基于线性矩阵不等式的Acrobot鲁棒镇定控制

潘昌忠　徐城涛　周少武

摘要：针对欠驱动机器人Acrobot，提出一种基于线性矩阵不等式的鲁棒镇定控制方法。通过将Acrobot在垂直向上不稳定平衡点附近的第一杆角速度看作一种不确定性，得到Acrobot的不确定模型，在此基础上设计一种基于线性矩阵不等式的鲁棒镇定状态反馈控制律，实现Acrobot较大范围的平衡控制。仿真和对比结果验证了方法的有效性和优越性。

关键词：Acrobot；平衡控制；鲁棒控制；线性矩阵不等式

中图分类号：TP24文献标识码：A

Abstract：A robust stabilization control approach was proposed for an underactuated robot called acrobot based on linear matrix inequality （LMI）. An uncertain model of acrobot was first obtained by treating the velocity of the first link around the upright equilibrium as an uncertainty. And then a robust stabilizing state feedback control law was designed based on LMI technique， which achieves a large balancing region. Simulation and comparison results demonstrate the effectiveness and advantages of the proposed approach.

Key words：acrobot；balancing control；robust control； LMI

1引言

Acrobot是一种在垂直平面上运动的欠驱动两连杆机器人[1]。这种机器人由于在肘部关节减少了驱动装置，使得系统在重量、成本及能耗等方面具有很大的优势；同时驱动装置的减少也使得机器人的动力学模型受到二阶的非完整条件约束，因此要对其进行控制设计具有很大的难度[2，3]。

近十年来，为实现Acrobot在垂直向上平衡点处的稳定控制目标，学者们进行了深入研究，提出了多种控制方法。文献[4]提出了一种基于IDA-PBC方法；文献[5]提出了一种基于倒转思想的控制设计方法；文献[6]通过模型变换提出了一种基于等价输入干扰的控制方法；文献[7]也利用模型变换提出了一种反步控制设计方法；文献[8]考虑外部干扰，提出了一种滑模控制方法。这些方法虽然都采用单一的控制器实现了Acrobot的稳定控制，但是动态控制性能并不理想，所需控制力矩非常大，难以用于工程实际。

分区的控制策略可以提高Acrobot的控制效果，并在理论上保证控制系统的稳定性[9]。它将机器人的运动空间划分为摇起区和平衡区，然后针对这两个区间分别设计不同的控制器，中间通过切换策略来实现控制器的转换。基于这种思想，文献[9]考虑系统能量和机器人的姿态设计了摇起控制器；并在平衡区，利用Acrobot在平衡点处的线性化模型设计了线性二次调节控制器（LQR），获得了较为满意的控制效果。然而LQR依赖于机器人在平衡点处的线性化模型，而且为了保证其鲁棒性，切换策略的设计须使机器人的状态严格地满足线性化的要求，因此LQR平衡控制范围非常小，难以保证每次捕获都能将其稳定住。

本文在文献[9]的基础上提出一种基于线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality， LMI）的鲁棒镇定控制设计方法，旨在提高Acrobot的控制性能，实现较大范围的平衡控制。首先将Acrobot在垂直向上平衡点附近的第一连杆角速度看一种不确定性，得到Acrobot的不确定线性化模型；然后基于LMI推导使系统实现二次镇定的鲁棒状态反馈控制律存在性条件，通过求解该条件得到鲁棒镇定平衡控制器。最后通过仿真实例来验证方法的有效性和优越性。

2Acrobot的控制问题

Acrobot的模型结构如图1所示。其中，mi（i=1，2）表示第i杆的质量，li是第i杆的长度，lci代表从i关节到i杆质心的距离，Ii表示为第i杆相对于质心的惯性，q1表示第一杆相对于垂直向上y轴的角度，q2表示第二杆相对第一杆的角度，τ2是作用在第二连杆上的控制力，g为重力加速度。

将控制器（5）和（15）作用于Acrobot的控制中，并在切换策略中定义平衡区范围为π/3，仿真结果如图3所示。其中，图3（a）是第一杆的角度变化曲线，图3（b）是第二杆的角度变化曲线，图3（c）是控制力矩，图3（d）是能量变化曲线。从图中可以看到，控制器在t=5.77 s时发生切换，相比于文献[9]的t=7.66 s提前了1.89 s。虽然平衡控制较早地进行了切换，但是平衡控制器仍在8 s左右将Acrobot稳定住，说明鲁棒平衡控制器较大范围地实现了Acrobot的稳定控制。为了说明方法的优越性，现采用文献[9]的LQR平衡控制器重复上述试验，结果如图4所示，其中（a）是第一杆的角度变化曲线，（b）是第二杆的角度变化曲线。从图中可以看到，控制器并不能在15 s内实现Acrobot的稳定控制。

为了进一步验证文献[9]的LQR的平衡控制范围，现缩小平衡区范围为π/4，得到了如图5所示的仿真结果，其中（a），（b），（c）和（d）分别是第一杆角度，第二杆角度，控制力矩和能量变化曲线。从这四个结果图中可以看到，当t=5.95 s时，控制器发生了第一次切换，但是并没有将Acrobot稳定住；当t=9.35 s时，控制器发生了第二次切换，并经过大约12 s的时间将Acrobot稳定住。

通过上述仿真对比可知，相比于LQR控制器，本文提出的鲁棒控制器实现了Acrobot更大范围的平衡控制，获得了更短的控制时间。

5结论

本文描述了Acrobot的一种基于LMI的鲁棒镇定控制方法。该方法将Acrobot在垂直向上平衡点附近的第一杆角速度看作一种不确定性，得到了Acrobot的不确定模型；并针对该模型设计了基于LMI的鲁棒镇定状态反馈控制律，实现了Acrobot在较大范围内的平衡控制目标，提高了平衡控制的成功率。方法的有效性和优越性通过仿真实例得到了验证。

参考文献

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