与学生谈三角中的“数学美”

权家鑫

【摘要】三角知识同其他数学知识一样，充满美的情境.在平时的教学中，教师如果能常引导学生欣赏、感悟数学之美，那么将对学生学习数学兴趣的提升大有裨益.

【关键词】统一美;简单美;对称美

数学中是充满“美”的，平时同学们各种“忙”，顾不上睁开发现美的眼睛.数学之美是指从数学里得出的美学.数学家常从数学中得到美的愉悦，形容数学是一种艺术形式，或是一种创造力活动，如音乐与诗歌一般.

数学美一般包括统一美、简单美、对称美.三角中这种“数学美”俯拾皆是.

一、统一美

1.“全家福”.

例1 化简：11+sin 2x+11+cos 2x+11+tan 2x+11+cot2x+11+sec2x+11+csc2x.

解 ∵11+sin 2x+11+csc2x=11+sin 2x+sin 2xsin 2x+1=1+sin 2x1+sin 2x=1，

同理，11+cos 2x+11+sec2x=1，11+tan 2x+11+cot2x=1，

∴11+sin 2x+11+cos 2x+11+tan 2x+11+cot2x+11+sec2x+11+csc2x=3.

例2 化简：11-sin 2x+11-cos 2x+11-tan 2x+11-cot2x+11-sec2x+11-csc2x.

解法同例1.

這两题的特点是六个三角函数名在题目中同时出现，呈现了形式上的统一美.

例3 化简：11-11-11-sin 2α.

解 11-11-11-sin 2α（题中首先含有正弦sin α）

=11-11-1cos 2α（出现余弦cos α）

=11-11-sec2α（出现正割sec α）

=11-1-tan 2α=11+1tan 2α（出现正切tan α）

=11+cot2α（出现余切cot α）

=1csc2α（出现余割csc α）

=sin 2α.（回到正弦sin α）

这题的特点是六个三角函数名依次出现，最后回归最先的那个三角函数名，有兴趣的同学如果把最先的三角函数名换成别的三角函数名，还会有新的发现哦！

以上例题让六个三角函数名都出现了，相当于拍下了一张“全家福”！

2.“超纲”的三倍角公式.

①sin 3α=3sin α-4sin 3α=4sin αsin（60°-α）sin（60°+α）.

②cos 3α=4cos 3α-3cos α=4cos αcos（60°-α）cos（60°+α）.

公式中，sin 3α，3sin α，sin 3α都有“3”，又都不一样，和谐一体，挡不住的浓浓的“和谐美”啊！公式的最右边从角的形式上的对应，到三角函数名的统一，更是展开了一幅美不胜收的画卷！

①的证明：

sin 3α=sin（α+2α）=sin αcos 2α+cos αsin 2α

=sin α（1-2sin 2α）+2sin αcos 2α=sin α-2sin 3α+2sin α（1-sin 2α）

=3sin α-4sin 3α=4sin α34-sin 2α=4sin α（sin 260°-sin 2α）

=4sin αsin（60°-α）sin（60°+α）.

（最后一步用的是公式：sin（α-β）sin（α+β）=sin 2α-sin 2β）

②的证明：

cos 3α=cos（α+2α）=cos αcos 2α-sin αsin 2α

=cos α（2cos 2α-1）-2sin 2αcos α=2cos 3α-cos α-2cos α（1-cos 2α）

=4cos 3α-3cos α=4cos αcos 2α-34

=4cos α[1-sin 2α-（1-sin 230°）]=4cos α（sin 230°-sin 2α）

=4cos αsin（30°+α）sin（30°-α）=4cos αcos（60°-α）cos（60°+α）.

三倍角公式可用来降次，如sin 3α=3sin α-sin 3α4，cos 3α=3cos α+cos 3α4.

我们又想起了一道熟悉的题目.

例4 求cos 20°cos 40°cos 80°的值.

解 cos 20°cos 40°cos 80°

=14×4cos 20°cos（60°-20°）cos（60°+20°）

=14cos（3×20°）=14×12=18.

若题目变了个“面孔”：“求sin 10°sin 50°sin 70°的值”，方法同上.

二、简单美

正弦定理、余弦定理是我们解三角形问题的重要法宝，只要从已知条件或结论中发现些许符合公式结构特征或与公式的局部相仿，我们切不可错过尝试构造三角形的机会，这是一个化陌生为熟悉、实现简单美的大好时机！

例5 已知α，β都是锐角，且sin（α+β）=2sin α.求证：α<β.

分析 本题可以用反证法、放缩法来证明，这里我们用构造法来解决.

证明 设γ=π-α-β，∵0<α<π2，0<β<π2，∴γ∈（0，π），则α，β，γ可以看作一个三角形的三个内角.设α，β，γ的对边分别是a，b，c，由正弦定理得：

csin γ=asin αcsin（α+β）=asin α，∵sin（α+β）=2sin α，∴c=2a.

而a+b>c=2a，∴a

我们因为看到本题已知条件中的两个正弦的关系，所以及时想到了三角形中的正弦定理，细细品味，妙在其中.长此以往，你也能想出你的妙招——构造法不是空穴来风，它来自我们对于知识的熟稔！

例6 （1）在锐角三角形ABC中，已知sin 2A>sin 2B>sin 2C，求证：A

（2）在△ABC中，求证：cos 2A2+cos 2B2-cos 2C2=2cos A2cos B2sin C2.

（3）在△ABC中，若sin A=3cos Bcos C，求证：A>π3.

证明 （1）构造△A1B1C1，使A1=π-2A，B1=π-2B，C1=π-2C，它们的对边分别是a1，b1，c1.

∵sin 2A>sin 2B>sin 2C，∴sin（π-2A）>sin（π-2B）>sin（π-2C），即sin A1>sin B1>sin C1，∴A1>B1>C1，

∴π-2A>π-2B>π-2C，∴A

（2）构造△A1B1C1，使A1=π2-A2，B1=π2-B2，C1=π2-C2，它们的对边分别是a1，b1，c1.由余弦定理，得：a21+b21-c21=2a1b1cos C1，

易得sin 2A1+sin 2B1-sin 2C1=2sin A1sin B1cos C1，即

sin 2π2-A2+sin 2π2-B2-sin 2π2-C2=2sinπ2-A2sin π2-B2cos π2-C2，

∴cos 2A2+cos 2B2-cos 2C2=2cos A2cos B2sin C2.

（3）∵在△ABC中，sin A=3cos Bcos C>0，∴B，C都是锐角.

构造△A1B1C1，使A1=π-A，B1=π2-B，C1=π2-C，它们的对边分别是a1，b1，c1.

∵3cos Bcos C=sin A≥sin 2A（当且仅当A=π2时取“=”），

∴3sinπ2-Bsinπ2-C≥sin 2（π-A）3sin B1sin C1≥sin 2A1.

在△A1B1C1中，由余弦定理，得：cos A1=b21+c21-a212b1c1≥2b1c1-a212b1c1≥2b1c1-3b1c12b1c1=-12.由于当且仅当A=π2，B=C，即A1=π2，B1=C1=π4时取“=”，而cos π2=0>-12，因此上式不可能取“=”.

∴A1<2π3，∴π-A<2π3，∴A>π3.

三、对称美

三角与其他知识一样，我们常有“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的感受.我们既要多观察、多积累，又要善思考、善联系、善比较;既要能睹新思旧、熟练转化，又要能纵览全局、品味神韵.技熟者速，神悟者达.对称是一种美，更是一种思想.我们要善于发现对称并利用之，这样常有意外惊喜.

例7 已知a，b，c∈R+，求证：

a2+b2+ab+b2+c2+bc+c2+a2+ca≥3（a+b+c）.

学过三角，当同学们看到a2+b2+ab时应该想到三角形.若三角形两边长分别为a，b，它们的夹角为2π3，则a2+b2+ab恰为第三边长.但是本题中的a，b，c未必是一个三角形的三边长，所以a2+b2+ab不一定是c.综合观察题目的左边，不难想到：从同一个点O引出三条线段OA=a，OB=b，OC=c，它们两两夹角为2π3，再连接AB，BC，CA.

这样，要证明的问题转化为“求证AB+BC+CA≥3（a+b+c）”.

在△AOB中，设∠OAB=α0<α<π3，则∠OBA=π3-α，由正弦定理得

a2+b2+ab=32asin α=32bsinπ3-α，

由等比性质，得：a2+b2+ab=32（a+b）sin α+sinπ3-α=32（a+b）sinα+π3，

易知32

∴a2+b2+ab≥32（a+b），①

同理，b2+c2+bc≥32（b+c），c2+a2+ca≥32（c+a），

将这两个式子与①相加即可得证.

何时等号成立？我们可以追溯到①式，等号成立的充要条件是α=π6，从而有a=b，所以当题中等号成立时，应该有a=b=c，此时，O是等边三角形ABC的中心！

看似这种方法延续了前面说过的“构造法”，其实本题证明过程中的一个重要的结论①式原本是一个很简单的问题——用基本不等式极易证明：

a2+b2+ab≥32（a+b）a2+b2+ab≥34（a+b）2（a-b）2≥0.

所以本题的关键是把原结论拆分成三个不等式：

a2+b2+ab≥32（a+b），b2+c2+bc≥32（b+c），c2+a2+ca≥32（c+a），再相加就立即得證.靠什么能发现这种拆分呢？对称思想！

我国数学大师陈省身在封笔之作《对称》一书中说到，“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大.数学就是它的根本，并且很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题.”

上例中，使用对称性将右边分成三个式子之和，不需要用到三角知识，直接用基本不等式就能够快速得证了.知识的积累能让我们自如地放飞思想，而思想是解决问题的导航.我们及时发现并利用对称思想能快速发现解题途径甚至直接预测结果.

例8 若三角形三边a，b，c的对角分别为A，B，C，且满足acos A+bcos B=ccos C，那么这个三角形一定是（  ）

A.正三角形B.以a為斜边的直角三角形

C.以b为斜边的直角三角形

D.以上结论都不正确

分析 我们由a，b在已知式子中的对称性知B，C同真假，可见B，C均不正确.再由a，b，c之间的不对称性排除A，故应选D.

体会到了什么？思想的光芒！

例9 如图，在△ABC内有一点D，∠ABC+∠ADC=180°，

AB=3，BC=AD=2，问∠B多大时，△ABC与△ADC

的面积之差最大？最大值是多少？

思路 利用对称性，作出点D关于AC的对称点D′，由已知可以得到A，B，C，D′四点共圆.

解 作出点D关于AC的对称点D′.

易知∠AD′C+∠ABC=180°，∴D′，A，B，C四点共圆.

又∵AD′=AD=BC=2，∴D′C与AB成为圆中的平行弦，从而四边形ABCD′是圆内接等腰梯形.设CD=x，则CD′=x，∴cos B=AB-D′C2BC=3-x4，∴3-x=4cos B，

∴S=S△ABC-S△ADC=12×2×3×sin B-12·x·2·sin∠ADC=（3-x）sin B=2sin 2B≤2.

故当∠B=45°时，△ABC与△ADC的面积之差最大，最大值是2.

本例中，因为∠ABC与∠ADC互补，所以可用一个变量来表示，问题的关键在于CD的长不易表示出来，而利用对称性后，此问题迎刃而解！

例10 已知sin α+sin β+sin γ=0，cos α+cos β+cos γ=0.

求证：cos（α-β）cos（β-γ）cos（γ-α）=-18.

分析 注意到α，β，γ的对称性，cos（α-β），cos（β-γ），cos（γ-α）也对称，而-18=-123，因此只要先证明cos（α-β）=-12，这就利用对称思想发现了思路.

证明 由sin α+sin β=-sin γ，cos α+cos β=-cos γ，

得2+2cos（α-β）=1cos（α-β）=-12，

同理可得：cos（β-γ）=-12，cos（γ-α）=-12，

三式相乘即得证.

与此类似的题还有很多.

求证：（1）cos 2α+cos（2α+120°）+cos（2α+240°）=0;

（2）cos 2A+cos 2（60°-A）+cos2（60°+A）=32;

（3）sin α+sin（α+72°）+sin（α+144°）+sin（α+216°）+sin（α+288°）=0;

……

波兰数学奇才保罗·埃尔德什说过，“我知道数学是美丽的，若它不美丽，则世界上就没有什么事物是美丽的了.”数学之美最强烈的体验是进行积极的数学研究，以纯粹被动的方式学习数学是很难体验到数学的乐趣的，所以，想体会数学之美，必须先学会当耕耘者.