关于三角形不等式的一个基础性结论

苏计峰

近日，笔者发现了关于三角形不等式的如下一个基础性结论：

定理 在△ABC中，a，b，c为其三边长，p为其半周长，R，r分别为其外接圆和内切圆半径，则有

p4-2（2R2+10Rr-r2）p2+（4R+r）3r≤0.①

证明 设△ABC的面积为S，若用Π表示循环积，则由正弦定理及A+B+C=π知

p=12a+b+c=RsinA+sinB+sinC=RsinA+2sinB+C2cosB-C2

=R2sinA2cosA2+2sinπ-A2cosB-C2=2RcosA2sinA2+cosB-C2

=2RcosA2cosB+C2+cosB-C2=4RcosA2cosB2cosC2=4RΠcosA2.

由S=12bcsinA=rp及二倍角公式、正弦定理知

r=Sp=12bcsinA4RΠcosA2=2R2sinAsinBsinC4RΠcosA2=4RΠsinA2.

因此不等式①等价于

4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2+8Πsin2A2cos2A2+4ΠsinA2

+12Πsin2A2+12Πsin3A2+4Πsin4A2≤0.②

由对称性不妨设A是△ABC的最小内角，那么有0

由ΠcosA2=12cosA2cosB+C2+cosB-C2=12cosA2cosB-C2+sinA2及ΠsinA2=12sinA2cosB-C2-cosB+C2=12sinA2cosB-C2-sinA2知

4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2+8Πsin2A2cos2A2

+4ΠsinA2+12Πsin2A2+12Πsin3A2+4Πsin4A2

=14cos4A2cosB-C2+sinA24-14cos2A2cosB-C2+sinA22

-52sinA2cos2A2cosB-C2-sinA2cosB-C2+sinA22+12sin2A2cos2A2cos2B-C2-sin2A22+2sinA2cosB-C2-sinA2+3sin2A2cosB-C2-sinA22+32sin3A2cosB-C2-sinA23+14sin4A2cosB-C2-sinA24

=14cos4A2cos4B-C2+cos4A2sinA2cos3B-C2+32cos4A2sin2A2cos2B-C2

+cos4A2sin3A2cosB-C2+14cos4A2sin4A2-14cos2A2cos2B-C2-12cos2A2sinA2cosB-C2-14cos2A2sin2A2-52sinA2cos2A2cos3B-C2-52sin2A2cos2A2cos2B-C2

+52sin3A2cos2A2cosB-C2+52sin4A2cos2A2+12sin2A2cos2A2cos4B-C2

-sin4A2cos2A2cos2B-C2+12sin6A2cos2A2+2sinA2cosB-C2-2sin2A2+3sin2A2cos2B-C2-6sin3A2cosB-C2+3sin4A2+32sin3A2cos3B-C2-92sin4A2cos2B-C2+92sin5A2cosB-C2-32sin6A2+14sin4A2cos4B-C2-sin5A2cos3B-C2+32sin6A2cos2B-C2-sin7A2cosB-C2+14sin8A2=14cos4A2+12sin2A2cos2A2+14sin4A2cos4B-C2

+sinA2cos4A2-52sinA2cos2A2+32sin3A2-sin5A2cos3B-C2

+（32sin2A2cos4A2-14cos2A2-52sin2A2cos2A2-sin4A2cos2A2+3sin2A2-92sin4A2+32sin6A2）cos2B-C2+sin3A2cos4A2+52sin3A2cos2A2-12cos2A2sinA2+2sinA2-6sin3A2+92sin5A2-sin7A2·cosB-C2+14sin4A2cos4A2-14sin2A2cos2A2+52sin4A2cos2A2+12sin6A2cos2A2-2sin2A2

+3sin4A2-32sin6A2+14sin8A2

=14cos4B-C2+2sin3A2-32sinA2cos3B-C2

+4sin6A2-6sin4A2+94sin2A2-14cos2B-C2+-2sin3A2+32sinA2cosB-C2

+-4sin6A2+6sin4A2-94sin2A2

=14cos4B-C2-cos2B-C2+2sin3A2-32sinA2cos3B-C2-cosB-C2

+4sin6A2-6sin4A2+94sin2A2-14cos2B-C2-1

=14cos2B-C2-1cos2B-C2+42sin3A2-32sinA2cosB-C2+44sin6A2-6sin4A2+94sin2A2

=14cos2B-C2-1cos2B-C2+42sin3A2-32sinA2cosB-C2+42sin3A2-32sinA22

=14cos2B-C2-1cosB-C2+4sin3A2-3sinA22

=14cos2B-C2-1cosB-C2-sin3A22≤0，

即不等式②成立，從而不等式①成立，证毕.

从证明可以看出，不等式①取等号的条件是cos2B-C2=1或者cosB-C2=sin3A2.

当cos2B-C2=1时，由于0

当cosB-C2=sin3A2时，有cosB-C2=cosπ2-3A2由于0

综上可知不等式①取等号的条件是△ABC是等腰三角形.

下面我们证明不等式①强于著名的Gerresten不等式16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2.

证明 由于42R2+10Rr-r22-44R+r3r

=44R4+100R2r2+r4+40R3r-4R2r2-20Rr3-464R3+48R2r+12Rr2+r3r=16RR3-6R2r+12Rr2-8r3=16RR-2r3，

由于有著名的Euler不等式R≥2r，由不等式①可得

2R2+10Rr-r2-2R-2rRR-2r≤p2≤2R2+10Rr-r2+2R-2rRR-2r. ③

下面先证明2R2+10Rr-r2-2R-2rRR-2r≥16Rr-5r2.④

由Euler不等式R≥2r知不等式④等价于

R2-3Rr+2r2≥R-2rRR-2r⑤

R-2rR-r≥R-2rRR-2r

R-2r2R-r2-RR-2r≥0

R-2r2r2≥0⑥

不等式⑤显然成立，从而不等式④成立.

下面再证明2R2+10Rr-r2+2R-2rRR-2r≤4R2+4Rr+3r2.⑦

显而易见，不等式⑦也等价于不等式⑤，证毕.

近年来，诸多文献对若干三角不等式进行加强，其证明多数是通过正弦定理、余弦定理、特殊线段长度公式、边长表示的半角公式及一些基本结论转化成p，R，r之间的关系，然后通过Gerresten不等式进行放缩，比如文献[1]至文献[7]等.显而易见，如果运用不等式①或③，还会得到更强的结果.

文[8]中，郭要红老师在进一步加强Milosevic不等式的时候，利用了如下两个不等式：

p2≥2r4R+r2R-rR⑧

p2≤22R2+r2R+rR⑨

下面我们证明以上两个结果均弱于不等式③.

由Euler不等式R≥2r知

2R2+10Rr-r2-2R-2rRR-2r≥2r4R+r2R-rR

2R3+10R2r-Rr2-2RR-2rRR-2r≥2r4R+r2R-r

2R3-6R2r+3Rr2+2r2≥2RR-2rRR-2r⑩

R-2r2R2-2Rr-r2≥2RR-2rRR-2r

R-2r22R2-2Rr-r22-4R3R-2r≥0

R-2r24R+rr3≥0B11

不等式B11显然成立，从而不等式③强于不等式⑧.

显而易见2R2+10Rr-r2+2R-2rRR-2r≤22R2+r2R+rR也等价于不等式B10，从而不等式③强于不等式⑨.

文[9]中，褚小光老师将待证的不等式4RR+r+4S2a2+b2+c2≥p2等价转化为

-p4+4R2+8Rr+3r2p2-4RrR+r4R+r≥0.B12

事实上，由不等式①、⑨及Euler不等式知

-p4+4R2+8Rr+3r2p2-4RrR+r4R+r

=-p4+22R2+10Rr-r2p2-4R+r3r+4R+r3r-4RrR+r4R+r-12Rr-5r2p2

=-p4+22R2+10Rr-r2p2-4R+r3r+4R+r12R2+4Rr+r2r-12Rr-5r2p2≥4R+r12R2+4Rr+r2r-12Rr-5r2p2

≥4R+r12R2+4Rr+r2r-22R2+r2R+r12Rr-5r2R

=4R2r3-13Rr4+10r5R=4R-5rR-2rr3R≥0，即有不等式B12成立.

參考文献

[1] 杨克昌.关于几个命题的加强[J].娄底师专学报，1992，8（02）：1928.

[2] 吴善和.两个猜想不等式的加细[J].贵州教育学院学报，2001，12（02）：1113.

[3] 李永利.涉及三角形高线的又一不等式[J].数学教学研究，2001（03）：3738.

[4] 曾峥.对Milosevic不等式的推广与证明[J].中山大学学报，2002，41（03）：116118.

[5] 孔凡哲，曾峥. Milosevic不等式的改进和加强[J].五邑大学学报，2001，15（03）：3942.

[6] 李永利.数学问题2469的解答[J].数学通报，2019，58（03）：63封底.

[7] 杨续亮，苏岳祥.欧拉不等式一个三角形式的类比[J].数学通报，2018，57（12）：6061.

[8] 郭要红.对Milosevic不等式的再研讨[J].数学通报，2020，59（02）：6061.

[9] 褚小光.关于三角形一动点的若干不等式[J].滨州师专学报，2001，17（02）：3439.

作者简介 董林（1975—），男，山东高青人，中学高级教师，高青县第一中学党委副书记、副校长，主要从事初等数学和中学数学教学研究，近年来，在中学数学专业刊物上发表论文190余篇.