高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法

朱美玲

【摘要】微分算子法是求解常系数微分方程的一种方法，本文利用算子性质推导出求高阶常系数非齐次线性微分方程特解的一种方法，并给出三种常见类型的常系数非齐次线性微分方程的具体解法.

【关键词】比较系数法;常微分方程;算子;特解

常微分方程在当代数学中是极其重要的一个分支，实用价值很高.微分方程在运动学、动力学、电子技术等学科中具有十分广泛的应用，比如电子装置的设计、自动控制系统的开发、弹道轨迹的计算及飞机、导弹等飞行稳定性的研究等.这些问题通过建立数学模型都可以转化为常微分方程的解，或者研究其解的性质问题.虽然常微分方程的应用已经取得了很大进展，但还有许多方面有待进一步研究，其中常微分方程的解法就是其中的一个方面.单从数学教学方面来讲，常微分方程的求解是高等数学中的难点和重点之一，其中求解常系数非齐次线性微分方程的特解又是线性微分方程理论的重要组成部分.高等数学教学中求高阶常系数非齐次线性微分方程的特解的常用方法是比较系数法，即先设出原方程的特解，然后再代入原方程，最后通过比较方程两端同类项的系数，从而求得特解.因为求解过程中涉及求导计算和解方程组的运算，所以求解过程比较复杂，计算比较繁琐，容易出错.但用拉普拉斯变换或傅立叶变换求特解需要大量的复变函数的知识，对于初学者来说又有一定的难度.因此本文从微分算子的概念出发，结合微分算子的性质，给出了用微分算子法求几类微分方程的特解的方法，通过将微分算子法与比较系数法对比可知，微分算子法没有繁琐的求导解方程的过程，计算比较简洁，易于学生掌握.

四、总结

常微分方程在许多领域都具有广泛的应用，对常微分方程解法的学习及研究对教学和实际应用都有很大的价值.本文从微分算子概念出发，结合微分算子的性质，给出了用微分算子法求几类微分方程的特解，与比较系数法相比，微分算子法没有繁琐的求导解方程的过程，计算比较简洁，相对于拉普拉斯变换，微分算子法易于理解和掌握，对于高职高专一些应用性较强的专业的学生来说，这种方法既简便又实用，当然它也有一定的适用范围，对于其他解法还需要更深一步的研究.

【参考文献】

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