Abel 变换的渐近展开及改进的Gauss-Legendre 算法

季 鹭，王同科

（天津师范大学 数学科学学院，天津300387）

Abel 变换是一种积分变换，常用于分析球对称或轴对称问题.Abel 变换经常与Fourier 变换、Mellin 变换、Hankel 变换以及Radon 变换联系起来，其在物理和工程等领域的应用非常广泛[1-6].

定义[7]设函数f（r），r∈（0，+∞），则f（r）的Abel变换定义为

容易证明当r→+∞时，若（fr）趋于0 的速度大于r-1，则Abel 变换（1）存在，且其逆变换为

为解决实际领域的计算问题，相关学者对Abel变换及其高精度计算进行了大量研究.文献[8]采用三次样条函数近似方法计算Abel 逆变换，将其应用于等离子体研究，该方法计算简便，反演精度高，程序易于实现.文献[9]提出了一种预先确定强度分布的视线投影拟合方法（FLiPPID）计算Abel 逆变换.文献[10]对Abel 逆变换的8 种算法进行比较并分析了每种算法的计算效率，通过Abel 逆变换实现了千兆像素的图像重构.文献[11]通过构造改进的Chebyshev 积分运算矩阵，给出了稳定的Abel 逆变换算法，并用于获得自然界中不同测试剖面的Abel 逆变换图像，即使对于数据中的小采样间隔和高噪声水平，也可以获得较好的精度.文献[12]基于Tikhonov 的正则化思想给出了Abel 变换数值反演的一种新算法，该算法具有精度高且数值稳定等优点.

本文探讨Abel 变换及其逆变换在无穷远点的Puiseux 级数展开式，并给出一种高精度的Gauss-Legendre 积分算法计算它们的离散值.

1 Abel 变换及其逆变换在无穷远点的Puiseux级数展开式

对于包含奇点的函数，在奇点处其Taylor 级数不存在，但是Puiseux 级数可能存在.Puiseux 级数是幂级数的一种推广，其展开式中可以包含负指数幂、分数指数幂和对数因子，Puiseux 级数常用于描述微分方程的解在奇点的性态.函数在某点的Puiseux 级数可以通过符号计算得到.

定理1 在Abel 变换定义中，设f（r）在r=+∞处的Puiseux 级数展开式为

其中：ui、μij为非负整数，则（fr）的Abel 变换F（y）在y=+∞的Puiseux 级数展开式为

其中B（p，q）为beta 函数，其高阶偏导数可用渐近展开方法高效计算[13].

做变换t=x2，则有

将上式代入式（5），即得式（4）成立.

定理2 在Abel 逆变换式（2）中，设F（y）在y=+∞的Puiseux 级数展开式为

做变换t=x2，则有

将上式代入式（8），即得式（7）成立.

注：由级数展开式（4）和式（7）知，当α1＞1 时，（fr）的Abel 变换存在；当β1＞0 时，F（y）的逆变换存在.

定理1 和定理2 给出了Abel 变换在y=+∞的展开式和逆变换在r=+∞的展开式，这些展开式可以用来计算Abel 变换及其逆变换当自变量较大时的近似值，但当自变量变小时计算精度会逐渐降低，需要采用其他方法得到高精度的近似值.

2 Abel 变换的高精度数值积分方法

Abel 变换及其逆变换本身都是无穷限奇异积分，本节设计高效率的数值积分方法计算这些变换在一些点的近似值.由Abel 变换F（y）及其逆变换（fr）的积分表达式可知，被积函数在r=y 或y=r 处弱奇异，下面给出计算弱奇异积分的改进Gauss-Legendre 求积方法.

设函数（ft）在区间（a，b）内充分光滑，且在t=a和t=b 处存在Puiseux 级数展开式

其中：u、ui、v、wi、μi，j和vi，j均为非负整数；αi和βi为实数，满足-1 ＜α1＜α2＜…＜αu，-1＜β1＜β2＜…＜βv.在式（9）中，选择充分大的u 和v，可使余项r（at）和r（bt）在[a，b]上充分光滑.

设（ft）满足式（9），考虑积分

对于区间（0，1）上的任意函数g（t），其q 个节点的Gauss-Legendre 求积公式为

其中σλ＞0 和θλ∈（0，1）（λ=1，2，…，q）分别为Gauss-Legendre 求积公式的权重和节点. 将区间[a，b]划分为n 等份，步长为h=（b-a）/n，节点为ti=a+ih，i=0，1，…，n.由式（11）可得复合Gauss-Legendre 求积公式为

当被积函数（ft）在t=a 和t=b 处均奇异时，其Gauss-Legendre 求积公式的计算精度显著下降.这种情形需要修正Gauss-Legendre 求积公式.

定理3[14]设函数（ft）在t=a 和t=b 处的级数展开式（9）成立，则修正的Gauss-Legendre 求积公式为

式（13）右端项中i=u 和i=v 的2 项之和可以作为其误差主项.

Abel 变换及其逆变换是无穷限积分，需要通过变换将求积区间转换为（0，1）.，由Abel 变换的定义可得

根据Abel 逆变换式（2），设G（y）=F（′y），并令t= yr22，则有

由式（14）和式（15）可知，这2 个变换后的积分在t=0 和t=1 处弱奇异，可以使用前面给出的Gauss-Legendre 算法计算.在应用算法之前，需要被积函数在t=0 和t=1 处的有限项级数渐近展开式，这些展开式可在实际计算时由符号计算软件直接给出，此处不再详述.

3 数值算例

利用Mathematica 软件编写程序，得到（fr）的Abel变换在y=+∞的有限项渐近展开式为

表1 例1 函数的Abel 变换在一些点的计算值及输出误差Tab.1 The calculated values and output errors at some points of Abel transform in Example 1

再使用Gauss-Legendre 求积算法计算，得到该Abel变换在一些点的近似值，表1 给出了某些点F∞（y）的计算值和修正的Gauss-Legendre 方法（GL）的计算值以及GL 输出误差.

例1 中f（r）的Abel 变换的表达式未知，但由表1可以看出，当yi变大时，F∞（yi）和数值积分方法的计算结果非常接近，说明这2 种方法均可行，但数值积分方法的计算量会随yi变大而变大.显然，渐近展开式的方法更方便，但当y 趋于零时，F∞（y）不再有效.

利用Mathematica 程序得到F（y）的Abel 逆变换在r=+∞的有限项渐近展开式为

表2 例2 函数的Abel 逆变换在一些点的计算值及误差Tab.2 The calculated values and errors at some points of Abel inversion in Example 2

由表2 可见，随着r 逐渐增大，渐近展开式误差逐渐减小，当r 趋于0 时，渐近展开式误差变大，此时这种方法不再有效；而Gauss-Legendre 求积算法在整个区间上都具有很高的精度，但当区间变大时，计算量随之增加.

4 结语

本文得到了Abel 变换及其逆变换在无穷远点的Puiseux 级数展开式.这些展开式随着自变量的变大越来越精确.对于自变量较小的情形，构造了一种高精度的数值积分算法，数值算例表明，算法误差大致在10-14～10-20，计算精度可以保证.当然，数值积分算法当自变量较大时仍可得到高精度的计算值，但计算量同时增加.因此，本文算法为Abel 变换的高精度计算提供了一种可行的方法.