投资-超额索赔再保险下破产概率的最小化

曹 琪，王秀莲

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

最优投资与再保险问题是近年来金融数学的研究热点之一，如何通过控制投资和再保险使目标值达到最优一直是相关学者关注的问题.文献[1-2]利用动态规划原则确立了动态再保险策略，分别实现了期望贴现罚金函数的最小化和预期贴现盈余水平的最大化.考虑到保险公司出于盈利目的会选择拿出一部分资产进行投资来增加收入，文献[3]在风险资产和无风险资产的背景下建立模型，研究投资和比例再保险的最优问题，并得到了其显式解和最优策略.在此基础上，文献[4]又进一步假设盈余的扩散渐近模型中的2 个Brown 运动是相关的，以此建立了对应的Hamilton-Jacob-Bellman（HJB）方程，得到了最优投资策略和显式解.非比例索赔再保险的应用也很广泛，文献[5]对隐含风险中性分布在巨灾超额损失再保险的定价问题进行了研究，文献[6]则研究了多重超额损失再保险的破产问题.在经典破产理论中，盈余为0 即认为破产，从实际情况考虑，保险公司的赤字在一定范围内，可以通过向银行贷款等方式来弥补赤字，由此文献[7]提出了实值破产的概念；文献[3-4]则将模型建立在绝对破产的基础上，绝对破产理论定义盈余为负无穷时才会破产；在现实中，当赤字达到一定值时，公司会因资不抵债而不能继续运营，由此文献[8]考虑赤字达到某个负值时即认为破产.

本文基于复合Poisson 风险过程，在超额索赔再保险的基础上加入投资，在Black-Scholes 风险资产和无风险资产的背景下建立模型，利用带漂移的Brown运动模拟盈余过程，以公司盈余达到某个下界M 定义破产，将相应的破产概率作为值函数，建立了最优值函数的HJB 方程，从而得到最优控制策略，并求得最优值函数的显式解.

1 模型描述

2 HJB 方程

3 HJB 方程的解