教材解读：对数函数的概念

【摘 要】 对数函数新旧教材擦差异较大，要全面理解对数函数，要先分析新旧教材的差异，然后聚焦到“对数函数的概念”，最后思考面对新的变化我们的教学该怎么办.

【关键词】 教材解读;教材比較;对数函数

对数函数是高中数学核心内容之一，也是高一学生学习难点之一，同时对数函数也是连接初等数学与高等数学的一个纽带，因此理解对数函数、教好对数函数非常有必要.

在人教A版旧教材[1]（依据2003年版课程标准编写的教材）中，对数函数安排在必修1第二章第二节（2.2.2对数函数及其性质），在新教材[2]（依据2017年版课程标准编写的教材）中，对数函数安排在必修第一册第四章第四节（4.4对数函数），都是高一学习的内容.新旧教材编写差异较大，最显著的差异是新教材“对数函数的概念”单独成一节，笔者将对这一内容做出解读，以便全面深入地理解对数函数这一核心内容.

1 “对数函数”新旧教材差异

对数函数新旧教材编写差异，包括编写理念、内容的安排、编写的顺序，素材的选取，例题习题的安排等，差异都很大.本文不面面俱到地研究这些差异，只从以下三个视角对两者做一个比较，以点带面，旨在帮助大家整体地理解对数函数.

1.1 教材编排：一节VS三节

在旧教材中，对数函数分为两部分：“2.2.1对数与对数运算”和“2.2.2对数函数及其性质”，其中对数与对数运算对应新教材“4.3对数”（本文不研究这块内容的比较）.“2.2.2对数函数及其性质”介绍了对数函数的概念，对数函数的图象与性质.在它之后是幂函数.

在新教材中，“4.4对数函数”安排了三节：4.4.1对数函数的概念，4.4.2对数函数的图象与性质，4.4.3不同函数的增长差异.

4.4.1对数函数的概念是新教材新增加的，也是本文将重点解读的部分.

4.4.2对数函数及其性质，内容编写与旧教材差别不大，都是先研究具体的函数y=log2x与y=log12x，并由此归纳出一般的对数函数的图象与性质，然后是应用，最后介绍了指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数.

4.4.3不同函数的增长差异，新旧教材都有，但差异很大.在旧教材中，它出现在3.2节，与对数函数不是在同一章.对几种不同增长的函数模型的认识是与应用联系在一起的，通过具体的实例，通过数学建模，体会各种模型的增长速度的快慢.在新教材中，是通过具体的函数y=2x与函数y=2x以及y=110x与y=lgx的比较，先感性认识各种模型的增长速度的快慢，再概括出相应的一类函数的增长快慢.新旧教材相比而言，笔者认为新教材更精简，更符合学生的认知规律，更利于掌握不同函数的增长差异这一内容.

1.2 对数函数的概念：一段VS一节

新教材新增了一节“对数函数的概念”，这是占一个课时的内容，应引起了重视.

概念的引入，新旧教材利用的素材是相同的，都是“碳14衰减的例题”，但是两者详略程度是不可同日而语的.

旧教材在介绍对数函数概念时，只是用了一段话就引出了对数函数的概念，接着是探究对数函数的图象与性质.

新教材在介绍对数函数概念时，用了一节内容，在呈现碳14衰减规律后，从图象、表达式两个角度进行分析，从而抽象出对数函数的概念.在揭示概念之后，安排了两个例题，例题1是求函数的定义域，例题2是从指数和对数两个角度解决物价增长问题.在这之后，才探讨对数函数的图象与性质.

1.3 内容核心：单核心VS双核心

我们对概念的解构是为了确定概念的核心，确定概念的核心既要考虑数学内容本身，也要考虑学生的认知规律[3].从数学内容的知识体系看，对数的概念，图象与性质都是重要的内容，都是对数函数这一内容的核心所在.在旧教材中，对数的概念以及图象与性质，是在同一节课内进行的，教学时自然有所侧重;从学生的认知看，他们接受这两个内容也是有侧重的，显而易见，无论是教师还是学生都会把重点放在图象与性质上.所以可以说，旧教材“对数函数”内容的核心实际上只有一个：图象与性质.

而新教材就不同了，对数函数的概念单独成节.所以“对数函数的概念”是内容的核心，而图象与性质是理所当然的核心，所以，可以说新教材“对数函数”内容的核心有两个：一是对数函数的概念，二是对数函数的图象与性质.

新教材将内容确定为两核心，强调了概念的获得过程.在碳14衰减实例的基础上，进一步对生物体死亡时间进行探究，通过演绎推理的方法得到生物体死亡时间与碳14含量的关系，进而抽象出对数函数的概念，关注了对学生数学抽象的核心素养的培养.

2 “对数函数的概念”逐段解读

2.1 节引言

解读 节引言有承前启后的作用，它聚焦到学生的学习最近发展区，前面学习的指数函数模型以及对数，为后面学习对数函数做了数学上的准备.这里有一个提示作用，即将学习的内容与“函数”有关且与“对数”有关，是两者结合的“对数函数”.

2.2 概念的获得

解读 数学课程标准指出：“数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界事物的本质、关系和规律” [4]，教材期望通过这一思考问题，提升对这段话的理解.对数函数与指数函数可以从不同的角度刻画同一问题的变化规律，在碳14 的衰减问题中，死亡生物体碳14含量随时间变化成指数衰减，这是上一节研究过的问题.教科书给出的思考是，已知死亡生物体内碳14含量求时间，这与前一节的问题是“互逆”的，这样不仅可以引出对数函数的概念，而且揭示了对数函数与指数函数之间的联系.

教科书没有到此为止，而是进一步提出问题，死亡时间x是碳14含量y的函数吗？这是用函数的观点看问题，实际上只要是两个变量之间有依赖关系，我们都要考虑他们之间的函数关系.

根据指数与对数的关系，由y=[SX（]1[]2[SX）][JB））][SX（]x[]5730[SX）]（x≥0）得到x=log[KF（S]5730[][SX（]1[]2[SX）][KF）]y（0

解读 问题提出后，教材从图和代数式两个角度进行研究.图是直观的，代数式是形式化的，也是我们数学研究的最高追求.要研究出函数的表达式，也就是，要对定性的结果用定量的方式表达.

这里的图是指数函数的图，教学时教师可以给学生呈现这张图，进而提出问题：

问题1：当碳14的含量为50%时，生物体死亡了多少年？

问题2：当碳14的含量为y0时，生物体死亡了多少年？

在学生求出x0=log573012y0后，请他们在图中标出.

问题3：图4.41中，x是否是y的函数？为什么？

学生回答“是”，需要他们用函数定义回答.

通过3个问题，不仅明晰了y∈（0，1）时，对应关系x=log573012y表示x是y的函数，而且该函数刻画了时间x与碳14含量y的变化规律，很好地回答了思考的两个问题.

同时，我们注意到对数函数的概念引出与指数函数是不同的，指数函数的概念是用归纳推理的方式得到，而对数函数是用演绎推理的方式得到.归纳、类比与演绎推理是“逻辑推理”核心素养的两种表现形式，两方面都不可偏颇.

同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax（a>0），且a≠1）可以得到x=logay（a>0，且a≠1），x與是y的函数.通常，我们用x表示自变量，y表示函数.为此，将x=logay（a>0，且a≠1）中的字母x和y对调，写成y=logax（a>0，且a≠1）.

解读 接着，由特殊到一般，由一般的指数函数y=ax得到x=logay.这里要让学生再用函数的定义解释：y>0，对应关系x=logay表示x是否是y的函数，以进一步理解函数的本质：即两个数集之间的一种特殊的对应关系.指数函数的对应关系是f：x→ax，对数函数的对应关系是f：x→logax.

通常，我们用x表述自变量，用y表述函数，这是我们的习惯，为了研究方便，所以写成对数式子后，将x和y对调.

另一个问题是，到这里“反函数”的概念呼之欲出，要不要顺便讲述？笔者认为，这时不应讲反函数，原因有两点，其一，我们研究问题要聚焦，我们的目标是引出对数函数的概念，而不是反函数;其二，如果这时讲反函数的概念，从学生的认知角度看，反函数更有冲击力，这样反而弱化了对数函数的概念.

教材处理问题的线索是：直观想象——形式表达——数学抽象.这是解决实际问题的需要，但是我们数学解决的是比实际问题需要更一般的函数，这也是挖掘内容的育人价值所在.

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数（logarithmic function），其中x的自变量，定义域是（0，+∞）.

解读 抽象出对数函数的概念后，需要对概念进行辨别.概念教学通常有六个环节：情景问题——分析共性——抽象概念——概念辨析（内涵与外延的把握）——概念的表述——巩固与应用（应用是分层次的，有直接的应用和有联系应用）[5].对数函数与幂函数、指数函数一样，都是形式化定义，形式化定义应关注其代数式结构.笔者认为，对形式化定义的概念的辨别要适可而止，不能将之当成教学的重点，比如“y=log2（2x+3）是不是对数函数？”这种辨别意义不大. 我们要将教学的重心放在函数的三要素上，用一般函数的概念指导具体一类函数的学习，即在一般函数概念的指导下，借助幂函数、指数函数的研究经验，完成对对数函数的概念的抽象.

2.3 例题

例1 求下列函数的定义域：（1）y=log3x2;（2）y=loga（4-x）（a>0，且a≠1）.

解读 例1求函数的定义域，这就是从函数的三要素上做文章，用一般的函数的概念指导具体一类函数的学习.

另一个问题是，如何讲例题？教材主编章建跃先生曾提出：“例题教学不是简单的教师示范，然后学生模仿.而是要引导学生‘分析题意、理解题意、你们干，我来看”，即教师要理解教材的意图，通过引导学生分析题意，进而理解题意，分析清楚后让学生自己动手去做.

例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.

解读 例2用对数函数的概念解决实际问题，从指数增长模型x=（1+5%）y得到对数函数y=log1.05x，蕴含了指数函数与对数函数的关系.同时，这里也隐含着不同增长函数模型的比较，这也是用联系的观点看问题.

另一个需要注意的是数学语言的表达，题中给出的是表格，如何从表格中看出规律？“物价随时间的增长而增长”这句话学生能回答出来，但是后一句话“大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小”，学生很难清晰的表达出来.

3.1 用联系的观点看问题

教学设计要瞻前顾后，就是要用联系的观点看问题.数学课程标准主题式的内容编排就是强调联系，强调从整体上把握教学内容.实际上，新课程所提倡的单元教学设计，也是这个意思.

为了整体上把握对数函数的概念，教学时可以从两个方面入手.

一是关注对数函数的内部联系，即从整体上认识对数函数.对数函数的解析式、定义域、值域、图象与性质等是一个有机的整体，教学时不可分割.

二是关注对数函数的外部联系，即加强对数函数与指数函数的联系.教科书是在研究了指数幂、指数函数、对数的表示与运算的基礎上研究对数函数的.引入对数函数的实例，也是学习指数函数的例子，这是从不同的角度看同一个问题，体现了联系性.另外，在下一节内容不同增长函数模型的比较，也是用联系的观点看问题.3.2 用函数的观点看问题

函数是高中数学的主线，在前面的学习中，学生对函数的思想有较多的感受，但是真正理解函数思想却是一个漫长的过程[6]，这需要在平时教学中不断的渗透.

就本节教学而言，让学生学会用函数的观点看问题，可以从三个方面入手：

其一，在提出思考问题“死亡时间x是碳14含量y的函数吗？”后，从图和解析式两个角度说明x是y的函数，这里要求学生用函数的定义做出判断，这是以一般函数的概念来指导具体函数的学习.

其二，例题1求定义域，是关注的函数的三要素，这是从不同的角度把握对数函数.

其三，教材中，对数函数的编排线索是“背景——概念——图象和性质——应用”，我们在教学时应按照这一线索展开教学，应强调一般函数的研究套路.3.3 关注数学的语言表达

数学是一门语言，学好数学语言，用好数学语言是我们在教学中要下功夫的地方.本节而言，对数学语言的使用有两处要特别关注：其一，在对数函数的概念引入时，从指数函数y=ax得到x=logay时，将x和y对调.这是为了研究方便，适合我们的习惯而采取的措施，这体现了语言使用的特点.其二，例题2的教学，从表格中的数据归纳变化规律时，对于数学的精确与实际问题的解决的表述，这种表述要求较高，在教学时应特别重视.如此才能真正感受数学是表达和交流的语言，引导学生用数学的语言表述世界.

参考文献

[1] 刘邵学，章建跃等.普通高中教科书数学必修[M].北京：北人民教育出版社，2019.

[2] 章建跃等.普通高中教科书数学必修第一册[M].北京：北人民教育出版社，2019.

[3] 朱成万.中学数学核心内容的教学解构与建构[M].北京：中国经济出版社，2015.

[4] 教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[5] 曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

[6] 章建跃等.普通高中教科书数学必修第一册（教师教学用书）[M].北京：北人民教育出版社，2019.

作者简介 朱成万（1973—），男，安徽太湖人，高级教师，人民教育出版社教材培训专家，杭州市131培养人才，专著有《高中数学核心内容的教学解构与建构》，编著《至精至简的高中数学思想与方法》，发表或获奖论文90余篇，研究方向：数学教学.