基于数学核心素养指引下换元法解题的探究

江苏省南京市栖霞中学 胡党琴

现阶段的教学重点正在逐渐由能力培养转向素养培养。 运用换元思想是培养学生数学核心素养的重要方法，从思维上可以培养学生的逻辑推理素养，使学生能把握数学问题的本质；从方法上可以培养学生的数学运算素养，引导学生简化运算；从换元简化过程中可以培养学生的数学建模素养，使学生能在换元后建立新的模型解决问题。此外，利用换元法处理函数问题，可以借助数形结合的方法培养学生的直观想象和数学抽象素养。

实际解决函数问题时，换元法有着广泛的应用，它是将函数的图像变换为另一种函数形式，通过换元法将函数图像变得简单而又直观，学生可以从换元之后的函数图像中直观地把握问题的本质，从而更方便地解决问题，这体现了数学知识的逻辑性与数学运算的灵活性。

注：首先将条件式根据x+2y 的形式化简，然后观察化简的结果。读者会发现，简单换元之后，可以将条件式转化成椭圆的形式，利用椭圆的性质容易找到在何时取得最值，从而得出结果。

结合图1 对比（虚线为函数平移后的图像，实线为题中图像）：

图1

例3:（2014 年南开大学自主招生）设P 为曲线2x2-5xy+2y2=1上的动点，求点P 到原点距离的最小值。

图2

图3

题目的条件是曲线，求最小值的过程中无法利用函数的性质解决问题，通过换元法，将条件式变成我们熟悉的曲线，然后将目标式进行化简，不难发现，可以利用基本不等式快速解决问题。 此外，从上面的换元过程来看，换元可以将一个二元二次方程化简成我们所熟悉的曲线，利用曲线的性质来解答问题。化陌生为熟悉，再解决问题，这就要求学生具备一定的创新能力、灵活的逻辑思维以及对数学学习的探究和钻研精神。换元后的坐标系里，条件式与目标式均是一个标准形式的圆锥曲线方程，在坐标系上一目了然，进而可以在坐标系中解决问题。

大多数学生在做题的时候，遇到形式复杂的题目往往束手无策，究其原因，命题人的出题意图是考查多个知识点，进而对题目进行改造，用以迷惑学生。 在实际解题中，如果学生能够主动构建知识网络，洞悉知识点的内在联系，把握题目的本质，则能够以简驭繁，使数学运算更简洁，最终水到渠成地解答问题。