在一般观念引领下探索空间几何图形的性质(续)——“立体几何初步”内容分析与教学思考

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

3.3 空间直线、平面的平行关系

1.空间中直线与直线的平行

平面几何中已经研究过平行线，立体几何中继续研究什么？

首先是将平面几何中关于平行的结论推广到空间，得到“基本事实4”.也就是说，平行关系的传递性在空间仍然成立.

利用基本事实4，可以将“等角定理”推广到空间(如图2)，其证明也是利用平行的传递性，通过构造全等三角形而得.

图2

类比平面几何中平行线的性质与判定，可以得到空间中直线、平面平行的一些性质和判定，这是后话.

2.直线、平面的平行关系

这里要研究直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理、性质定理，判定定理、性质定理分别给出了直线、平面平行关系的充分条件和必要条件.

(1)直线、平面平行的判定定理

有了定义为什么还要研究判定定理呢？这里我们要区分一下定义的对象.如果定义的对象是一类几何图形(例如三角形、圆、棱柱、圆锥、球等等)，那么定义给出的条件一定是充要条件，只有这样才能做到简洁、正确，并且可以利用定义精确区分此类对象和他类对象.而定义的对象如果是一种几何关系，那么定义所给出的条件有时是有“多余”的.例如“全等三角形”的定义要求两个三角形的所有元素都对应相等，但实际上只要有三组对应元素(其中至少有一组是边)相等即可；直线与平面平行的定义要求直线与平面没有公共点，但实际上只要直线与平面内的一条直线平行即可；直线与平面垂直的定义要求直线与平面内的所有直线都垂直；等等.总之，研究判定定理就是要在定义的基础上去掉“多余条件”而得出充分条件，从而使条件更加具体、更有针对性，在面对问题时能直接匹配条件，不要“拐弯抹角”.

研究判定定理的基本思路是将新问题化归为已知的，利用熟悉的工具、方法进行研究.对于平行关系的判定，就是利用平行关系的可传递性，将直线a∥平面α，转化为直线a∥直线b，b⊂α.其实这里仍然利用了共面直线的平行：如图3，从公理的推论可知，由a，b确定的平面β与α的唯一交线是b，a与b没有交点就能保证a与α没有公共点.否则，如果a∩α=A，则A∉b.在α内，过A可作直线c∥b，这样就有a，c都与b平行，且a∩c=A?，这是不可能的.这里引出矛盾的依据是“平行公理”，这个过程充分体现出直观想象、逻辑推理的作用.

图3

两个平面平行的判定定理可以这么来思考：根据“两条相交直线确定一个平面”，可以猜想“a，b⊂α，a∩b=A?，a∥β，b∥β”就是α∥β的充分条件.否则，如果α∩β=c，那么由a∥β，b∥β就有c∥a，c∥b，这就意味着过点A可以作两条直线a，b平行于c.

以上过程，在研究判定定理时，都是沿着基本图形位置关系的逻辑链条不断地“往回找根子”，“回到公理去”.这个过程充满着直观想象、逻辑推理等，也是充满创造性的，而且是有套路的.新修订的人教A版在利用这个套路构建发现和提出判定定理的过程上作出了较多的努力.事实上，这个套路也是“单元-课时”设计的主线，抓住它就使课堂教学有了贯穿始终的思想灵魂，核心素养的培养就自然而然.老师们应该学会利用这些“简单”的问题，培养学生的理性思维.

(2)直线、平面平行的性质定理

性质定理是更加重要的，性质定理的研究是有套路的.

一般的，空间直线、平面位置关系的性质定理要研究的问题是什么呢？

把空间基本图形位置关系的性质放在一起进行共性分析，可以看到，它们是以直线、平面的某种位置关系(例如a∥α)为大前提，研究a，α与空间中其他直线、平面有什么确定的关系.

具体的，直线与平面平行的性质所研究的问题是：

以直线a∥平面α为条件，研究直线a、平面α与空间中其他直线、平面所形成的确定的关系.简言之，空间元素与直线a、平面α之间确定的关系(平行、垂直)就是性质.

设b是不在α内的一条直线，按照上述思路可以得到猜想：

如果b∥a(小前提)，那么b∥α；

如果b∥α(小前提)，那么b∥a；

如果b⊥a(小前提)，那么b⊥α；

如果b⊥α(小前提)，那么b⊥a.

设β是不同于α的一个平面，可以得到猜想：

如果β∥a(小前提)，那么β∥α；

如果β∥α(小前提)，那么β∥a；

如果β⊥a(小前提)，那么β⊥α；

如果β⊥α(小前提)，那么β⊥a.

也许有人认为，还没有到平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，这里的猜想不是有点“乱”吗？其实，真正的猜想从来都是“乱”的，教材内容的“顺”是后来整理出来的.在以“领悟基本思想，积累活动经验，提高发现和提出问题能力”为追求的教学中，一定有一个从“乱”到“顺”的过程的.

我们还可以通过知识之间的联系得出其他猜想.例如：

与“公理”相联系，直线a与平面α内任意一点A确定一个平面β，α∩β=b，那么b∥a；

因为a∥α，所以a∩α=Φ，如果m在α内，则或者m∥l，或者m与l是异面直线；

l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2；等等.

对内容的如此理解，可以让学生明白“性质定理是如何发现的”.实际上，“以直线a∥平面α为前提，研究空间基本图形与a，α之间的相互关系”就是“一般观念”，在它的引导下，可以创设适当的问题系列，启发和帮助学生进行自主探究与发现.

有了探索直线与平面平行性质的经验，学生就可以通过类比，自主探索平面与平面平行的性质.因为两者的可类比性较强，所以教学中应该放手让学生自己去探索.

为此，人教A版构建了如下情境与问题，引导学生开展系列化探究活动([2],p.141)：

首先指出，“研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论.根据已有的研究经验，我们先探究一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系.”

然后借助长方体，引导学生分析位于两个相对面内的直线之间的关系，得出“或者平行，或者异面”的结论，再进一步提出“分别在两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？”从而明确研究任务.

接着采用分析法，得出“两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条直线平行”，并给出证明.

最后提出问题：“如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交，以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？”

实际上，最后这个问题就是类比直线与平面平行的性质提出来的，具有广阔的探索空间，实质是以两个平面平行为前提，探索这两个平面与空间其他直线、平面的位置关系.例如，以平面α∥β为大前提，a是空间的一条直线，且a∉α，a∉β，我们有：

如果a与α相交，那么也与β相交，且a与α，β的交角相等；特别的，若a⊥α，则a⊥β.

如果a∥α，那么a∥β.

同样的，设γ是一个平面，我们有：

如果γ与α相交，那么γ也与β相交，且所成的二面角相等；特别的，若γ⊥α，则γ⊥β.

如果γ∥α，那么γ∥β.

以上猜想很容易获得，以长方体为模型进行观察就更加容易.让学生自主探索、猜想结论并给出证明，这样不仅可以激发学生的学习热情，形成完整的直线与平面平行、平面与平面平行的知识结构，而且还可以使学生从中体会“如何有逻辑地思考”、“如何探究”、“如何发现”等等，这比盲目地让学生大量做题效果会好很多.

3.4 直线、平面的垂直关系

整体而言，直线、平面的垂直关系与平行关系在研究的内容、路径以及思想方法等方面都是差不多的，而且空间的平行与垂直是可以相互转化的，不过在一些具体问题的处理上也有其自身特定.

1.关于直线、平面垂直关系的定义

这里我们要提出的问题是：直线与直线、直线与平面、平面与平面相互垂直的定义有什么异同？

(1)直线与直线垂直的定义

对于两条相交线，平面几何中是先定义它们所成的角，然后以所成角为90°时定义它们相互垂直.对于两条异面直线所成角，我们通过平移，将异面转化为共面，再以相交线所成角定义异面直线所成角.这样定义具有完备性、纯粹性，因为我们是在空间任选一点O，过O分别作两条异面直线的平行线，所得角的大小不变性由等角定理来保证.

总之，对于两条直线的位置关系，我们先定义“所成角”，再定义“垂直”.有了异面直线所成角，再加上异面直线的距离(这个问题将在空间向量与立体几何中讨论)，那么空间中两条异面直线的位置关系就完全确定了.

(2)直线与平面垂直的定义

研究直线与平面相交，原始问题是如何定义直线与平面所成的角，基本思路是转化为直线与平面内的直线所成角.这时遇到的问题是到底选平面内的哪条直线才能满足纯粹性和完备性呢？教学时可以把这个问题提出来(甚至可以先提出“你认为该如何定义直线与平面所成角？”待学生说出“转化为直线与平面内的直线所成角”以后，再提出这个问题让学生思考).

我们可以利用信息技术引导学生思考：如图4，平面α与其斜线a交于点O，直线a上的点A在平面内的射影是A′，则OA′是a在α内的射影.过O在α内任作直线b，让b在α内绕O转动，并测量b与a所成角的大小.可以发现，a与OA′所成的角是唯一存在的最小角.所以，利用直线a与其在平面α内的射影OA′所成的角定义a与α所成角具有完备性和纯粹性.因为作一条直线在一个平面内的射影要借助平面的垂线，所以需要先定义直线与平面垂直.

图4

所以，与定义两条直线的位置关系的方法不同，直线与平面的位置关系是先定义直线与平面垂直，再定义直线与平面所成的角.正因为如此，直线与平面垂直的概念要比直线与直线垂直难学.

(3)平面与平面垂直的定义

最后分析两个平面所成二面角的定义.定义二面角的大小需要考虑哪些问题？像其他度量问题一样，①要考虑存在性和唯一性；②把二面角的问题转化为平面角的问题；③还要界定好在什么范围取值.

可以想象，二面角的棱、两个半平面，就像平面角的顶点和两边；过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，用等角定理容易证明，所得平面角的大小与点的位置无关，所以这样定义的二面角具有纯粹性、完备性.在此基础上进一步定义两个平面相互垂直，即当两个相交平面所成的二面角是直二面角时，它们互相垂直.

总之，关于各种角的定义方式，其数学思想是一致的，都是要保证完备性和纯粹性.不过，直线与直线所成角、平面与平面所成角是同类元素所成角，直线与平面所成角是两类不同元素所成角，所以它们的定义路径是不同的.因为学生从相交线的学习开始，已经历多次定义直线、平面所成角的过程，所以教学时应注意为学生创造自主学习的机会，让他们尝试自己给出定义，从中领悟数学的思维方式.

2.直线、平面垂直关系的判定

这里可以提出的问题仍然是：“判定”要研究的问题是什么？发现判定定理的思想方法是什么？要让学生思考并明确：研究的问题是直线、平面垂直关系的充分条件，所采用的思想方法是从定义出发探究垂直关系所需要的“最少条件”，这对发展学生的理性思维、提升逻辑推理和直观想象素养都是非常有好处的.

(1)直线与平面垂直的判定

直线与平面的关系是维数不同的两类基本图形的关系，是联系维数相同的两类基本图形的桥梁，所以是非常重要的.

首先我们分析直线与平面垂直的问题.回顾直线与平面垂直的判定定理的探索过程，可以发现，其关键有如下几点：

第一，将直线a与平面α垂直转化为直线a与平面α内的直线垂直；

第二，利用空间直线与直线垂直的定义；

第三，利用平面的基本性质及其推论(确定一个平面的条件)；

第四，现实生活中，利用这个判定定理解决问题的例子很多，这些例子可以帮助学生形成确认定理正确性的直观基础.

分析直线与平面垂直的判定定理，可以看到，定理中充分条件涉及的“平面内的两条相交直线”实际上就是确定一个平面的充分条件.另外，两条平行线也是确定一个平面的充分条件，为什么不能把判定定理中的“相交”改为“平行”？

从向量的观点看，不共线的两个向量成为平面的一个基底.设直线a的方向向量为a，又设直线b，c是平面α内的两条相交直线，它们的方向向量分别为e1，e2，且a⊥b，a⊥c，则e1，e2不共线且a·e1=a·e2=0.对于平面α内的任意一条直线l，设其方向向量为e，根据向量基本定理，存在唯一一对实数k1，k2，使e=k1e1+k2e2.于是a·e=a·(k1e1+k2e2)=k1(a·e1) +k2(a·e2)=0，即a⊥l.如果b∥c，那么e1∥e2，两个平行向量不能成为基底，也就推不出a⊥l.

因为位置关系归根到底是“方向的关系”，所以用向量的观点看基本图形的位置关系是最清楚的.平行线的方向是一致的，所以平行关系具有传递性，所以与方向相关的问题中，平行线与一条直线等效.

(2)两个平面互相垂直的判定

我们要问的仍然是：探索平面与平面垂直判定定理的指导思想是什么？

结合已有的经验可以发现，这里有三个要点：

①两个平面相互垂直的定义；

②将平面与平面垂直转化为直线与平面垂直；

③用向量的眼光看，因为一个点和一个方向(法向量)可以确定唯一一个平面，两个平面相互垂直等价于两个平面的法向量相互垂直.

在这里展开具体探究时，除了加强直观感知外，还可以引导学生“从定义出发研究判定”.例如，如图5，设α∩β=a，根据二面角的平面角定义，在a上取一点O，过O在α，β内分别作直线b，c⊥a，则b，c所成的角就是α，β所成二面角的平面角.这时，如果b⊥c，则b⊥β(直线与平面垂直的判定)，并且有α⊥β(两个平面垂直的定义)；同时，如果b⊥β，则b⊥c，于是α⊥β.也就是说，如果α过β的一条垂线b，那么α⊥β.

图5

3.直线、平面垂直关系的性质

(1)直线与平面垂直的性质

对于直线与平面垂直的性质，可以类比直线与平面平行的性质来提出问题和发现性质.这里要研究的问题是：

以a⊥α为大前提，研究a，α与空间中的直线、平面具有怎样的确定关系，并且是以空间中的平行、垂直关系为主题.例如

对于α外的直线b：①当b∥a时，是否有b⊥α？②当b∥α时，是否有b⊥a；③当b⊥a时，是否有b∥α？④当b⊥α时，是否有b∥a？

可以证明，上述命题都是成立的.其中④就是教材中给出的性质“同时垂直于一个平面的两条直线互相平行”.

对于平面β：①当β∥a时，是否有β⊥α？②当β∥α时，是否有β⊥a；③当β⊥a时，是否有β∥α？④当β⊥α时，是否有β∥a？

……

通过这样的系统思考和探索，学生可以非常深切地感受到空间中的平行和垂直关系之间的内在联系，它们可以相互转化.实际上，这些关系正是欧氏空间的平直性和对称性的内在联系的体现.

(2)平面与平面垂直的性质

一脉相承地，平面与平面垂直的性质所研究的问题是：

以α⊥β为大前提，研究α，β与空间中的直线、平面具有怎样的确定关系.例如

对于直线a：①当a∥α时，是否有a⊥β？②当a⊥α时，是否有a∥β？

对于平面γ：①当γ∥α时，是否有γ⊥β？②当γ⊥α时，是否有γ∥β？

……

在探索两个平面垂直的性质时，因为这两个平面的交线是两个平面的公共直线，具有特殊的地位，所以要关注交线这个桥梁，可以从两个平面内的直线与交线的位置关系入手展开探索.如图6所示，可以得到：

平面α⊥β，a为它们的交线，那么平面α内的直线b与β有两种关系——相交或平行.b与a所成的角就是b与β所成的角(图6(1))；b⊥a时，b⊥β(图6(2)).

图6

如果平面α⊥β，a为它们的交线，平面α内的任意一点A在平面β内的射影B都在a上.这时，直线AB在平面α内，且AB⊥β.

以上实际上是以两个平面互相垂直为前提，以它们的交线为桥梁，讨论其中一个平面内的几何元素(直线、点)与另一个平面的位置关系.在此基础上，人教A版提出：“对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？”([2]，p.160)在这个问题的引导下，学生可以展开广泛的探究，得出许多猜想，而且通过这个问题的探究，可以把直线、平面位置关系的许多性质进行再组织，使之形成一个具有逻辑性的、内在关联很强的“直线、平面位置关系的性质体系”.

3.5 小结

回顾对空间中点、直线、平面位置关系的研究过程，我们发现，无论是平行关系还是垂直关系，其研究的内容、思路和方法都有极大的相似性.其中，一般观念“几何元素之间的确定关系就是性质”在探索性质的过程中具有“指路人”作用.正所谓“研究对象在变，‘研究套路’不变，思想方法不变”，这样的研究思路、方法等就体现了基本思想、基本活动经验的力量.所以，如果我们能在直线、平面位置关系的教学中让学生明白知识中蕴含的这些思想、方法，那么就会使学习变得比较容易，学生对立体几何建立起的整体架构也就非常清楚了.

4 教学建议

1.加强与平面几何的类比与联系，按研究一个几何对象的基本套路展开有序研究

平面几何不仅为立体几何的研究做好了知识的铺垫，也做好了思想与方法的准备.所以，立体几何的教学应该让学生类比平面图形的研究，建立空间基本图形的研究框架，发现值得研究的问题，找到研究的方法；类比相交线与平行线的研究，得到基本图形位置关系的研究内容、过程与方法；等等.

2.在一般观念指导下展开研究

为了在课堂中有效落实数学学科核心素养，必须提高教学的品味，其中一个关键举措就是要加强一般观念的指导，因为这些一般观念可以给人以发现的眼光、洞察本质的智慧、用数学分析和解决问题的思想方法.这里我们可以列举一些与一般观念相关的问题：

(1)“认识空间几何体”的基本任务是什么？

基本任务是：从基本立体图形到组合体，主要是对基本立体图形进行分类.

(2)分类的方法是什么？如何确定分类的标准？

分类方法：属+种差，“种差”就是分类标准，从组成元素的形状、相互关系中来确定.

(3)什么叫“基本立体图形的结构特征”？

结构特征是图形的最本质特征，也是最基本的性质，从组成元素的形状及其相互关系来反映.

(4)如何抽象一类几何图形的结构特征？定义一类几何图形要完成哪几件事情？

定义一类几何图形要完成的事情是“定义——表示——分类”.要按照认识事物的一般规律，通过对具体实例的组成元素及其相互关系的观察、分析，归纳出共性，再概括到一般去而形成一类几何图形的定义，在此基础上给出“三种语言”进行表示.最后以“特殊的组成元素”、“特殊的位置关系”入手对这类几何图形进行更细致的分类.

(5)如何定义基本图形的位置关系？定义一种位置关系要完成哪几件事情？

(6)对于直线、平面的平行或垂直，判定定理所研究的问题是什么？性质定理所研究的问题又是什么？等等.

这些“观念”层面的东西，不仅对获得数学知识的实质性理解、落实“四基”、“四能”很重要，对转变教的方式、学的方式也很重要，而且也是发展学生数学学科核心素养的沃土.课堂中注意以此为指导，可以提高教学的深刻性，把引导学生自主探究与发现、提高学习的主动性和积极性、激发学生的学习兴趣等都落实到位.

推进高中育人方式的改革，关键是要加强综合实践活动.日常教学中，就是要以学习内容为载体，体现好启发性、探究性、实践性，给学生以自主创新实践的机会，这就需要教师通过有数学含金量的问题，帮助学生实现“从知其然到知其所以然，再到何由以知其所以然”的跨越.其中，一般观念的思维引领作用是非常重要的.

3.关于基本立体图形的教学

首先，本单元的教学任务是对基本立体图形进行分类、用斜二测法作图和有关表面积、体积的公式，这里不要求在定义的基础上研究性质，相关的内容作为例题、习题，或者在后面利用空间向量进行研究.

这里要重视“如何描述几何体结构特征”的教学，使学生学会用数学的眼光观察世界.因为对任何几何体结构特征的研究套路都是一样的，所以可以先以棱柱为载体，把研究的整体架构、抽象的过程和方法、定义的方法等搞清楚，形成系统而有逻辑的认识，然后其他几何体的结构特征可以放手让学生自学.

还有一点需要再次强调：一定要重视画图，通过画图培养学生的空间观念，发展学生的直观想象素养.

基本立体图形的表面积、体积的计算公式建立在掌握它们的结构特征的基础上，教学时应该让学生明确这一点.

4.关于空间基本图形的教学

高中数学课程中，像本单元这样明确体现公理化思想的内容并不多，所以这里要利用好这个素材进行公理化思想教学.具体展开教学时，要注意如下几点：

(1)四个基本事实、三个推论和等角定理处于立体几何的最基础位置，数学味道很浓，可以使学生体验数学地刻画一个基本对象的方式，但也是非常难的地方，所以要在“如何定义”上加强讲解和引导，努力使他们体会“利用图形组成元素的相互关系刻画图形的特征”的手法.为了加强理解，可以联系向量基本定理等进行解释.

(2)直线与平面的平行、垂直的教学，要注意整体架构，包括“直线与直线——直线与平面——平面与平面”的路径，以及每一种位置关系的研究套路.判定定理、性质定理的教学中，要让学生明白：要研究的问题是什么？研究思路是什么？定理所蕴含的数学思想和方法是什么？要关注三类位置关系之间的关联、空间中平行与垂直关系的相互转化，以及直线与平面位置关系的纽带作用.

这里应采用“单元整体教学”的思路.在学习“平面的基本性质”和“点、直线、平面的位置关系”后，以直线与平面平行的定义、判定和性质为载体，帮助学生建立研究直线、平面位置关系的“整体架构”，并体会研究过程中的“一般观念”.在此基础上，将平面与平面平行、直线与平面垂直及平面与平面垂直作为三个子单元，让学生展开自主探究性学习，把“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”体现出来.

(3)要强调作图的重要性.立体几何教学要培养学生根据题意先想象、再作图，在作图的基础上再论证的习惯.想象的过程中，要让图形“动起来”，这个过程是发展直观想象的契机.在平面上作立体图形，让学生动手作图可以增强直观想象的效果，可以培养几何直观能力.在作图和直观想象的过程中，可以使图形组成元素之间的相互关系清晰化，为推理论证提供思路.

5.强调长方体、正四面体、正方体等典型图形的模型作用

典型图形具有模型的作用，在解决立体几何问题时可以成为分析几何元素相互关系的直观载体.其中，长方体是理解直线、平面的位置关系的最简单、好用的载体，长方体的棱、各种对角线、表面、截面等把空间基本图形的所有位置关系都包含在内了.借助长方体，可以帮助学生直观理解判定定理、性质定理.在许多问题中，将相应的条件放到长方体的背景中(长方体作为衬托)，可以增强直观性，有利于发现问题中相关元素之间关系，从而找到解决问题的思路；等等.

6.加强与信息技术的融合

立体几何教学必须使用信息技术.例如，利用信息技术工具画出长方体，通过动态演示，观察其结构特征，观察其中的点、直线、平面的位置关系；在长方体的棱上取某些特殊点，连接出一些直线段、截面，探索它们与长方体的棱、面之间的关系；通过动态演示，进行多角度观察，发现一些隐藏的直线、平面的位置关系；等等.总之，信息技术在立体几何的研究中具有重要作用，非常有利于培养学生的直观想象素养.(续完)