以题根研究促进高中数学样例教学

2021-05-07林巧攀

数学学习与研究 2021年4期

关键词：题根高中数学

林巧攀

【摘要】在高中数学教学中，让学生掌握一定的解题方法，提高学生的解题能力越来越被人们所关注.避免题海战术，激发学生的解题积极性和效率，就必须加强对学生的题根教学，使其掌握高中数学的解题技巧.

【关键词】题根;高中数学;样例教学

【基金项目】

本文是福建省2019年度泉州市基础教育课程教学研究课题《高中数学题根教学实践研究》（编号：QJYKT2019-156）的研究成果之一

前言

与传统应试教育方法不同，通过样例加强对学生的题根教学，是为了更好地让学生学会融会贯通的解题方法.也就是说，当学生掌握一组题目的题根所在之后，学生能够针对这类题目实现举一反三的思考，进而提升解题能力.

高中数学是比较抽象和难懂的学科，但是对于很多数学题来说，它们表面上给出的已知条件虽然有所不同，或者问法相异，但在某种程度上，解题方法却是相同的.所以在日常教学中，如果教师能够抓住那些具有代表性的已知条件，并通过样例解释呈现给学生，那么当学生面对成千上万的数学题目时，便会觉得轻松自如而不是手足无措.如何让学生抓住题根，掌握解题技巧？我们从以下几个方面进行样例阐述.

一、样例教学的概念阐述

样例教学就是教师以典型例题为教学内容，让学生通过解决例题中的各种问题，从而获得一些解决问题的规则、方法的一种教学方式.样例教学是相对于题海战术而言的，它强调的是学生通过对典型例题的学习、研究，可以更多元地掌握必要的知识点，并形成放射性、发散性的知识结构模式.样例教学反对教师在数学教学中采用题海战术，因为这样会让学生疲于做题，从而抹杀了学生对数学知识的学习兴趣和动力.所以样例教学也是对高中生数学学习兴趣的一种保护，它有助于培养学生形成良好的学习习惯，使其通过更加科学的学习方式，掌握高中数学的各类知识点.

二、样例教学的有效策略

（一）从公式中掌握题根

高中数学中关于三角函数的知识占据着重要地位，对于这类題目来说，掌握题根的最有效方式就是掌握三角函数中的两类知一求二.其中一类知一求二是sin α，cos α，tan α.

例题1 已知sin α=0.5，求cos α，tan α的值.

例题2 已知tan α=3.4，求sin α，cos α的值.

此外，在三角函数中还有另外一类知一求二的表达方式，即sin α+cos α，sin αcos α，sin α -cos α等.

例题3 已知sin α+cos α =430<α<π4，求sin α-cos α，sin αcos α及tan α的值.

针对第二类知一求二的题型，我们来做如下解答.

解因为sin α+cos α=430<α<π4，

sin α+cos α2=2sin αcos α+1.

所以sin αcos α=718，

所以sin α-cos α2=1-2sin αcos α=1-79=29.

又因为0<α<π4，所以sin α-cos α=-23，

所以sin α=4-26，cos α=4+26，tan α=9-427.

在求sin α-cos α的值时，教师可以让学生转变思维，不必分别求出sin α和cos α的值，只需要利用所学知识将sin α-cos α的表达方式转换一下即可.如（sin α-cos α）2=1-2sin αcos α，然后将sin αcos α值代入，即可得出（sin α-cos α）2=1-79=29.因为0<α<π4，所以sin α-cos α=-23.

根据以上例题的解答过程，我们不难看出，想要完成此类题型的迅速解答，就必须对有关三角函数的公式做到充分了解并能熟练运用，像sin2α+cos2α=1以及tan α=sin αcos α都是源于公式的题根，学生掌握这些公式题根后，可对题目进行转化进而使解答变得相对容易.对于高中数学科目来说，数学公式成百上千，而每个公式在运用的过程中，都可以衍生出更多的新问题和新知识，因此在教学过程中，教师应该注重对学生举一反三能力的提升，不能盲目地让学生进行多题运算，而是要让学生对一题进行反复思考，找到题根，对公式的变式也要充分掌握.因此，在公式以及变式中寻找解题根源是高中数学教学中比较普遍的题根教学方法.

（二）从方法中掌握题根

高中数学中，很多题目或者题型都有其特定的解题步骤和方法，当学生对这些方法和步骤烂熟于心后，便能在遇到类似数学问题时，将这些方法和步骤熟练地运用到具体的解题过程之中.

例题4 求曲线y=x3-x+3在P（1，3）处的切线方程.

解由题意得y′=3x2-1，

代入x=1，得y′=2，即k=2.

所以2x-1=y-3，

即2x-y+1=0.

所以切线方程是2x-y+1=0.

对于此题来说，教师要让学生在解题过程中抓住关键词，题干中的某处就是关键点，即是切点，所以唯一的答案就是切线.

例题5 求曲线y=x3-x+3过P（1，3）的切线方程.

这道题与前一题看上去大致相同，很多学生由于马虎大意，不注意审题，非常容易造成一开始的思路错误.题干中的关键词是“过”，也就是说此点不一定是切点，即直线未必是唯一的.

解设切点为（x0，x30-x0+3），

则切线方程为y-（x30-x0+3）=（3x20-1）（x-x0），

代入P（1，3），

得3-（x30-x0+3）=（3x20-1）（1-x0），

解得x0=1或x0=-12.

故切點为-12，278或（1，3），

因此切线方程为2x-y+1=0或4y+x-13=0.

通过以上两道类似例题的解答，我们可以总结一下在解题思路和方法上要掌握的题根技巧.在面对这类题时，一是要看清题干，确定所给点是否为切点;二是想办法将切线方程列出;三是将所过的点坐标代入求值;四是求出切线方程.这样的题型是高中数学中非常常见的考点，最重要的是找准关键词，这是典型的方法类题根教学.因此在日常教学中，高中数学教师应该时刻提醒和教授学生掌握这种抓关键信息的方法和能力，使其能找准问题的根源，迅速解题.

（三）从思想中掌握题根

二元函数的最值问题对于高中生来说是难度比较高的题目，而这类题目恰恰经常出现在高中数学的日常作业和考试中.最值问题的形式多种多样，题干中也经常出现各种各样的陷阱，可以说是防不胜防.很多学生在遇到这类题目时经常手足无措.此时，教师要加强在日常教学中的数学思想剖析，将这类数学题目在课堂中讲解透彻，并从各个角度进行分析和解答，而解题思路、具体方向就是解决这类问题的思想题根.如代换、反解、消元、换元都是高中数学中比较常见的思想方法，如果学生能抓住这些关键的解题思想，那么学生在学习高中数学时便不会觉得困难.

例题6 已知log2ab=log4（3a+4b），求a+b的最小值.

根据题干可知a与b都是正数，3a+4b=ab，观察等式，我们可得3b+4a=1.

所以（a+b）3b+4a=3ab+4ba+7≥43+7，当且仅当2b=3a时，取等号.即a+b的最小值为43+7.

针对这种类型的题目，教师必须教授学生抓住解题的思想方法，找到题根，将换元法与基本不等式思想结合着来用.

例题7 已知正实数a和b满足9a2+b2=1，求ab3a+b的最大值.

针对此题，教师可以让学生发挥想象，将a和b看成圆上的点，然后利用三角换元法将问题简化.假设a=13cos β，b=sin β，为了保证a与b均为正实数，我们可以限制β的范围，即令β∈0，π2.

ab3a+b=13×sin βcos βsin β+cos β，

令sin β+cos β=nn∈1，2，

则sin βcos β=n2-12，

所以ab3a+b=16×n2-1n=16n-1n，

因为y=n-1n在n∈1，2上单调递增，所以当n=2时，y取得最大值，为212，即ab3a+b的最大值为212.

这类题型是采取数形结合的思想方法进行解决的，先利用三角换元法将表达式化简，然后进行逐步计算.除此之外，其他最值问题的求解也都需要学生找到题根.辅以教师清晰透彻的例题讲解，相信高中学生一定能在数学学习中取得良好成绩.