以图形直观提升学生数学思维能力

浙江省杭州市富阳区龙门镇中心小学 方庆忠

根据脑科学研究，人类大脑处理信息有50%与视觉有关。在小学数学教学中，利用图形直观一方面可以提升学生学习数学的兴趣，消减学生的数学学习疲劳，另一方面可以帮助学生将比较抽象的问题变得更加形象和具体，使隐性的思维显性化，促进思考的深入，提升数学思维品质。

一、借助实物图形，建立静态思维支架

随着教育和科技的发展，人类的大脑在不断地开发提升。根据现代脑科学研究，大脑可以进行复杂的思维，但短期记忆的空间不大，如果没有刻意去背临时接触的信息，记忆只能保持十多秒。人的短期记忆能力远远落后于思维能力。因此，在数学教学中，教师需要帮助学生寻找具体的形或物作为数学思维的支点，并以此为基础，向未知领域探索。

（一）寻找实物作为思维原型

数学来源于生活，作为对客观现象抽象概括而形成的科学语言与工具，数学的原型就是现实世界中的时空事物。因此，数学教学应该和生活对接，从生活中寻找数学思考的原型，帮助学生建立数学思维的支点。

六年级下册比较负数大小出现了三种情形：负数和正数比、负数和0 比、负数和负数比。前两种学生都容易掌握，但对于第三种情形学生理解特别困难，究其原因，是学生脑海中缺乏相关形象和经验的支撑。在自然数比较大小时，我们通常将“大与小”转化成“多与少”，通过具体数量来比较，如5 个苹果比3 个苹果多，所以5 比3 大。负数教学时，这一经验成了负迁移，六年级学生对于“负数大小的比较和正数大小的比较刚好相反，数字越大这个数就越小”理解不了，在潜意识里将负数大小比较等同于绝对值大小比较。这时，我们需要给学生提供一个具体的形或物，作为问题思考的支点。温度计0 刻度线下面是负数，0 刻度线上面是正数。把玻璃温度计放入温水中，可以看到液柱逐渐上升，从而直观地理解温度在升高，数值在变大。在比较了-20 和-15、-10和0、0 和5 的大小后，再将温度计横放，底部朝左顶部朝右，刚好类似于一条数轴，从而将数轴与温度计建立起形象的关联，数轴上的数字就像温度计上的刻度一样，越往右边数字越大。这样，在比数的大小时，学生的思考有了一个具体思维的支点，看到两个数，就能想象它们在数轴上的大致位置，无论是正数还是负数，右边的数比左边大。负数大小比较也就迎刃而解。

（二）画图示意搭建思维支架

培养广大学生的实际应用数学的意识是现代数学基础教育的一个重要教学目标。学生在碰到具体问题时，最大的困难是没有办法开始，无法将生活问题转化成数学问题。

排队问题是生活中常见的问题，如：“大课间做操，二（1）班和二（2）班的小朋友排成一个方阵，从前面往后面数小红是第4 个，从后面往前面数小红是第5 个。这列队伍一共有几个小朋友？”二年级学生还缺乏相应的经验，在解决问题时出现三种思路：（1）4+5；（2）4+5+1；（3）4+5-1。究竟哪一种是对的，不明所以。

在教学中，可以引进画图法，用●表示小红，用○表示其他同学，画一画当时的情景，从而将抽象的文字转化为具体的图形符号。对照示意图（○○○●○○○○），思维有了具体的支点，有利于帮助学生厘清三类关系：一是前后之间的位置关系；二是序数和基数的关系；三是重合问题的处理。在此基础上，我们可以借图发挥，将原题变式：“大课间做操，二（1）和二（2）班的小朋友排成一个方阵，从前面往后面数小红是第4 个，从后面往前面数小红是第5 个。从左往右数，小红是第3 个，从右往左数，小红是第6 个。这个方阵一共有多少人？”从而进一步提升思维含量，促使数学思考的持续深入。有了前车之鉴，学生很快画出新的示意图，结合前面所学，想象出方阵的样子：有8列队伍，每列8人。根据图示，学生思维支点变得直观可视，更容易理解前后左右的位置关系，计算出每列几人、一共几列，从而化繁为简，突破难点。

又如植树问题的三种情况：只种一端、两端都种、两端都不种，同时还出现了变式，如环形植树、间隔交叉种树等问题。可用符号表示树，让学生通过画一画、数一数、想一想等活动，结合图示，棵树与间隔数的关系就一目了然了。

二、利用图形演示，再现数学动态思维路径

小学生的思维正处在由形象思维向抽象思维过渡的阶段，在持续性思考数学问题时，学生的经验和认知还不足以支持长时间的思考，思维会前后不连贯。这时，我们需要有一个直观可视的载体，借助这个载体，使思维更加连贯清晰。

（一）通过实物摆放，让思考有物可依

学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证等活动过程，通过这些活动，培养学生的数学思维。小学生的数学猜测还处于起步阶段，是一种简单的数学想象，这种想象建立在他们的基本数学活动经验和生活经验之上。在提出数学想象进行数学验证的过程中，借助图形直观，既简化验证的流程，又能激发学生的兴趣。

三年级上册数学第七单元（人教版），在学习了周长之后教材中出现了这样一道题目：用16 张边长1 分米的正方形纸拼成长方形和正方形，怎样拼才能使拼成的图形周长最短？要解决这个问题，如果用算术演绎很难找到规律。对此，我们可以让学生先想想这些小正方形可以拼出哪些图形，然后再拼一拼，看看得到哪些长方形和正方形，引导学生用算式表示：16×1、8×2、4×4，并一一记录下来。接下来，对各种情况一一进行观察、对比、计算、分析、归纳，最后得出结论：在面积一定的情况下，长方形的长和宽越接近，周长越短。

在得出这一结论后，再经过课件演示，可以推广到等周长的平面图形中圆的面积最大。当学生再遇到类似问题，就多了一把形象的尺去测量。等周长的图形，它的形状越接近圆，面积就越大。进而还可以扩展到在表面积相等的情况下，球体的体积是最大的。

同样，在小学数学学习中，平行四边形容易变形、三角形的稳定性、三角形的内角和、等底等高圆柱与圆锥的体积关系等，都能借助具体实物，通过比一比、拉一拉得到验证。

（二）通过画流程图，让思维有迹可循

数学中的建模不是我们凭空想象的，它首先需要从我们现实生活中抽象地提出数学问题，用数学符号来表示密切相关的数量之间的关系和变化规律。这个表示过程常常需要我们借助一定的媒介工具来加以实现，画图表示就是一种很好的表示方法，它不仅可以直观准确地表示数量之间的关系和变化规律，还能展现思维的进程，使思维过程可视化。

鸡兔同笼问题是我国的一个热门数学问题，小学四年级下册首次出现。此类问题用列表法、假设法、方程法都能解决，但四年级的重点是利用假设法，教学的难点是理解多出来的足所表示的意义（缺少的足）。如，笼子里一些兔子和鸡，数数头一共有8 个，数数脚一共有26 只。笼子里有多少只兔子，多少只鸡？教材提供了思路：如果全部都是鸡，只有8×2=16 只脚，这样就多出了26-16=10 只脚。接下来的思考有两个难点，一是多出来的10 只脚所表示意义的理解，二是对于10÷2=5，5 到底表示鸡还是兔有疑问。

如果将这个过程用画图的方法展示，思维过程就转化为一个有趣的流程图。

儿童的推理能力还处在起步阶段，还未建立严谨有序的认知结构，借图形推演，步步深入，理解各部分之间的数量关系，当他们再碰到类似问题时，就能找到问题原型，有序思考。

三、借助综合图形，提升综合思维品质

数学学习建立在理解的基础上，没有理解就没有学生深度的数学思维。华东师范大学李士琦教授说：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么就说明他是理解了。”增进数学理解的一条重要路径就是沟通数学知识之间的联系，融通方法，从而形成系统，让数学思维更加深入。

图1

图2

（一）利用图形类比，让思维更加深刻

五年级教学多边形面积后，笔者出示了这样一幅图：一组平行线之间的距离是6 厘米，分别求出三个图形的面积。然后再思考一下：能否用一种方法同时求出三个图形的面积？

在计算出三个图形的面积都是12 平方厘米后，学生经过观察、对比，提出猜想：可以将一个三角形看作是上底长度为0 的特殊梯形，将平行四边形看作是上下底长度相等的特殊梯形，用梯形面积公式进行计算：SΔ=（a+b）×h÷2=（0+4）×6÷2=12 平方厘米，S ▱=（a+b）×h÷2=（2+2）×6÷2=12平方厘米，从而证实了这一猜想。

图3

有的学生提出沿中线切割三角形、平行四边形和梯形，将上半部分向下翻转，转化成一个平行四边形，用平行四边形的面积公式进行计算。经过观察对比，可以发现新得到的平行四边形的底边长度刚好是原图形上下底之和，高是原图形的一半，因此S=（a+b）×（h÷2）。

图4

这时，教师再进一步深入，沿着三角形、平行四边形和梯形的高，纵切一刀，沿着中位线横切一刀，两边分别向下翻转，转化成三个同样的长方形，用长方形面积公式计算它们的面积。新得到的长方形的长等于原图形上下底的和，宽是原图形高的一半。因此S=（a+b）×（h÷2）。

图5

经过对三组图的观察对比，可以发现计算这些图形面积的方法虽然不同，但最后都可以将公式转化为S=（a+b）×h÷2，梯形面积公式是这些图形面积计算的通式。在这一过程中，学生的注意力始终牢牢锁在图形上，图形是思维的承载。借助图形，引导学生的思考不断深入，体会转化的精妙，完成了从低阶思维向高阶思维的转变。

又如圆柱、长方体、正方体以及各类棱柱的体积计算，通过课件演示，化静为动，以“层层加高”的形式，通过图形演变，让学生理解这些形体的体积都可以想象成是一层一层累积的结果。如用16 个棱长是1 厘米的小正方体摆成底面呈正方形、长方形、品字形、凹字形、近似圆、近似三角形，这时它们的体积都是16 立方厘米，即1×16=16 立方厘米；在原来基础上加上一层，体积就是16×2=32 立方厘米。以此类推，可以直观感受到这些形体体积计算的通式，都是底面积乘高，即V=sh。进而得出结论：各类柱体，无论截面是什么形状，只要底面积和高相等，体积都相等。

借助图和形的直观，引导学生对数学知识二度组合，通过对比、归纳、求同，发现规律，理解转化，形成体系，促进学生思维向纵深发展。

（二）借助思维导图，让思维更加系统

数学知识的教学，要注重生长点和延伸点，把每堂课教学的知识置于整体的知识体系当中，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。在教学中，指导学生画思维导图，从一个点散发开去，通过不同的线条、色块将相关知识点的层级关系表示出来，形成一个整体。这个点可以是一个单元，一个形体，甚至一册教材。画图的过程，就是将脑海中的数学知识化归、比较、引申、补充的过程。最后知识整合成一张图，将学过的知识进行梳理，形成体系，实现结构化认知，更生动地留存于学生的记忆中。

思维是数学教学的核心，在全面提升学生综合素养的今天，数学思维的训练和提升显得更加重要。以图形直观帮助学生找到思考的支点，以图形转化让学生的思考有迹可循，通过图形的对比让学生的思考更加系统和深刻。在这个过程中，学生的数学思维变得更加灵活、系统、深刻，从而实现数学思维由低阶向高阶的转化。