一类由多项式绝对值不等式恒成立求参数取值范围问题解法的来龙去脉

【摘 要】 2015年北京大学自主招生数学试题第8题，是由多项式绝对值不等式恒成立求参数取值范围的问题.这类问题的解法是赋值法，但如何赋值？有何玄机？文章阐释了其来龙去脉，并给出了其一般情形的结论及更一般情形的猜想.

【关键词】 多项式;绝对值不等式;恒成立;求参数取值范围;赋值法;来龙去脉

1 题1的解法有何玄机？

题1 （2015年北京大学自主招生数学试题第8题）若x∈[1，5]，x2+px+q≤2（p，q是常数），则不超过p2+q2的最大整数是.

解 分别令x=1，3，5，可得-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐标系pOq中作出以上不等式组表示的区域后，可得p=-6，q=7.

又因为当p=-6，q=7时，x∈[1，5]，x2-6x+7=（x-3）2-2≤2，所以

[KF（]p2+q2[KF）]的最大值是85，再得所求答案是9.

注 該解答的关键是求出“p=-6，q=7”，解决这一关键的核心步骤又是“分别令x=1，5，3，……”.读者自然会问：为什么要令x=1，5，3这三个值呢？令其他值也能求出答案吗？

令区间[1，5]的两个端点值1与5这是自然的，令x=3又有何玄机？容易看出3是两个端点值1与5的平均数，这是一般规律吗？

2 题1的另解——破解玄机

题1的另解 可得题设即x∈[1，5]，-x2-2≤px+q≤-x2+2.如图1所示，可得线段y=px+q（1≤x≤5）夹在两条曲线段y=-x2-2（1≤x≤5），y=-x2+2（1≤x≤5）之间.

可得曲线段y=-x2+2（1≤x≤5）的两个端点分别为A（1，1），B（5，-23），还可证得线段AB：y=-6x+7（1≤x≤5）与曲线段y=-x2-2（1≤x≤5）切于点C（3，-11），再由数形结合思想可得p，q的值分别是-6，7.

图1

但还需要作严格证明：分别令x=1，3，5，可得

-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐标系pOq中作出以上不等式组表示的区域后，可得p=-6，q=7.

也可这样证明：分别令x=1，5，3，可得p+q≤1，5p+q≤-23，6p+2q≥-22，所以-22≤6p+2q=（p+q）+（5p+q）≤1-23=-22.

因而p+q=1，5p+q=-23，6p+2q=-22，即p=-6，q=7.

同原解法，还可验证p=-6，q=7满足题设，所以满足题设的p，q的值分别是-6，7.

因而[KF（]p2+q2[KF）]=[KF（]85[KF）]，进而可得所求答案是9.

3 题1的一般情形

定理1 若α，β（α<β）是已知数，则x∈[α，β]，x2+ax+b≤（α-β）28（a，b是常数）的充要条件是a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

证明 可得题设即x∈[α，β]，-x2-（α-β）28≤ax+b≤-x2+（α-β）28.

（请读者自己画图）可得线段y=ax+b（α≤x≤β）夹在另两条曲线段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β），y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）之间.

可得曲线段y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）的两个端点分别为Aα，-7α2-2αβ+β28，Bα，α2-2αβ-7β28，还可证得线段AB：y=（-α-β）x+α2+6αβ+β28（α≤x≤β）与曲线段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β）切于点Cα+β2，-3α2+2αβ+3β28，再由数形结合思想可得欲证结论成立.

但还需要作严格证明：

分别令x=α，β，α+β2，可得

αa+b≤-7α2-2αβ+β28，βa+b≤α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b≥-3α2+2αβ+3β24.

所以

-3α2+2αβ+3β24≤（α+β）a+2b=（αa+b）+（βa+b）≤-7α2-2αβ+β28+α2-2αβ-7β28=-3α2+2αβ+3β24.

因而αa+b=-7α2-2αβ+β28，βa+b=α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b=-3α2+2αβ+3β24，即a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

又因为当a=-α-β，b=α2+6αβ+β28 时，可得x∈[α，β]，x2+ax+b=x-α+β22-（α-β）28≤（α-β）28，所以欲证结论成立.

推论1 x∈[-1，1]，x2+ax+b≤12（a，b是常数）的充要条件是a=0，b=-12.

证明 在定理1中选α=-1，β=1，可得欲证结论成立.

注 在推论1中设x=tα（α>0），可得结论：t∈[-α，α]，t2+pt+q≤α22（p，q是常数）的充要条件是p=0，q=-α22.

在该结论中设t=x-α′+β′2，α=β′-α′2（α′<β′），可得定理1.所以定理1与推论1是等价的.也可用证明定理1的方法证得推论1.

题2 （2017年清华大学领军计划数学试题第23题，不定项选择题）若对于任意满足|x|≤1的实数x，均有|x2+ax+b|≤12成立，则（）.

A.实数a有唯一取值B.实数a的取值不唯一

C.实数b有唯一取值D.实数b的取值不唯一

解 由推论1可得答案是AC.

题3 已知函数f（x）=x2+bx+c（-1≤x≤1），是否存在实数b，c使得|f（x）|max=12？若存在，求出b，c的值;若不存在，请说明理由.

解 由推论1可得存在实数b，c满足题设，且b=0，c=-12.

题4 若x∈[1，2]，4x2+ax+b≤12（a，b是常数），则b=.

解 可得题设即x∈[1，2]，x2+a4x+b4≤18a4，b4是常数，再由定理1可求得答案9.

4 对题1的再研究

题5 若x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14（a，b，c是常数），则a，b，c的取值范围分别

是.图2

解 可得题设即x∈[-1，1]，-x3-14≤ax2+bx+c≤-x3+14.

如图2所示，可得曲线段y=-x3-14（-1≤x≤1）的左端点是A-1，34，曲线段y=-x3+14（-1≤x≤1）的右端点是B1，-34，线段AB：y=-34x（-1≤x≤1）夹在两条曲线段y=-x3-14（-1≤x≤1），

y=-x3+14（-1≤x≤1）

之间且分别切于点D12，-38，C-12，38.

由图2可知，a=0，b=-34，c=0满足题设.下面由此思路，给出本题的完整解答：

分别令x=-1，1，-12，12，可得

-a+b-c≤-34，①a+b+c≤-34， ②a-2b+4c≤32，③-a-2b-4c≤32，④

①+②，可得b≤-34;③+④，可得b≥-34.所以b=-34.

再把b=-34代入①②，可得a+c=0;又把b=-34代入③④，可得a+4c=0.所以a=c=0.

当a=0，b=-34，c=0时，可得x3+ax2+bx+c=x3-34x.用导数可求得函数f（x）=x3-34x（0≤x≤1）的值域是-14，14，所以奇函数y=x3-34x（-1≤x≤1）即y=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1）的值域也是-14，14，因而x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14.

综上所述，可得所求a，b，c的取值范围分别是{0}，-34，{0}.

定理2 若ε，α（α>0）是已知数，则x∈[ε-α，ε+α]，x3+ax2+bx+c≤α34（a，b，c是常数）的充要条件是a=-3ε，b=3ε2-34α2，c=34α2ε-ε3.

证明 在题5的结论中设x=tα（α>0），可得结论：t∈[-α，α]，t3+pt2+qt+r≤α34（p，q，r是常数）的充要条件是p=0，q=-34α2，r=0.

在该结论中设t=x-ε，可得t3+pt2+qt+r=（x-ε）3+p（x-ε）2+q（x-ε）+r=x3+（p-3ε）x2+（3ε2-2pε+q）x+（r-qε+pε2-ε3）.

进而可得欲证结论成立.

注 在定理2中选ε=0，α=1，可得题4的结论.所以题4的结论与定理2是等价的，也可用证明题4的结论的方法证得定理2.题6 已知x∈[1，5]，|x3+px2+qx+r|≤2，求实数p，q，r的取值范围.

解 在定理2中令ε=3，α=2，可得所求实数p，q，r的取值范围分别是{-9}，{24}，{-18}.

题7 若x∈[-1，1]，|x4+ax3+bx2+cx+d|≤18（a，b，c，d是常数），则a，b，c，d的取值范围分别是.

解 分别令x=-1，1，-22，22，0，可得

-a+b-c+d≤-78，a+b+c+d≤-78，a-2b+2c-22d≤322，-a-2b-2c-22d≤322，d≤18.

所以18≥d=-12（-a+b-c+d）-12（a+b+c+d）-122（a-2b+2c-22d）-122（-a-2b-2c-22d）≥-12·-78-12·-78-122·322-122·322=18.

因而以上不等式組中的“≥”全取等号，进而可求得a=0，b=-1，c=0，d=18.

当a=0，b=-1，c=0，d=18时，可证得x∈[-1，1]，x4+ax3+bx2+cx+d≤18，即证x∈[-1，1]，x4-x2+18≤18.设x2=t，即证t∈[0，1]，t2-t+18≤18，而这容易获证.

综上所述，可得所求答案是{0}，{-1}，{0}，18.

猜想 若恒等式cosnθ=ancosnθ+an-1cosn-1θ+…a1cosθ+a0（an，an-1，…，a1，a0是与θ无关的常数，由文献[1]的定理可得an-1=an-3=an-5=…=0，

an-2=-n·2n-3，an-4=n（n-3）·2n-6），则x∈[-1，1]，|xn+pn-1xn-1+…+p1x+p0|≤12n-1（pn-1，…，p1，p0是常数）的充要条件是pn-1=an-12n-1，…，p1=a12n-1，p0=a02n-1.

注 易知当n=1时猜想成立，由推论1、题5、题7的结论可知当n=2，3，4时猜想均成立（证明时所赋的值是区间端点值及所得多项式的极值点）;同定理2的证明还可把猜想的结论予以推广;由本文的结论还可编拟出一些难度较大的题目.

参考文献

[1] 甘志国.谈谈这道“合情推理”高考题[J].中学数学（高中），2011（8）：46-48.

作者简介 甘志国（1971—），正高级教师、特级教师、湖北名师.对高考数学题及重点大学强基计划校考（数学）两方面研究较多较深：发表了多篇文章，出版了多册著作，针对教师培训作了多场讲座.