散射体边界的凸起结构对声子晶体带隙的影响

2021-05-12魏少宏王业南

天津师范大学学报（自然科学版） 2021年2期

魏少宏，王业南，刘頔

（1.北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京100124；2.中国汽车技术研究中心有限公司，北京100070）

声子晶体为具有弹性波带隙特性的周期性复合材料或结构[1-3]，当弹性波的频率位于声子晶体的禁带区间时，弹性波的传播受到抑制.这种带隙特性使声子晶体在减振降噪、滤波和波导等问题中具有良好的应用前景[4-6].

声子晶体根据带隙产生的机理可分为Bragg 散射型声子晶体[7]和局域共振型声子晶体[8]，其中Bragg 散射型声子晶体的带隙特性主要取决于原胞间的相互作用和空间中的排布形式，局域共振声子晶体的带隙产生则由散射体自身的振动特性占主导作用[9].本文所研究的二维固/固型声子晶体的带隙特性符合Bragg散射机理，带隙频率的波长和晶格常数处于同一数量级.声子晶体的结构设计是带隙研究中的关键问题，对带隙的打开、宽度和所处位置具有决定性影响[10-11].晶胞由散射体和基体组成，改变散射体的形状是调控带隙结构的一种手段. Kuang 等[12]利用数值方法研究了三维立体声子晶体的能带结构，分析了4 种不同形状的散射体（球形、立方、菱形十二面体和截八面体）在不同空间排布形式下的带隙特性；杜敬涛等[13]通过平面波展开法研究发现，随着旋转角的变化，不同形状散射体（圆形、椭圆形、正方形和正六边形）的禁带位置和宽度会发生变化.Norris 等[14]研究了分形形状的散射体及其分形阶数对声子晶体传输特性的影响；严珠妹等[15]通过有限元法计算发现希腊十字和旋转玫瑰孔形状的声子晶体具有较宽的带隙；Bayat 等[16]发现屈曲引起的一维声子晶体板表面周期性波纹形状和相应的应力可以控制弹性波的传播.以上研究表明，改变散射体的形状对带隙调控具有一定作用，然而在不改变散射体主体形状的情况下，散射体边界形状的变化对带隙的影响还有待详细研究.本文通过构建矩形和三角形2 种边界凸起形状的散射体模型，研究凸起的几何参数对二维铝/环氧树脂型声子晶体带隙特性的影响.

1 理论方法及模型

本节主要介绍利用有限元软件求解二维声子晶体能带结构的理论方法并建立具有矩形和三角形凸起的散射体边界的几何模型.

1.1 理论计算方法

在忽略体积力各向同性的弹性体中，角频率为ω的谐振弹性波在其自由传播时，可以用特征方程进行描述[17]：

式（1）中：u（r）为位移矢量；r=（x，y）为位置矢量；Δ=（∂/∂x，∂/∂y）为微分算符；ρ 为材料密度；λ 与μ 为Lamé常数.则位移场函数

式（2）中：k =（kx，ky）为第一布里渊区的波矢量；弹性波在声子晶体中传播时按照晶格周期调幅，且uk（r）=uk（r+Kn）为与声子晶体具有相同周期性的函数；Kn为正格矢.

单胞离散行形式的特征方程为

式（3）中：U 为节点位移；K 为刚度矩阵；M 为质量矩阵.由于声子晶体具有平移的周期性，只要在单胞边界上满足Bloch 周期条件就可以令结构的所有点满足Bloch 条件，单胞的周期性边界条件为

式（4）中：a 为声子晶体的格矢基矢量.将波矢k 沿布里渊区的高对称边界Γ-X-M-Γ进行扫描，结合边界条件（式（5）），利用有限元软件COMSOL Multiphysics 可以求解声子晶体的ω 和k 频散曲线关系，即能带结构.

1.2 几何模型及材料参数

基于有限元软件（COMSOL Multiphysics）建立以环氧树脂为基体、以铝为散射体的声子晶体几何模型，并按照正方形晶格点阵排列，3 种不同单胞的截面示意和第一布里渊区如图1 所示，其中图1（a）为无凸起结构的散射体，图1（b）和图1（c）分别为散射体边界附有矩形和三角形凸起结构，a 为晶格常数，b 为正方形散射体的边长，t 为每条边上的矩形/三角形数目，h为矩形/三角形的高度.由图1 可以看出，散射体主体形状均为正方形.

图1 3 种不同散射体边界的声子晶体几何模型和第一布里渊区Fig.1 Geometric model of phononic crystals with three different scatter boundaries and the first Briyuan District

声子晶体的基体由环氧树脂（EP）构成，中心的散射体材质为铝（Al），材料的参数如表1 所示.基体中横波波速（transverse wave）ct=1 160.8 m/s，求得归一化频率Ω=ωa/2πct.由于每种晶胞都是对称的，利用波矢沿八分之一布里渊区边界Γ-X-M-Γ 进行扫描，通过有限元法计算研究不同散射体边界声子晶体在XY 模式下的能带结构.

表1 材料参数Tab.1 Material parameters

2 数值结果

2.1 无凸起结构正多边形散射体对带隙的影响

本小节研究散射体的填充率f 分别为20%和40%时，无凸起结构正多边形边数对声子晶体带隙特性的影响.正多边形散射体的边数为奇数时，结构的不对称性和放置角度都会对声子晶体的带隙特性产生较大影响.当正多边形边数为偶数时，晶胞结构随边数变化时对称性差距较小.因此，建立无凸起结构的四边形、六边形、八边形、十二边形及圆形散射体的二维环氧树脂/铝声子晶体模型，当正多边形边数目趋于无穷大时，散射体边界形状等同于圆形.

散射体填充率f 为20%和40%时，声子晶体的能带结构如图2 所示.弹性波在各个方向都无法通过的频段为完全带隙，图2 中阴影部分为完全带隙随正多边形边数变化的示意图.

图2 正n 边型散射体声子晶体能带结构图Fig.2 Band structures of phononic crystals with regular polygon scatter

带隙宽度w 随边数n 的变化情况如图3 所示.由图3（a）可以看出，当填充率f=20%时，带隙宽度w 随正多边形边数n 的增加而递减，且降低速度越来越小，结果趋近于圆形. 由图3（b）可以看出，当填充率f=40%时，带隙宽度w 和中心频率随正多边形边数的增加先有小幅增大，随后开始递减. 以上结果表明无凸起结构的正多边形散射体的边数对带隙特性具有一定影响，即边数的增加一般会使得带隙宽度和中心频率减小，但在填充率较小时这种影响非常微弱.

图3 声子晶体带隙宽度随正n 边形的变化Fig.3 Variation of band gap width of the phononic crystal with regular polygon

2.2 矩形凸起的散射体边界对带隙的影响

2.2.1 矩形凸起的高度h 对带隙的影响

首先，研究矩形凸起的高度h 对声子晶体能带结构的影响.声子晶体填充率f 分别为20%和40%，矩形凸起的单边数目t 固定为10，凸起的高度h 分别为0.005a、0.025a、0.050a、0.075a 和0.100a，高度h 不同时，声子晶体的能带结构如图4 所示.由图4 可以看出，分别在中心频率为0.95 和1.10 附近打开带隙，填充率为40%时中心频率和带隙宽度明显增大.

带隙宽度w 随矩形凸起高度参数h/a 的变化情况如图5 所示.在2 种不同的填充率下，带隙宽度w 随参数h 的增大先增加后减小，且都在h=0.025a 时取到最大值.带隙上限频率初期随h 增大而增加，在h ＞0.025a后开始减少，带隙的下限频率则保持递增.

图4 声子晶体能带结构随矩形凸起高度h 的变化Fig.4 Variation of band structures of phononic crystals withthe rectangular convex height h

图5 声子晶体带隙宽度随几何参数h/a 的变化Fig.5 Variation of band gap width of phononic crystals vary with h/a

2.2.2 矩形凸起数目t 对带隙的影响

矩形凸起高度h 为0.05a，矩形数目t 从3 到20时，声子晶体的能带结构如图6 所示.由图6 可以观察到，带隙同样位于第3 条和第4 条能带之间，此外，凸起数目t 对能带结构的影响小于高度h 的影响，中心频率的变化较小.

图6 声子晶体能带结构随矩形凸起数目t 的变化Fig.6 Variation of band structures of phononic crystals with the number of rectangular convex t

带隙宽度w 随矩形凸起数目t 的变化如图7 所示.由图7 可以看出，当声子晶体填充率f 为20%和40%时，带隙宽度w 随矩形凸起数目t 的增加均逐渐减小，中心频率趋势一致.

2.3 三角形凸起的散射体边界对带隙的影响

2.3.1 三角形凸起高度h 对带隙的影响

首先研究三角形凸起高度h 对声子晶体能带结构的影响.填充率f 为20%和40%，三角形凸起数目t固定为10，矩形高度h 为0.005a、0.025a、0.050a、0.075a和0.100a 时，声子晶体的能带结构如图8 所示.由图8可以看出，填充率较大时中心频率和完全带隙的宽度明显增大.

图7 声子晶体带隙宽度随矩形凸起数目t 的变化Fig.7 Variation of band gap of phononic crystals with the number of rectangular convex t

图8 声子晶体能带结构随三角形凸起高度h 的变化Fig.8 Variation of band structures of phononic crystals with the triangle convex height h

声子晶体的带隙宽度随高度参数h/a 的变化情况如图9 所示.

图9 凸起声子晶体带隙宽度随三角形凸起高度参数h/a 变化Fig.9 Variation of band gap of phononic crystals with h/a

由图9 可以看出，当填充率f 分别为20%和40%时，带隙宽度w 均随参数h/a 的增大先增大，并在h=0.050a 时达到最大值，而后逐渐减小.带隙的上限频率在h=0.050a 时增至最大，随后开始减小，带隙初期的扩宽是因为带隙上限频率的迅速增长，而带隙下限频率则随高度的增加而单调递增.

2.3.2 三角形凸起总数t 对带隙的影响

研究三角形凸起的数目t 对带隙的影响.当三角形凸起的高度h 固定为0.050a，单边凸起数目t 的变化范围为5～20，填充率f 分别为20%和40%时，声子晶体的能带结构如图10 所示，因为带隙宽度的最大值不同，图10 中给出了不同凸起数目下的能带结构图.

带隙宽度w 随三角形凸起数目t 的变化情况如图11 所示.在2 种不同的填充率下，带隙宽度w 随三角形凸起数目t 均先增大后减小，但最大点有所变化，分别出现在t=7 和t = 10 两点，带隙宽度在t = 10 ～20 时，变化较大.中心频率随t 的变化趋势与带隙宽度相同，最大点也分别出现在t=7 和t=10 时.

图10 声子晶体能带结构随三角形数目t 的变化Fig.10 Variation of band structures of phononic crystals with the number of triangle convex

图11 声子晶体带隙宽度随三角形凸起数目t 的变化Fig.11 Variation of band gap of phononic crystals with the number of triangle convex t

带隙宽度随三角形凸起高度h 和数目t 的变化情况如图12 所示.

图12 f=40%时声子晶体带隙宽度随三角形凸起高度h 和数目t 的变化Fig.12 Variation of band gap of phononic crystals with height h and the number of triangle convex t when f =40%

一条带隙的极大值曲线从h=0.015a、t =5 处延伸到h=0.005a、t=30 处，在该条曲线附近，带隙宽度取到极大值，最大带隙宽度为0.390 5.因此，可以通过调节凸起的高度h 和数目t 增大或减小带隙.

2.4 有无凸起结构对带隙影响的对比分析

对比无凸起结构的正多边形散射体以及具有矩形和三角形凸起结构的正方形散射体对带隙的影响，结果如图13 所示，其中f =20%、h = 0.150a 时矩形凸起的带隙关闭没有列出.

图13 凸起结构对带隙影响的对比Fig.13 Comparison with the effect of convex on bandgap

在2 种不同的填充率下，无凸起结构的正多边形散射体的边界形状从正四边形到接近圆形，带隙宽度变化均较小；而在有凸起结构的情况下，在t=10，h=0.050a、0.075a 和0.100a 时，随着矩形凸起高度的变化，带隙宽度的跨度分别为0.036 4 和0.061 0，随着三角形凸起高度的变化，带隙宽度的跨度分别为0.029 6和0.061 1；在h=0.05a、t=5 ～20 时，带隙宽度随着矩形凸起数目的变化跨度分别为0.052 9 和0.071 8，三角形凸起数目的变化跨度分别为0.051 1 和0.064 7.

由图13 可知，有凸起结构正方形散射体对带隙的影响明显大于无凸起结构正多边形散射体的影响，同时矩形和三角形凸起的高度h 对带隙宽度的影响大于其数目t 对带隙宽度的影响.在2 种不同的填充率下，带隙宽度的变化趋势均保持一致，同时在填充率f=40%时，凸起的高度h 和数目t 对带隙的影响较大.