Magnus效应对排球运动轨迹的影响

（北京交通大学土木建筑工程学院 北京 100044）

0 前言

在研究Magnus效应对排球运动轨迹的影响，文献[1-4]对Magnus效应在球类运动中的应用做过分析，文献[5]对排球运动轨迹的影响进行了讨论，但前者更多的是对足球、乒乓球等进行研究，而后者在分析描述排球运动轨迹时，往往不考虑Magnus效应，研究的内容比较片面，不能了解到Magnus效应对排球运动轨迹的影响。本文将对此问题加以讨论。

1 Magnus效应与初速度对排球运动轨迹的影响

当上旋球、下旋球、不转球三种球的初速度水平分量相同时，此时需考虑初速度对排球飞行时间的影响：根据运动学知，初速度竖直方向的分量向上或向下，将会延长或缩短排球在空中飞行的时间。因此增加排球在空中飞行时间的因素有上旋球和初速度向上，能够减少飞行时间的因素有下旋球和初速度向下。由于排球旋转所产生的影响与排球的初速度相互制约，将有可能出现排球落至点的不同，下面分情况讨论。

1.1 Magnus效应和初速度对排球飞行时间的影响均相同

由上述分析可知，排球以初速度向上的下旋球发出与不旋转相比落点较远；与之相反，排球以初速度向下的上旋球发出与不旋转相比落点较近。这两种情况与初速度相等时，在Magnus效应影响下的排球运行轨迹类似，如图1所示。

图1：初速度相等时Magnus效应的影响

1.2 Magnus效应远小于初速度对排球飞行时间的影响

由于Magnus效应远小于初速度对排球飞行时间的影响，则可以忽略马格努斯力对排球在空中飞行时间的影响。在初速度水平分量相等的情况下，根据运动学可知，初速度方向向上的排球在空中飞行时间较长，落点较远，容易出界，初速度方向向下的排球飞行时间较短，落点较近，容易打网。排球可能的飞行轨迹如图2所示。

图2：Magnus效应小于初速度的影响

1.3 Magnus效应远大于初速度对排球飞行时间的影响

由于Magnus效应远大于初速度对排球飞行时间的影响，则可以忽略初速度大小对排球在空中飞行时间的影响。在Magnus效应的影响下，上旋球落点较近，下旋球落点较远。排球可能的飞行轨迹如图3所示。

图3：Magnus效应大于初速度的影响

综上分析：由于受到向上的马格努斯力，下旋球的曲线轨迹较为平缓，上旋球弯曲弧度较大。

2 排球被击打过程中的力学分析

排球质量0.26kg，半径0.11m，假设运动员助跑摸高3m，以研究发下旋球为例。

排球的动力学方程为：

上式是一个二阶隐式微分方程组，利用龙格-库塔(Runge-Kutta)算法，求其数值解，并绘制出排球飞行过程中的轨迹图。

2.1 初速度v0对排球运动轨迹的影响

为对比不同初速度排球的运动轨迹，旋转角速度 =20 rad/s，击球角度 =20°时，分别选取初速度 v0为 15m/s，16m/s，17m/s，18m/s，21m/s，24m/s，27m/s，30m/s，绘制出不同初速度情况下排球的运动轨迹图，如图4所示。

图4：不同初速度对排球运动轨迹的影响

从图4得出，排球的初速度越大，其运行轨迹的弧度越小。在x=9m处，其中女子排球球网高2.24m，若保证排球过网，其运行至球网处的高度至少2.24m。当排球被击打出去后，能够保证其过网且落至在安全区域内初速度范围：18m/s≤v0≤27m/s。

2.2 击球角度 对排球运动轨迹的影响

为对比不同击球角度时排球的运动轨迹，当初速度速度v0=20m/s，旋转角速度=20 rad/s，分别选取击球角度 为10°，15°，20°，30°，40°，45°，50°，绘制出不同击球角度情况下排球的运动轨迹图，如图5所示。

图5：击打角度对排球运动轨迹的影响

排球只受重力作用时，属于平抛运动类型。根据平抛运动知识可知，在只受重力作用且击打排球速度保持不变的情况下，击球角度决定了竖直高度和水平位移。排球除了受重力作用影响，还需考虑空气阻力和Magnus效应的影响。当击打排球速度保持不变时，由图5可得出击球角度越大，竖直高度越大，水平位移越大；击球角度越小，竖直高度越小，水平位移越小。排球被击打出去后，既能使排球过网，又能落置在安全区域内的击球角度范围：10°≤α≤45°。

2.3 旋转速度对排球运动轨迹的影响

为对比不同旋转角速度时排球的运动轨迹，取初速度速度v0=20m/s，击球角度 =20°，分别选取旋转角速度 为5，10，15，20，25，30（单位rad/s），绘制出不同旋转角速度情况下排球的运动轨迹图，如图6所示。

图6：不同旋转速度对排球运动轨迹的影响

从图6可得出，排球旋转速度越大，水平位移越大，运行轨迹的弧度越小。根据马格努斯原理可知，当排球有旋转时，会受到Magnus效应的影响，将会延缓或加速排球落地时间。排球被击打出去后，能够保证其过网且落至安全区域旋转角速度范围：5 rad/s≤ω≤12.5 rad/s。

3 总结

通过研究Magnus效应与初速度对排球运动轨迹的影响，得出发球的落点呈现出多点分布，将会导致接发球运动员对排球落至点的判断、移动等接发球技术提出更高要求，从而提高了得分几率。当击球角度相同时，排球落至安全区域初速度取值范围更大，所需初速度也更大；当初速度相同时，由于受到空气阻力和Magnus效应的影响，排球的水平距离会随着击球角度的增大而增大。