大概念视角下高中生数学直观想象素养培育的实践研究

【摘 要】 直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，是高中数学学习的重要思想.笔者以“幂函数的定义与图象”为例，在“数形结合”的大概念下探索培育高中生数学直观想象素养.

【关键词】 大概念;直观想象素养;幂函数

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》修订的内容和变化之一是学科核心素养与学科大概念的提出.数学学科有六大核心素养，其中直观想象是数学抽象或数学建模的基础;复杂的逻辑推理或数学运算中，需要用直观想象来理清逻辑推理或数学运算的思路，将复杂问题简单化;在进行数据分析时，将数据图表化，再对数据进行分析和处理.因此直观想象在数学学科核心素养体系中具有重要的地位，它与其他核心素养密不可分[1].在一线教学中笔者发现，高中生存在知识学习碎片化的问题，对知识的理解只停留在表层，较少理解知识背后的逻辑依据、思想方法等. 笔者结合教学实践，以“幂函数的定义与图象”为例，阐述在本节课大概念“数形结合思想”的视角下如何培养学生的直观想象素养.

1 学科大概念对培养高中生数学直观想象素养的意义

1.1 学科大概念的解读

学科大概念是大概念理念在学科体系结构中的特殊表达.不同的学者对大概念有不同的理解，例如：布鲁纳（Bruner.J.S）提出了“一般概念”，奧苏伯尔的“要领概念”，布鲁姆的“基本概念”.其本质就是大概念，总体有三个明显的共识：其一，大概念是抽象概括出来的概念;其二，大概念是联系整合的概念;其三，大概念是更能广泛迁移的概念[2].

数学学科的大概念应该是能反应数学学科的特点，体现数学学科的思想，可以为高中生数学知识的学习和迁移提供方向和思路的概念或思想.笔者认为，围绕学科大概念的教学应使知识系统化、结构化;可将各种具体的事实、经验、事物和概念连接与整合;能促进学习者的持久记忆、深度理解和广泛迁移.

1.2 学科大概念对培养高中生数学直观素养的意义

直观想象在高中数学的其中一个表现是建立数与形的联系，让学生通过高中数学的学习提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力.“数形结合思想”作为本节课的大概念为促进直观想象核心素养的落实提供了新的解决方案.将“数形结合思想”这个学科大概念渗透在教学和课程中，形成透过现象看本质的学科大概念与课程能力，实现真实情境下学科知识的迁移与运用，指向核心素养的深度落实，真正发挥教学的育人功能，力求在课堂教学中落实立德树人的目标.

2 以“幂函数的定义与图象”为例解析直观想象素养的培育

2.1 教材分析及学情分析

本节课是沪教版新教材高一第一学期必修一第四章《幂函数、指数函数与对数函数》的第一课时，主要内容是幂函数的定义与图象.本节课是在上一章的基础上，通过固定等式ab=c中三个量中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义其中一种最基本的、应用较为广泛的幂函数.新教材将幂函数，指数函数与对数函数安排在“一般函数”之前，因此幂函数的地位与作用发生了很大的变化.幂函数作为高中阶段学生接触的第一类具体的初等函数，起到了初高中函数概念的过渡与衔接的作用. 将幂函数作为载体，让学生体会“用函数图象和代数运算的方法研究函数”是研究函数性质的重要方法，为指数函数、对数函数的研究，以及下一章引入一般函数的概念、性质和应用奠定基础.本节从生活中具体实例抽象出幂函数的概念，然后选择三个具有代表性的指数所对应的幂函数，用描点法作出它们的大致图象;再抽象出幂函数在第一象限的图象特征，为下一节用代数方法研究幂函数的性质做铺垫.通过对幂函数的学习引导学生经历由具体实例和初中学习的函数抽象出一般函数的概念，体现了由具体到抽象、由特殊到一般的原则.

本节课的授课对象是高一学生，本班学生虽然大部分的学习态度是端正的，但是学生的数学底子薄，数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全，对函数的学习以及作图产生畏惧感，担心学不好，不会归纳总结，思维比较固定等，这些都可能对本节课的教学产生影响.

2.2 教学目标

1.经历幂函数定义的形成过程，体验从特殊到一般的思想方法，能用准确的数学语言达;

2.经历作出具体的幂函数图象的过程，利用数形结合思想探究幂函数在第一象限的图象的特征;

3.通过本节课的学习可以渗透数形结合的数学思想，培养学生归纳、概括能力，提升学生的数学抽象、直观想象等方面的核心素养，对体会数学的应用价值，将数形结合思想应用到研究其他函数中有重要的作用.

2.3 教学过程

2.3.1 情境建模，引入新课

情境：2020年的春天注定令我们难忘，一场来势汹汹的新冠肺炎疫情打破了庚子年春节的宁静.新冠病毒肆虐的艰难时刻，钟南山院士、无数医务人员、全国各地党员干部、普通群众纷纷走到前线，直面病毒、主动请战;各地防疫物资第一时间运输到武汉并且仅用十几天时间相继建成火神山、雷神山和十几座方舱医院，安置数以万计的病人住院，创造了一个又一个奇迹.假设我们是武汉抗疫保障团队，要准备抗疫场地、设施、物资等，在准备中有如下问题需要同学们思考：

问题1：如果某志愿者参加口罩的生产，每分钟可以生产一只口罩，那么他生产的口罩数y（只）和时间x（分钟）之间有何关系？

问题2：如果新建的方舱医院占地为正方形，且边长为x，那么方舱医院的占地面积y=？

问题3：如果新建隔离室为正方体且棱长为x，那么该隔离室的体积y= ？

问题4：如果方舱医院正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y= ？

问题5：如果防疫物资运送车辆x秒内行进1千米，那么车辆的平均速度y= ？（千米/秒）

师：能否列出这几个函数解析式？

探究1：以上问题中的函数解析式具有什么共同特征？

生2：底数在变，指数不变.

生3：系数为1，形式一样，都是幂的形式.

师：函数解析式具有的共同特征有：①系数为1且是冪的形式;②指数为常数，固定不变;③自变量位于底数位置.

师：同学们总结的非常好，希望同学们的成绩以及获得的知识可以像函数y=x3的图象一样一直上升而且上升的速度很快.图象特征具体的证明我们将在下一节课学习.

设计意图 利用学生的自主探究完成幂函数图象与图象特征的梳理，一方面提高学生参与度，另一方面引导学生学会透过图象研究函数图象特征的方法.注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.让学生体会重要的数学结论往往都是“看”出来的.学生学会“看”图象、从而大胆猜想、深入探索.会“看”需要直观想象素养，建立数与形的联系，以形助数、以数思形，运用数形结合的思想方法，实现形与数的相互转化.

2.3.5 学生参与课堂小结，落实直观想象素养评价

本节课主要讲了哪些内容？用到了哪些数学思想方法？

学生小结：

（1）本节课通过实例自己归纳总结出几个函数解析式所具有的共同特征，然后引入幂函数的定义.

（2）通过例1和例2加深对幂函数的定义内涵和外延的理解.

（3）通过例3和例4学会作幂函数的图象，并通过图象总结幂函数的图象特征.用到数形结合，分类讨论，类比的数学思想.

设计意图 学生小结有利于其整体把握知识点、理解数学思想方法、形成归纳与概括能力.在教师指导下，学生对课堂所学内容的总结是对直观想象素养培育的检测，能有效检验学生是否在一定程度上已将知识转化为技能，让学生成为课堂真正的受益者.

3 结语

大概念是落实数学核心素养的依据.本节课以“数形结合思想”为大概念，对提升学生的直观想象素养发挥了不可替代的作用.学生在今后的学习中，将研究幂函数的方法和思想迁移到研究指数函数，对数函数以及一般函数上，将看似不同的函数，零散的知识串联起来，可以使数学的学习更加系统化、结构化.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李松林.以大概念为核心的整合性教学[J].课程·教材·教法，2020：56-61.

[3] Bruner J S，Lufburrow R A.The Process of Education[M].Harvard University Press，1960.

[4] 余文森.论学科核心素养形成的机制[J].课程·教材·教法，2018，38（1）：4-11.

[5] 李刚，吕立杰.落实学科核心素养：围绕学科大概念的课程转化设计[J].教育发展研究，2020：15-16.

[6] 邵超友，崔允漷.指向核心素养的教学方案设计：大观念的视角[J].全球教育展望，2017，46（6）：11-19.

作者简介 徐利花（1986—），女，硕士研究生，籍贯：山西大同，中教一级，研究方向：数学学科教学研究.