山港美国航线的强力压制。随着美国航线运量受冲击，釜山港对环渤海等港口的竞争压力有可能进一步加剧。

(ⅰ)当k2-c2<0，n<0时，方程(1)有如下形式的精确解：

(29)

(30)

(31)

(ⅱ)当k2-c2>0，n>0时，方程(1)有如下形式的精确解：

(32)

(33)

(34)

情形2 当m=2时，即

(35)

将(35)式代入(18)式比较等式两边Yi(i=0，1，2)的系数可得

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

将上式积分一次可得

(41)

这里的d为积分常数.

将a0(X)，a1(X)和g(X)及代入(39)式并比较Xi(ξ)的对应项系数得到

(42)

因此可得

(43)

(44)

将(43)和(44)式代入(35)式化简可得

(45)

联立(25)和(45)式，运算可知m=1与m=2的情况相同.为了更直观的理解这些解，借助Maple软件得到解的数值模拟图像如图1-4所示.

图1 当m=1，n=-2，k=1，c=2，ε=1，ξ0=1，时，u1(ξ)的三维图 图2 当m=1，n=-2，k=1，c=2，ε=1，ξ0=-1，时，u3(ξ)的三维图

图3 当m=1，n=2，k=2，c=1，ξ0=1，时，u7(ξ)的三维图 图4 当m=1，n=2，k=2，c=1，ξ0=1，时，u9(ξ)的三维图

3 结论

本文借助Riemann-Liouville分数阶导数，基于首次积分法构建空时分数阶Phi-4方程的新精确解，其中u1，2(ξ)为扭状孤立波解，u3，4(ξ)为奇异孤立波解，u7，8(ξ)、u9，10(ξ)为周期波解，u5，6(ξ)、u11，12(ξ)为有理函数解，丰富了其精确解解系.这也说明首次积分法是求解分数阶偏微分方程的一种有效的工具且简单易行。