一类燃烧问题的角层近似解的构造

杜冬青，刘树德

(1.徐州财经高等职业技术学校，江苏 徐州 221008；2.安徽信息工程学院，安徽 芜湖 241000)

0 引 言

文献[1]的例6.1考虑如下燃烧问题：

εy″=(y2-x2),-1

y(-1)=y(1)=1

这里燃料与氧化剂没有预先混合，燃烧的扩散效应与反应速度之比ε很小，燃料与氧化剂相遇并反应时火焰的位置为x=0，火焰在x处的厚度为y。

由于微分方程中小参数ε与最高阶导数相乘，故上述系统为奇摄动边值问题。利用微分不等式理论和方法，对充分小的ε>0，可得到如下解的估计[1]：

其中y=|x|是退化解(在燃烧理论中作为Burke-Schumann近似)，c为某个正常数。

于是，按照边界层和内层理论[2-6]，该问题在位置x=0出现了角层为进一步研究角层现象，本文考虑更广泛的一类燃烧问题

εy″=(y2-x2)n,-1

(1)

y(-1)=y(1)=1

(2)

利用匹配渐近展开法[7-8]，先通过外展开式确定角层的位置，再引入适当的伸展变换求出内展开式，然后按匹配原则进行匹配，形成在整个区间上一致有效的复合展开式，从而构造出在x=0处具有角层性质的校正项，得到更精细的结果。

1 主要结果

先确定问题(1)、(2)内层的位置. 设外展开式具有形式

y0=y0(x)+εy1(x)+…

(3)

将(3)代入(1)，由ε0系数相等得退化方程

(4)

易知

分别是退化方程(4)满足边界条件y(-1)=1和y(1)=1的解。外部解的零次近似可取为

y0(x)=|x|,-1≤x≤1

(5)

由于y0=(x)在x=0处连续但不可微，因此在x=0处出现了角层，如图1所示。

图1 角层图示

(6)

进而可设内展开式

(7)

将(7)代入(6)，并比较ε0的系数得

随之推出

式中C为积分常数。

按照(5)式，在x=0处

y0(0-)=y0(0+)=0

应用Prandtl匹配原则[7]，分别有

Y0(-∞)=Y0(+∞)=0

及

由此定出 。

若给定初值Y0(0)=a(a>0)，则在(-∞,0]和[0,+∞)上解相应的初值问题，分别得到

和

两式可统一写为

最后，将外展式与内展开式相加并减去其公共部分(公共部分为零)，得到在整个区间上一致有效的复合展开式

(8)

因此，问题(1)，(2)的解可用复合展开式的零次近似表示为

(9)

特别地，取n-1，就有

(10)

及

(11)

2 结束语

应用微分不等式理论和方法是处理具有角层现象的奇摄动边值问题的常用方法。通过分析微分不等式与相应的微分方程的解之间的关系，构造出一对适当的界定函数，进而对所论问题的解作出先验估计。但该方法仅给出精确解与退化解之间的一个估计，未能构造出具有角层性质的近似解。

本文利用匹配渐近展开法，先求出两个不同尺度的内、外展开式，然后按Prandt匹配原则进行匹配，使外展开式的内极限等于内展开式的外极限，形成在整个区间上一致有效的复合展开式，从而构造出在 处具有内角层性质的校正项，得到比解的估计更精细的结果。

燃烧过程的实质是一物理和化学的综合过程.本文只讨论没有预先混合的燃烧理论中的一个典型问题，进一步还可考虑使燃料与氧化剂预先混合后的燃烧，即预混燃烧问题。