2020年高考“圆锥曲线”解答题命题分析

戚莹

摘要：圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是历年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程，直线与圆锥曲线位置关系中的定点、定值、最值、范围以及存在与否的探究性问题为主。对考生解决问题的能力要求极高，通常作为压轴题的形式出现。本文对2020年高考数学试卷中圆锥曲线解答题从命题的角度进行了分析，总结了圆锥曲线解答题的特点，指出了试题与教材中的例题和习题之间的联系，提出了相应的教学建议，为2021年圆锥曲线解答题的复习备考提供参考。

关键词：圆锥曲线;考点分析;复习建议

2020年的高考数学试卷中，全国I卷、全国II卷、全国III卷、新高考I卷、新高考II卷，以及自主命题的北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、江苏卷对圆锥曲线解答题的考查延续了以往的命题风格，重点考查学生的基本功，方法可圈可点，关注学生利用代数方法研究几何图形的性质、转化与化归思想的能力，渗透着对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养的考查，实现了服务选材、引导教学的目的.

一、考点分析

圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，在刻画现实世界和解决实际问题中起着重要的作用。掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质等相关知识对所研究的几何对象能够提供简单有效的研究手段，是培养学生数形结合思想的重要思维工具.

1.考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中的定点、求值问题

例1.（全国1卷.理20/文21）已知A，B分别为椭圆E： （a>1）的左右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点。

【评析】本题涉及到的知识点有，椭圆的基本性质，直线与椭圆的位置关系。其中求直線过定点问题难度较大。第（1）的解题方法是通过向量的坐标运算，把向量问题转化为代数问题。在第（2）问设出P点坐标后，通过两点式直线方程公式写出PA，PB的直线方程，再分别与椭圆方程联立，设出C，D点坐标，进而写出直线CD的方程。取点P不同的纵坐标值得到不同的直线方程，联立解得交点坐标即为所求点（定点）坐标，代入原方程进行验证，确认结果。

根据圆锥曲线的性质解决过定点问题是对学生综合能力的考查，其中正确的求解曲线方程是基础。以人教A版《普通高中课程标准实验教科书.数学（选修2-1）》（以下简称《数学（选修2-1）》）为例，求曲线的方程作为第二章的第一节设置了很多的例题，还设置了大量的习题，借助于已知条件求出表示曲线的方程，通过曲线的方程研究曲线的性质.因此，求解曲线方程是基础知识，掌握了这些知识点，就可以有效地解题。高考题中，大部分解答题都直接或间接的考查了圆锥曲线的标准方程，并在求解出标准方程的基础上考查相关性质。

例2.（北京卷20）已知椭圆C： 过点A（-2，-1），且a=2b

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点B（-4，0）的直线交椭圆C于点M、N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P、Q，求 的值.

【评析】本题考查了椭圆的标准方程及其简单几何性质、直线与椭圆的位置关系.考查数形结合思想，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，属于较难的题.第（1）问将点A的坐标代入椭圆方程，由a=2b即可求得椭圆的标准方程.第（2）问，由题意得直线方程的斜率存在，设出直线方程与椭圆方程联立，通过判别式与韦达定理得出相应的关系式，然后表示出直线AM、AN的方程，与直线x=-4联立求得P、Q点的纵坐标，化简得到 的值.该题第（2）问，虽是直线与椭圆的位置关系最常规的考法，但是计算量很大，需要结合题意分析推理得出要求的 比值与点P、Q纵坐标的关系.这就要求学生要具备转化化归能力，以及灵活处理解析几何问题的能力.

2.考查椭圆的基本性质，以及直线与椭圆位置关系中的定值问题

例3.（新高考I卷.山东22）已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，且过点A（2，1）

（1）求C的方程

（2）点M，N在C上，且 ， ，D为垂足，证明：存在定点Q，使得〡DQ〡为定值.

【评析】本题考查了椭圆的性质，以及根据直线过定点求解定值问题.第（1）问由题意可以列出关于a，b，c的方程组，求解这一方程组即可得到椭圆方程;第（2）问依照解决圆锥曲线与直线的常规思路——“韦达定理法”，设出M，N两点坐标及直线MN的方程（y=kx+m），联立直线与椭圆的方程从而确定系数k，m之间的数量关系，进一步验证直线MN通过某一定点的事实，最后根据直角三角形的性质来确定满足题意要求的Q点的位置。但是要综合考虑斜率不存在的情况，以确保此时直线MN依然通过前述的某一定点，进而求解定值。

2020年高考很多套试卷都围绕直线过定点问题考查的，这就要求教师在教学过程中注重对学生的引导.以椭圆为例（其他同理），过椭圆上一点作两条垂直直线交椭圆于两点，则这两点的连线必过一定点.

3.考查椭圆的定义，以及由直线与椭圆位置关系的推理论证求解最值问题

例4.（江苏卷18）在平面直角坐标系xoy中，若椭圆E： 的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.

（1）求 的周长;

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值;

（3）设点M在椭圆E上，记 与 的面积分别是S1，S2，若S2=3S1，求M的坐标.

【评析】 本题考查了椭圆的定义，直线方程、直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的应用、向量数量积等基础知识，考查了推理论证能力、分析问题的能力和运算求解能力. 第（1）问根据椭圆的定义可得AF1+AF2=4，从而可求出 的周长;第（2）问，通过设P点的坐标，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2⊥F1F2，求出A（1， ），根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可求出最小值;第（3）问设点M的坐标，点M到直线AB的距离为d，有点O到直线AB的距离与S2=3S1，可推出d= ，根据点到直线的距离公式，以及点M满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.该题考查的知识点与全国I卷文21（理20）题考查的知识点有相同的地方，但是难度相对要大一些.

例5.（新高考II卷.海南21）已知椭圆C： （a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为 ;

（1）求C的方程;

（2）点N为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值.

【评析】本题考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识.考查了学生分析问题和根据几何关系推理论证的能力以及计算能力.第（1）问通过求解直线AM的方程，根据题意求出a，b的值即可确定椭圆的方程.第（2）问在利用几何关系确定点N的位置时，设与AM平行的直线与椭圆相切，然后再联立直线与椭圆方程利用判别式为0求得直线方程，并且根据切点到直线AM的距离最大时三角形面积最大即可确定直线方程。结合平行线间的距离公式以及两点间的距离公式即可求出三角形面积的最大值.该题第（2）问的求解方法与《数学（选修2-1）》2.2.2节例7相同.因此，提取题目信息正确的理解题意是关键.这就要求学生注重学习基础知识的同时能够灵活运用。

4.考查双曲线与圆的定义，以及直线与曲线位置关系中的求解范围问题

例6.（上海卷20）双曲线C1： ，圆C2：x2+y2=4+b2（b>0）在第一象限的交点为A，A（xA，yA），曲线 T

（1）若 ，求b;

（2）若b= ，C2与x轴交点记为F1，F2，p是曲线T上一点，且在第一象限，并满足〡PF1〡=8，求

（3）过点S（0，2+ ），且斜率为- 的直线L交曲线T与M，N两点，用b的代数式表示 ，并求 的取值范围.

【评析】本题考查了双曲线与圆的定义和方程、性質，考查了直线与圆的方程、双曲线的方程的联立，点到直线的距离公式，以及向量数量积的几何意义，考查了学生方程思想和化简运算能力.第（1）问联立双曲线与圆的方程，根据xA= ，解方程可得b;第（2）问由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角;第（3）问设直线L的方程求得原点到直线的距离，判断直线L与圆的位置关系为相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当yA>2时，直线L才能与曲线T有两个交点，通过求解不等式可得b的范围，再根据向量投影的定义求得 ，进而求得所求范围.在本题中，注重考查学生对曲线方程的理解，以及数形结合分析问题和解决问题的能力，计算量较大，属于较难题.因此，这就要求学生在平时的学习中加强数形结合和逻辑推理的能力，以及强化自己的计算能力，努力提升自己的数学素养.

5.考查抛物线的几何性质，以及直线与圆锥曲线位置关系的探究问题

例7.（浙江卷21）已知椭圆C1： ，抛物线C2：y2=2px（p>0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线L交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）

（1）若p= ，求抛物线C2的焦点坐标;

（2）若存在不过原点的直线L使M为线段AB的中点，求p的最大值

【评析】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识.第（1）问由P的值可直接写出抛物线的焦点坐标，比较简单;第（2）问设直线L的方程，点A、B、M的坐标，将直线方程分别与抛物线的方程和椭圆方程联立表示出点M的坐标，然后由点M在椭圆上代入点坐标，表示出P的等式关系，最后利用求解函数最值的方法解题.该题的第（2）问考查学生的数学运算能力，数学抽象与逻辑推理等的素养，具有一定的难度.因此，教师在教学过程中要注重对学生数学学科核心素养的培养.

二、命题思路分析

1.注重考查基础知识

高考命题强调考试内容的基础性，考查基本概念、性质和方法.2020年高考圆锥曲线解答题第一问基本都是根据定义、性质求曲线方程，与教材的例题和习题难度相当.只要学生掌握住圆锥曲线的定义、性质以及与教材上的例题和习题难度相当的问题，就能求解出这类高考题.例如，2020年全国II卷文（理）科第19题如下：

已知椭圆C1： （a>b>0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且〡CD〡= 〡AB〡

（1）求C1的离心率;

（2）设M是C1与C2的公共点，若〡MF〡=5，求C1与C2的标准方程。

【评析】该题第（1）问考查了抛物线和椭圆的定义、方程和性质;第（2）问考查了根据直线与椭圆的位置关系求解圆锥曲线的标准方程，考查了方程思想与运算能力，属于圆锥曲线中的基础题型.

同样的，2020年高考全国III卷文科第21题（理科第20题）：

已知椭圆 C： （0

（1）求C的方程

（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且〡BP〡=〡BQ〡，BP⊥BQ，求 的面积.

【评析】该题第（1）问考查了椭圆的方程及其性质;第（2）问考查了直线与椭圆的位置关系，考查了方程的转化思想，属于圆锥曲线中的基础题型.

2.注重考查知识点之间的联系

2020年高考中圆锥曲线解答题考查的知识点具有很强的综合性.与往年一样，在考查直线与圆锥曲线的位置关系时融合了多个知识点，每个部分考查一个常见的基本方法，考查的问题内容丰富.比如本文中的例6，不仅考查了圆锥曲线的定义、性质，同时还考查了点到直线的距离公式，向量数量积的几何意义，三角形的余弦定理，以及方程思想和化简运算能力.

例8.（天津卷18）已知椭圆C： （a>b>0）的一个顶点为A（0，3），右焦点为F，且〡OA〡=〡OF〡，其中O为原点.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知点C满足3 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切与点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.

【评析】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力.第（1）问由题意得b=c=3，然后由a、b、c的关系即可求出椭圆方程;第（2）问由题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，通过设直线AB的方程为y=kx-3，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出直线CP的斜率，然后根据直线垂直即可求出k的值，继而得到直线AB的方程.其中第（2）问对学生的推理能力和计算能力有一定的要求.

该题融合的知识点和基本方法比较多，属于有一定难度但是内容丰富的问题.

在2020年高考上海卷第20题（见本文例6）中，考查的内容就比较综合.第（1）问联立方程;第（2）问利用三角形余弦定理求解;在第（3）问的求解过程中，利用推理运算求得原点到直线的距离， 判断直线L与圆的位置关系为相切，利用推理运算以及向量数量积的几何意义即可求解.该题的第（3）问与本文中的例8考查的思想类似，都考查了学生的推理运算能力，融合多个知识点，需要根据每个题设条件得到相应的结果，循序渐进的解题.如果学生没有推理运算能力，解题步骤会很乱，思路不清晰，解题自然容易出错.

3.注重数学基本思想及数学能力的考查

圆锥曲线的解答题一般作为高考的压轴题，可以鉴别学生的综合能力.考查学生数形结合的思想、方程的思想、转化与化归的思想，要求学生将数学语言与图形语言结合在一起，解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题.同时也考查学生逻辑推理能力、运算能力、数学抽象以及灵活处理解析几何问题的能力.

直线与圆锥曲线的位置关系中的定点求值问题考查了数形结合思想（见本文例2），也考查了逻辑推理、数学运算以及灵活处理解析几何问题的能力.新高考II卷第21题，求面积的最大值需要转化为点到直线的最大距离，在转化的过程中需要注意基础知识的灵活应用.

圆锥曲线解答题重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.试题的设计符合考试大纲的要求，比如2020年高考上海卷第20题（见本文例6），有利于不同能力水平的学生在高考中发挥出相应的水平，同时也有利于教师在教学过程中对这部分内容的把控.

三、复习建议

1.熟悉考試大纲及说明

圆锥曲线解答题是考查学生综合能力的题，能够反映学生的数学水平.由于知识的难度大，所以试题的考查形式很有特点，会严格按照考试大纲的要求命题.因此，教师在教学过程中要严把考试大纲的命脉，有效的引领学生进行学习.

圆锥曲线的知识，虽然是选修内容，但由于其在高考试题中所占比重较大，综合性较强，因此，这部分内容是高考考查的重难点.如果这部分内容只是在高三时才加强练习，肯定会降低复习的效率.所以，教师在熟悉考纲的基础上，在学习新课的过程中，有选择的补充一些知识点，根据学生的最近发展区进行适当的拓展，有效的把握复习的方向.这样不仅能提高学生解题的正确率，还能提高复习的效率.

2.重视基础知识和常规解法，重视教材

高考题注重考查学生的基础，以书本知识为背景，源于教材，综合性强.例如，新高考II卷（海南卷）第21题（见本文例5），第（2）问求三角形最大面积就是教材《数学（选修2-1）》2.2.2节例7的转化.这就考查了知识体系内的横向或者纵向联系，要求学生在学习的过程中注重教材的重要性，同时也要求教师在教学中重视对学生引领.

由于圆锥曲线解答题一般作为压轴题出现，计算量较大，很难准确的算出最后的结果.因此，就需要学生在平时练习这部分专题时，正确区分考查试题的类型，理清相应题型的解题思路，做到即使不能正确的算出最后的结果，也有相应的步骤分.

纵观2020年高考对于圆锥曲线解答题的考查，第（1）问基本都是根据圆锥曲线的定义或者性质求解标准方程，这与课本例题和习题难度相当.其中新高考II卷第21题的第（2）问与教材《数学（选修2-1）》2.2.2节例7是同类型的题.其他常见的考查直线与圆锥曲线位置关系的试题，基本是教材上相关内容性质的综合应用.

3.关注命题趋势，紧跟时代步伐

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对高考命题和复习备考，有一定的指导作用.根据圆锥曲线试题的特点，在教学中教师要注重学生对定义、性质的理解及思想方法的运用，强调数学本质，淡化技巧，帮助学生树立科学的精神以及科学的态度，提升学生的数学专业素养.

同时重视圆锥曲线知识在发展学生数学学科核心素养中的作用.圆锥曲线解答题可以锻炼学生的数学运算、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养.在教学中，教师要注重培养学生这些能力，引领学生思考，学会反思，激发学生学习数学的兴趣，运用信息技术提高课堂效率，从而提高学生的数学成绩.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京人民教育出版社，2018.

[2]教育部考试中心.普通高等学校招生全国统一考试大纲说明（理科）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]姜思洋，吴丽华.2019年高考“选考内容”专题命题分析[J].中国数学教育（高中版），2019（9）：53-64.