整体把握数学课程 深化理解数学思想

孙品文

备课除了要钻研教材、了解学生、选择教法、设计情境等之外，更为重要的是要遵循整体性原则。所谓整体性原则就是从单元的角度，发展到与之相关联所有知识的角度，来考虑每一节课的地位、作用和知识之间的关系。以此，更好地帮助学生经历数学知识的发生、发展过程，使他们感悟数学思想，提升数学素养。整体把握教材要求教师备课时要研究教材的科学性，把握知识的科学含义，做到深入浅出、科学正确地传授知识;要研究教材的逻辑性，利用科学的思维方法，做到讲述通俗严密，思路清晰;要研究教材的系统性，把教材中的各知识点有机地结合起来，做到系统连贯，知识成串。 这样，在教学活动中，就自然地形成了完整的知识网络，实现了思维方法的正确选择和组合，从而达到灵活掌握和支配教材的目的。

一、整体把握教学内容

在进行“分数乘、除法教学”的备课时，首先，可以列出教材中分数乘法和分数除法的所有教学内容，并注明其具体题目：“分数乘法（一）”：分数乘整数;“分数乘法（二）”：整数乘分数;“分数乘法（三）”：分数乘分数;“倒数”;“分数除法（一）”：分数除以整数;“分数除法（二）”：整数除以分数;“分数除法（三）”：分数除法的应用。

其次，我们可以再把眼光放得更远一些，分数乘法和分数除法的“前身”是整数乘除法，分数的意义;分数乘法和分数除法的“来生”是百分数乘除法，比的意义及应用。从数学知识的角度分析他们之间的关系，“分数乘法（一）”“分数乘法（二）”“分数乘法（三）”是在教学分数乘法的意义和计算方法，同时更是对分数意义的进一步理解，尤其是对单位“1”的再认识，初步感知单位“1”转换思想，在掌握基本算理及方法的同时，思考由整数向分数迈进。“倒数”一课是一个中转站，连接着乘法和除法的计算方法，究其本质倒数就是比例，是涉及两数关系的一个重要的数学概念。“分数除法（一）”“分数除法（二）”“分数除法（三）”是在以分数乘法的意义和计算法则及倒数为依托，推导出分数除法的意义和计算法则，通过学习分数除法可以使学生对分数意义、分数乘法意义有跟深刻的理解。

最后，通过对这两单元内容的整体分析，不难得出以下结论：分数乘法的意义，即求一个数的几分之几用乘法，是对分数意义的深入认识，是“根”;分数乘法的法则，即分子乘分子，分母乘分母，分别作积的分子和分母，是对分数“单位1”和“分”的再认识，是计算的基本方法;依据分数乘法意义的等量关系式是解决实际问题的“万全之法”。

二、整体把握教材要求

教材对分数乘除法两个单元的思维发展给出十分明确及统一的要求：丰富现实背景;探索解决问题的方法，积累分析、解决问题的经验;培养运算能力。这些要求都突出了操作活动的重要性，我们要充分利用面积模型，促进学生理解分数乘除法的意义和相应的计算方法。结合教学内容的内在联系和思维发展目标，再从数学思维和数学模型的角度出发，设计这7课时的整体思路应为：不管学生如何思考，都要紧紧地围绕着乘法的意义展开教学，就是以发展的眼光对数及其相应运算的再认识。在教学中要培養学生有理有据地阐述观点的能力，即逻辑推理能力，以及透过现象看本质的能力，即抽象概括能力;渗透模型思想，即简洁有效地概括计算法则，总结最具有普遍性、代表性、可操作性的解题模式。

如分数除以整数，可以从乘法的意义和除法的意义入手，以一道题目来使学生展现思维，建立模型，并在这个过程中，让学生感受到“一个模型就可以解决乘法的意义和除法的意义中所有的问题”数学模型的优势。可以出示题目：[45]米绳子平均分成2份，每份是多少？平均分成3份，每份是多少？

数学模型的建立：

在这个数学模型的建立过程中，学生会发现，分数乘法和分数除法之间是存在着一定联系的。将这种联系抽象出来并从整体上去认识，就能够从本质上去理解分数乘法和分数除法的意义。在这个过程中，学生的思维也得到了发展。

三、整体把握每一课时的教学目标和教学环节

经过前面的备课，基本的数学思想在教学中就能得到渗透，也能为学生的思辨埋下伏笔。然后，就需要具体思考每一课时的总体目标和具体环节。以“分数除以整数”为例，这节课从研究“[45]米绳子平均分成2份，每份是多少”开始，能够选择的情境导入方式可以有很多，但是“[45]米”是精心挑选的一个分数，我们需要明确其总体目标是：分母较小—易画图，可以化成小数—求结果不存在障碍，而且是分母最小的便于计算的最简分数，如[24]，[12]。

实际的课堂教学中，有些学生很容易地就会说：“因为是平均分成2份，所以应该用[45]÷2。”也会有学生直接说：“等于[25]”。这时，不能只看结果，应指着列式与学生对话：“你能够理解他们是根据什么这样列式的吗？”让学生明白：需要根据除法中平均分的意义来列式。可以继续引导：“你还能从另一个角度思考，来解决这个问题吗？”让学生明确：用乘法，[45]×[12]，因为平均分成两份，求一份是多少就是求[45]的[12]是多少，根据乘法的意义用乘法。同时补充：平均分成2份，取1份，用[12]表示，根据的是分数的意义。这样就架构起了一个等式：[45]÷2=[45]×[12]。接下来教学环节的设计可以从“数学是需要证明的科学”这句名言入手，引导学生说出并证明自己的想法。学生有的会用画图的方法，有的会把[45]化成小数，还有的还会根据所学过的乘法，认为乘以倒数肯定对。这时就需要教师设计板书：[45]÷2=[45]÷[21]=（4÷5）÷（2÷1）=（4÷5）÷2×1=（4÷5）×1÷2=（4÷5）×（1÷2）= [45]×[12]=[25]。让学生明白这种转化的方法的通用性。

然后，可以把题改一下：平均分成3份呢？再构架起一个等式：[45]÷3=[45]×[13]，引发学生追问：“结果是多少？”“一定是[415]吗？”在教师的启发下，学生会明白：根据乘法的意义和分数的意义，可以这样算，所以一定是[415]。在教师的追问下，学生能感悟到不完全归纳推理的弊端，并运用演绎推理的方法，说服自己。这样的问题，几乎没有关于法则的词或句，但是学生能深深地领悟。

在具体思考每一节课的总体目标和具体教学环节时，由上述实例可以看出，情境导入方式的选择，需要明确本节课究竟要教会学生哪些知识，帮助学生习得哪些能力。然后，具体分析学生在掌握这些知识，习得这些能力时，从哪些方面入手会更加准确、有效。整体把握备课，要遵循整体的课程理念，尊重学生的知识水平和能力特点，理清学生思维发展的脉络，使学生感悟数学课程中蕴含的数学思想。

（责任编辑：杨强）