基于T-S模型的时变时滞丢包网络控制系统H∞鲁棒控制

肖连军，张鸿恺

(1.合肥学院 人工智能与大数据学院，合肥 2306012.安徽建筑大学 电子与信息工程学院，合肥 230601)

0 引 言

随着网络控制系统(NCS)被越来越多的应用在机器人控制、智能制造等领域中，关于NCS的研究已引起了众多学者的关注。[1-4]文献[2]对变时滞离散系统的鲁棒预见控制问题进行了研究。文献[3]研究了一类具有不同丢包概率，并且状态时滞随线性参数变化的离散系统H∞控制问题。文献[4]研究了具有随机时变网络诱导时滞的NCSs鲁棒稳定性与镇定问题。

自T-S模糊模型被提出以来[5]，大量的学者开始使用T-S模型研究非线性系统。[5-9]文献[6]基于一类T-S模型构造的非线性时滞系统研究，设计了基于前提不匹配策略的模糊状态反馈控制器。文献[7]和文献[8]分别对一类非线性模糊时变时滞NCSs的鲁棒稳定性问题和非脆弱鲁棒H∞控制问题进行了研究。

针对于此，本文考虑一类T-S模型构造的具有扰动信号、时滞和丢包NCSs，研究其模糊H∞鲁棒控制问题。将描述具有时变时滞和丢包特性的NCSs模型离散化，通过构造Lyapunov函数，结合LMI方法，提出模糊H∞鲁棒控制器的设计方法。

1 问题描述

本文研究的NCS结构如图1所示。其中，τsc为传感器到控制器的时滞，τca为控制器到执行器的时滞，τc为控制器计算时间。令τ = τsc + τc + τca。如果丢包发生在系统前向通道末端，满足已知概率的Bernoulli随机序列。进一步可得控制器状态：

(1)

其中，α(k)是一个取值为0或1的Bernoulli随机序列，满足如下概率分布：

(2)

当α(k)=1时，表示数据传输成功；当α(k)=0时，数据包全部丢失。α已知，0≤α≤1。

图1 NCS的基本结构

考虑一类由模糊T-S模型描述的时滞丢包NCSs，其第i条模糊规则为：

Ri: Ifθ1(t)isμi1and … andθq(t) isμiq, then

(3)

其中：Ri为模糊模型的第i条规则，m为规则数目，μij为模糊集合，θ1(t),…,θq(t)为系统前件变量；x、y、w、u分别为维度不同的系统状态、控制输出、外部干扰和控制输入变量；Ai,Bi,Ci,Li是已知的适当维数矩阵。

本文NCS系统满足以下条件：

(i)变时滞τ存在信息传输过程中，且τ∈[0,T]，T为采样周期；

(ii) 控制器和执行器是事件驱动，传感器是时间驱动。

对系统(3)进行离散化，可得到其NCS离散状态空间表达式如下：

Ri: Ifθ1(k)isμi1and … andθq(k) isμiq, then

(4)

(5)

其中，

选取βij使得λij(T-τ-βij)≤0，从而有

FiT(τ)Fi(τ)≤I

(6)

采用单点模糊产生器、乘积推理机以及中心模糊消除器，系统(4)可表示为：

(7)

考虑模糊控制器如下：

系统(7)全局控制律为：

(8)

则闭环系统为

(9)

本文的目的是针对系统(9)，设计控制器(8)满足：

(i)当外部扰动不存在时，研究对象(9)是均方意义下指数稳定的闭环系统；

引理1[10]∀x(k)≠0，如果存在ρ≥0和0<ζ<1，使得E{‖x(k)‖2}<ρζkE{‖x(0)‖2}，则研究对象(9)是均方意义下指数稳定的闭环系统。

引理2[10]对Lyaponuv的函数Vx(k))，若有τ>0，μ>0，λ≥0和0<φ<1，使得τ‖x(k)‖2≤V(xk))≤μ‖x(k)‖2，E{V(x(k+1))|x(k)}-V(x(k))<λ-φV(x(k))成立，那么有

引理3 已知D、E、F为适当维数矩阵，且FΤF≤I，则存在任意正数ε，使得DFE+EΤFΤDΤ≤ εDDΤ+ε-1EΤE。

2 主要结果

定理1 对系统(9)，如果存在正定矩阵P，Q和实矩阵Ki，满足：

Πii<0，i=1,2,…,m

(10)

Πir+Πri<0，i

(11)

ψir=(Hi1-DiFi(τ)Ei)Kr，ξir=(Hi0+DiFi(τ)Ei)Kr。

证明构造Lyapunov函数如下V(x(k))=xΤ(k)Px(k)+xΤ(k-1)Qx(k-1)，可得：

因为E[α(k)-α]=0，E[(α(k)-α)2]=β2，当w(k)=0时，可得

根据矩阵的schur引理，由不等式(10)、(11)可知E{V(x(k+1))|x(k)}-V(x(k))<0，所以E{V(x(k+1))|x(k)}-V(x(k))=ζT(k)Θζ(k)≤-λmin(-Θ)ζT(k)ζ(k)<-δζT(k)ζ(k)

取μ=max{λmax(P),λmax(Q)}，则有0<δ≤μ，可得

根据引理1和引理2可得，系统(9)是均方意义下指数稳定的。

当w(k) ≠0时，由不等式(10)、(11)可得

证毕。

定理2 对系统(9)，给定正常数γ，若存在对称正定矩阵X，U和矩阵Wi，Ti，以及正常数εir，满足：

ηii<0，i=1,2,…,m

(12)

ηir+ηri<0，i

(13)

则闭环系统(9)是均方意义下指数稳定的，并具有H∞范数上界γ。

其中，

证明：利用引理3及矩阵的Schur补性质，式(10)等价于

(14)

将(14)式分别左乘和右乘矩阵diag(I,I,βI,I,P-1,Q-1,I)，并记X=P-1，U=Q-1，Ti=KiU，Wi=KiX，多次使用矩阵的Schur补性质，可化为式(12)。

同理可证得 (13)式。

3 数值算例

考虑如下模糊非线性双时滞离散不确定系统：

R1：Ifθ1(t)isM1(maximum)，Then

R2：Ifθ2(t) isM2(minimum)，Then

模糊隶属度函数满足M1=1-M2。式中系数

选择采样周期T= 0.1，对系统进行离散化，得到新的状态方程对应参数为

取ε11=ε12=ε21=ε22=1,γ=1，通过采用LMI工具箱求解式(12)、(13)可得

T1=[2.8076 -2.7920],

T2=[2.8080 -2.7924],W1=[1.5025 -1.4680],W2=[1.5027 -1.4682]。

系统的模糊H∞控制器K1=[1.4582 -1.4838]，K2=[1.4854 -1.4840]。

4 结 论

对于具有变时滞和丢包的T-S模糊NCS，研究了其模糊H∞鲁棒控制问题。假设丢包发生在系统前向通道末端，满足已知概率的Bernoulli随机序列分布。通过构造Lyapunov函数，结合LMI方法，证明了研究对象是均方意义下指数稳定的闭环系统，给出H∞鲁棒控制器存在条件。利用矩阵的Schur补性质，设计了模糊H∞鲁棒控制器，并以LMI形式表示。最后通过数值算例进行校验，仿真结果表明对于变时滞丢包网络控制系统模型，给定正常数γ，按照本文提出的算法，计算可得系统的模糊H∞控制器，从而证明该闭环系统是均方意义下指数稳定，并具有H∞范数上界。