对“数学抽象”的一点认识

【摘 要】 “数学抽象”是一种高级思维活动，具有极强的创造性.培养有较强“数学抽象”能力的学生，符合新时期培养创新人才的要求.这对高中数学教师提出了很高的数学素养要求，教师不仅要有较高的数学专业知识，还要有较强的数学思维能力.

【关键词】 数学抽象;解题教学;考查建议

2017年版《普通高中数学课程标准》提出6个数学核心素养，其核心素养之一“数学抽象”排在首位，可见其地位.近两年，通过学习和思考，形成一点关于“数学抽象”的个人认识，现整理成文与读者交流，以期抛砖引玉.

1 概念解读

对于“数学抽象”，2017版《课标》首先介绍了它的含义：“数学抽象是指通过对数量关系和空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养……”;然后又指出“数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础……”;随后谈到数学抽象表现为“获得数学概念和规则，提出数学命题和模型……”;最后强调高中数学课程学习的目标是“学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验……”.

2017版《课标》提出的“数学抽象”，是一种重要的数学思想方法，是发现数学知识的一种重要的高级思维活动，它强调数学知识方法需要通过“抽象”生成.作为高中数学教学，需要培养学生这种理性思维，要让学生养成由具体数学对象生成一般性结论的“抽象”习惯.

2 数学抽象之类型

2017版《课标》上“数学抽象”的概念，教师容易理解，课堂教学也容易操作.但笔者总觉得这个概念不够深刻，于是查阅了百度百科，其定义为：数学抽象是指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程.这个概念揭示了“数学抽象”的本质，强调探索共性这一思维过程.作為高中数学教师，有必要再理解这一定义，或许对课堂教学更有意义.

此外，百度百科还介绍了“数学抽象”的四种类型：弱抽象;强抽象;构象化抽象;公理化抽象.对于前两种类型的思维要求，笔者认为有必要研究一下.（后两种类型，读者可自行查阅）2.1 弱抽象从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，使原型内涵减少，结构变弱，外延扩张，获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例.弱抽象的关键在于从数学对象的众多属性或特征中辨认出本质属性或特征，从貌似不同的同类数学对象中找出共同的东西.这种抽象思维的法则可称为：“特征分离概括化法则”.

著名的哥德巴赫猜想便是弱抽象的产物.正整数的加法，小学生就会，但哥德巴赫能从这些纷繁复杂的结果中，发现“2+2=4，3+3=6，3+5=8，3+7=5+5=10……”有共同的属性，并由此归纳出“任何一个不小于4的偶数总能表示为两个质数的和”.根据这个案例，我们可以发现，弱抽象具有较强的发现功能，关键是要从“貌似不同的同类数学对象中找出共同的东西”，即特征分离.现行教材中学习的归纳推理，其实是弱抽象的一部分思维过程，是根据这些“共同的东西”概括出一般性结论.2.2 强抽象通过在原型中引人新特征，使原型内涵增加，结构变强，外延收缩，获得比原结构内容更丰富的结构，使后者成为前者的特例.强抽象的关键是把一些表面上看来互不相关的数学概念联系起来，引进某种新的关系结构，并把新出现的性质作为特征规定下来.这种抽象思维的法则可称为：“关系定性特征化法则”.

圆锥曲线的统一定义应该是强抽象的产物.椭圆、双曲线、抛物线的初始定义各不相同，通过“准线”的引入，得到圆锥曲线的统一定义：平面内到定点与定直线的距离之比为常数的动点的轨迹.不同类的常数对应不同的圆锥曲线.由此，我们可以发现，强抽象具有创造性，其关键是“引人新特征”联系不同的数学对象.就如圆锥曲线的统一定义，引入“准线”定性是关键，其思维过程有较强的创造性.

3 解题教学与数学抽象

2017版《课标》指出“通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验……”.由此，我们容易得到一种错觉，认为新授课才需要数学抽象，要通过数学抽象生成新知识.其实，知识生成就是解决数学问题，从某种角度看，也可以认为是解题教学，它是一种需要有所发现的特殊解题.因此，我们不能局限数学抽象的运用，也要充分运用到解题教学中.本文以下面这道题说明数学抽象的运用.

题1 已知数列{an}，{bn}都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{cn}.设bn=qn-1（q是不小于2的正整数），c1=b1.试问：是否存在等差数列{an}，使得对任意的n∈N*，在bn与bn+1之间数列{an}的项数总是bn？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{an};若不存在，请说明理由.

为解决这个问题，需要学生寻找实例，学生当然先考虑q=2，则c1=b1=1，b2=2，这时容易想到取a1=32，d=1，从而得到数列：1，32，2，52，72，4，92，112，132，152，8，…符合题意.虽然已经发现一个实例，但不能解决问题，题目中“q是不小于2的正整数”，应理解为“任意不小于2的正整数q，都存在等差数列{an}满足题意”，还需要鼓励学生再寻找更多实例，并由此根据变量q抽象出等差数列{an}.

学生肯定还要继续考虑q=2，还能找到不少实例，如a1=54，d=1，即数列1，54，2，94，134，4，174，214，254，294，8，…满足题意.他们可能会发现：改变d=1时，则找不到符合题意的数列.此时，有少部分学生能够抽象出等差数列{an}.对于这部分学生，还要继续寻找实例检验抽象出的结论，而其他学生当然更要继续寻找实例，力图发现共性并从中抽象出结论.

继而考虑q=3，则c1=b1=1，b2=3，容易想到取a1=2，很快发现d=2时数列：1，2，3，4，6，8，9，10，12，14，16，18，20，22，24，26，27…满足题意，而d=1、d=3不满足题意;又取a1=32，发现d=1、d=3仍然不满足题意，而当d=2时，数列1，32，3，72，112，152，9，192，232，272，312，352，392，432，472，512，27…满足题意;再取a1=52，发现d=1、d=3还是不满足题意，而d=2所得数列满足题意.

至此，大多数学生能够抽象出等差数列{an}：首项a1∈（1，q），公差d=q-1.由此再引导学生证明所得结论满足题意，只需证明a1+q+q2+…qn-1

4 考查建议

“数学抽象”是2017版《课标》提出的第一个核心素养，若能在高中数学教学中全面落实到位，则今后学生的数学素养将会有一个质的飞跃.现在各级教育主管部門都十分重视新《课标》要求的培训，学校也重视这方面的教学业务指导.现在的问题是，如果仅仅是这样，那么“数学抽象”能够在课堂教学上充分落实吗？显然不可能，仅仅是培训和宣传，只能在一些优质课和公开课上有所体现.要想在日常教学中充分体现“数学抽象”，必须运用高考这一指挥棒！

我们不可否认，高考升学率是全社会的关注点！如果高考不体现或很少体现“数学抽象”的考查，很难引起学校和教师的重视;反之，教师只有认真对待“数学抽象”的教学，提高学生的抽象能力，才能提高学生的相应数学成绩.现在的高考相对之前已有较大的变化，不仅考查学生的逻辑推理和数学运算能力，还考查学生的数学建模能力和数学文化知识等，但很少体现“数学抽象”的能力考查.现在新高考正在逐步推行，相信将来的新高考，一定会有“数学抽象”方面的考题.为此，笔者尝试着改编一道考题，以体现“数学抽象”的能力考查.当然，受命题水平之限，改编题未必成熟，只是强调有必要进行这方面的能力考查和命题研究.

题2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P（2，1），且点P与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为-12.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点P作两条倾斜角互补的直线PA，PB分别交椭圆C于A，B两点，求证：直线AB的斜率为定值;

（3）根据第（2）小题的定值现象，试归纳出更一般性的结论.

第（1）小题是基础题，容易求出椭圆C的方程x24+y22=1;第（2）小题为圆锥曲线的常规问题，方法亦常规，可求得直线AB的斜率为22;第（3）小题不同于苏教版22第二章第1节“合情推理”中的归纳推理题，它所给出的观察对象少，问题的发散性强，对学生的抽象要求较高，能够区分不同学生的抽象能力.

大多数学生能够得到：对于任意椭圆x2a2+y2b2=1，若过其上一点P作两条倾斜角互补的直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点，则直线AB的斜率为定值;有些学生能够把结论拓展至双曲线、抛物线以及圆;还有一些高手学生会关注到动直线AB的极限位置，当直线PA，PB的倾斜角无限接近π2时，A，B重合于一点Q，而点Q与P关于x轴对称，由此归纳出较高层次的结论，直线AB的斜率总是椭圆在点Q处的切线斜率，与椭圆在点P处的切线斜率互为相反数.如果这些高手再注意严密性，他们能归纳出：对于以x轴为对称轴的圆锥曲线（或圆），若过其上一点P作两条倾斜角互补的直线PA，PB分别交圆锥曲线（或圆）于A，B两点，则直线AB的斜率总与点P处的切线斜率互为相反数.

如果高考重视第（3）小题这种类型问题的考查，且占比较大，那么教师当然会重视“数学抽象”的日常教学.假如关于“数学抽象”的教学真正落实到位，我们学生的抽象能力逐步得到提升后，不少学生抽象出的数学结论往往会超出教师的能力范围.可以想象，类似第（3）小题这样的考题，有些高手学生抽象出的结论，命题者可能就想不到.这应该是我们教学应该追求的目标：青出于蓝而胜于蓝！

此外，2017版《课标》关于“推理与证明”的教学不作要求，似乎不合理.《课标》重视“数学抽象”的教学要求，而合情推理中的“归纳推理”其实是“数学抽象”思维过程的一部分.个人认为，“推理与证明”不但要作教学要求，而且要加大考查力度.也许是《课标》教学主线的问题，不再妄加揣测，笔者觉得这部分内容可以作为预备知识学习，为后续各章节中“数学抽象”的教学作铺垫.

5 结束语

“数学抽象”是一种高级思维活动，具有极强的创造性.培养有较强“数学抽象”能力的学生，符合新时期培养创新人才的要求.当然，这也对高中数学教师提出很高的数学素养要求.毫无疑问，教师需要有较高的数学专业知识和较强的数学思维能力，否则，怎能驾驭课堂教学？尤其是重点高中，怎能应对那些高手学生抽象出的数学结论？

作为高中数学教师，首先要多订阅一些杂志学习，这些杂志文章是全国各地的数学高手研究所得，能学习到很多新观点、新思维.其次要积极参加一些教育专家的专题讲座，认真聆听他们的教诲，从而更新自己的教学思路.

另外，“数学抽象”的教学过程要慢一点.数学课堂上的“抽象”，所研究的对象，往往都是教师给出的，某种程度上讲，不能算真正意义上的“数学抽象”.如果教师的引导问题指向性过强，学生能够顺利“抽象”出教师所要的结论，那就变成“数学抽象”的形式教学，并不能培养学生的抽象能力.引导学生“抽象”的问题要发散一点，要多给时间让学生思考，这样的抽象过程才接近真正的“数学抽象”，对培养学生的“数学抽象”能力才有利.

作者简介 吴小健（1973—），男，江苏东台人，中学高级教师.