连续梯变拉胀蜂窝面内冲击动力学性能研究

邓小林

（梧州学院科研处，广西 梧州 543002）

1 引言

泊松比指的是横向应变对轴向应变的比值。自然界材料通常情况下都变现为正泊松比，而负泊松比材料（也称拉胀材料），则表现出了与正泊松比材料完全相反的特征，其在拉伸时垂直于拉伸方向变宽，而压缩时垂直于压缩方向变窄。尽管自然界早就存在着天然的拉胀材料，如黄铜矿、微缝岩石、猫皮、人类小腿的松质骨等等，但并没有引起专家和学者的太多关注，直到文献[1]提出并制造出一种各向同性的负泊松比泡沫材料。自此以后，拉胀材料得到了国内外专家和学者的高度关注，其由于负泊松比效应所表现出来的一系列引人瞩目的属性[2]，使得其在生物组织及医疗工程[3]、纺织制品[4]、纳米机电系统[5]以及航空航天[6]等诸多领域都具有重要的潜在应用价值。

形成负泊松比的结构模型主要有内凹结构、旋转结构、手性结构，如：文献[7]在1982 年设计了一种内凹六边形蜂窝结构，该结构在承受轴向拉伸时，斜杆会发生横向变形，从而导致整个结构产生负泊松比拉胀效应。专家根据上述原理，设计出了包括双箭头状、内凹六角形、菱形、正弦结构等在内的各种各样不同的内凹负泊松比结构。文献[8]则在1989 年提出了一种具有负泊松比效应的手性结构，文献[9]基于该结构研究了一种六杆圆节点手性结构，文献[10]则对该结构进行了制作，并对其平面变形下的负泊比性能进行了理论分析研究。随后，三杆和四杆节点手性结构及其反手性结构[11]、四杆矩形节点手性结构[12]等等，也被研究出来。而文献[13]则首次在分子微观层面对负泊松比材料进行了研究。除了上述结构外，包括文献[14-17]也对负泊松比结构进行了研究。但需要指出的是，尽管负泊松比的相关研究很多，但大部分研究主要集中在新型负泊松比的结构、变形机制、负泊松比效应及性能测试方面，而将负泊松比与吸能结构相结合的研究却相对较少。从材料的特性来看，由于其负泊松比效应所导致的结构在压缩时的收缩将提高其回弹和抗侵彻能力，增强其能量吸收能力。包括文献[18-22]在内，已经将负泊松比与吸能相结合，开展了部分研究工作。而针对连续梯变拉胀蜂窝的面内冲击和能量吸收的相关研究却较少涉及，其在不同冲击速度和厚度范围内的变形模式分类研究也有待进一步的深入开展。针对以上问题，这里提出了一种新型的连续梯变拉胀蜂窝结构，并针对该结构的面内冲击动力学和能量吸收情况开展系统研究。

2 计算模型

2.1 几何结构

所要研究的连续梯变拉胀蜂窝结构及尺寸参数，如图1 所示。其中，模型的冲击示意图，如图1（a）所示。结构主要由冲击端刚体、蜂窝结构和固定端刚体三部分组成。蜂窝结构元胞及其参数，如图1（b）所示。这里，主要研究负梯度变化（Negative gradient vary，NGV）和正梯度变化（Positive gradient vary，PGV）两种不同的连续梯变蜂窝结构，其相应的几何结构，如图1（c）、图1（d）所示。NGV 蜂窝结构，其内凹角θ 按间隔3.75°从上到下依次递增，整个结构自冲击端到固定端由5°变化到53.75°。相反，正梯度变化的蜂窝结构，自冲击端到固定端则由53.75°变化到5°。整个蜂窝结构的元胞数目为28×22，面外厚度为2mm。

图1 连续梯变拉胀蜂窝结构模型Fig.1 Computation Model of Continuous Gradient Variable Auxetic Honeycomb Structure

蜂窝材料的相对密度对其结构的整体性能起着重要的影响，根据文献[23]，相对密度可表示为蜂窝的表观密度ρ*与制造蜂窝材料密度ρs的比值，即：

式中：ρ*—表观密度；ρs—固体材质密度。

根据图1 蜂窝结构模型，容易推导出连续梯变拉胀蜂窝结构的相对密度公式为：

式中：N—胞元边的数量；胞元参数li，lj，lk，t和θ，如图1（b）所示。需要指出的是，每层的θ 值并不相同；L1，L2—整个蜂窝结构的长度和宽度。根据式（2），容易求得不同结构和厚度的蜂窝结构相对密度，如表1 所示。

表1 不同结构和厚度的蜂窝的相对密度Tab.1 The Relative Density of Honeycomb with Different Structure and Wall Thickness

2.2 有限元模型

有限元模型采用Abaqus/Explicit 建模，材料采用铝，参考文献[24]，材料的属性为：杨氏模量E=70GPa、密度ρ=2700kg/m3、泊松比μ=0.3、屈服强度σy＝130MPa，并假定其为理想弹塑性模型。边界条件与文献[25]一致，蜂窝结构采用四节点减缩积分壳单元进行模拟，沿厚度方向采用5 个积分点。冲击端刚体和固定端刚体均采用解析刚体以节省时间和减少计算量。冲击端刚体与蜂窝结构采用通用无摩擦面-面接触，参考文献[26]，冲击端刚体附加质量110kg。为了防止在冲击过程中蜂窝结构本身相互渗透，整个模型施加通用接触算法。冲击端刚体以固定的初始速度冲击蜂窝，固定端刚体与蜂窝结构采用绑定约束，整个结构左右两侧自由并限制它们的面外自由度，以防止结构发生面外屈曲。考虑到计算资源成本，对单元长度分别为（0.5×0.5）mm、（1×1）mm、（1.5×1.5）mm、（2×2）mm、（2.5×2.5）mm 共五种不同大小的网格开展了收敛性测试，通过研究发现，其网格尺寸（1×1）mm 和（0.5×0.5）mm 之间仿真结果差异很小，其内能相对误差不到5%，考虑到计算成本，模型采用（1×1）mm 进行网格划分。

3 结果及讨论

3.1 变形模式分析

壁厚t=0.4mm 的NGV 蜂窝结构在速度分别为V=7m/s、V=35 m/s 和V=100 m/s 冲击下的变形模式图，如图2 所示。通过图2可知，相同结构和厚度的蜂窝在不同速度冲击下，共出现了三种完全不同的变形模式。通过图2（a）可知，当冲击速度V=7m/s 时，NGV 蜂窝结构在冲击初始阶段的变形主要从固定端开始，即内凹角θ 较大的一侧开始。靠近固定端的一侧在刚性板的冲击下，由于负泊松比效应产生了明显的横向收缩现象，相应元胞被压缩成了菱形形状。蜂窝的中间部分由于两侧的横向收缩在中间产生了一个“I”字形形带。而靠近冲击端的元胞由于内凹角相对较小，相应的li比lj的长度更长，元胞并没有被压缩成菱形，而是出现了整体倾斜式的压溃状态。随着压缩的进一步进行，形成菱形部分的蜂窝结构也随后被逐级压溃，最后达到密实化状态。这里，参考文献[24、27]，将该种模式定义为准静态模式（Quasistaticmode）。当速度增加到V=35m/s 时，变形并没有从固定端开始，而是从冲击端开始。当压缩到ε=0.3 时，可以明显发现，靠近固定端的蜂窝出现了收缩现象。当ε=0.5 时，可将整个蜂窝被压缩的状态分成三部分，即靠近冲击端的被压实部分、被压成菱形的中间部分和固定端的横向收缩部分。随着压缩的进一步进行，靠近固定端部分的蜂窝结构被压缩成菱形，并在冲击端刚体的继续压缩下，最终密实化，该模式将其定义为转换模式（Transition mode）。当速度提高到V=100m/s 时，整个结构的变形模式与V=7m/s 和V=35m/s 具有明显的区别，尽管靠近固定端的元胞内凹角较大，但由于刚体的冲击速度快，靠近固定端的蜂窝还未发生横向收缩即被冲击端自上而下逐层压溃，这种模式将其定义为动态模式（Dynamicmode）。

图2 NGV 蜂窝结构在不同冲击速度下的变形模式Fig.2 Deformation Mode of NGV Honeycomb Structure at Different Impact Velocities

则为壁厚t=0.4mm 的PGV 蜂窝结构在速度分别为V=7m/s、V=35m/s 和V=100m/s 冲击下的变形模式图，如图3 所示。通过图3（a）可知，当冲击速度为V=7m/s 时，与NGV 蜂窝结构不同，PGV蜂窝结构压缩变形首先从冲击端开始。由于冲击端刚体与蜂窝采用的是面面接触，并未将其绑定约束，因此其由于负泊松比效应所导致的横向收缩现象更为明显。而随着压缩的进行，从上往下，靠近冲击端的元胞被压缩成了菱形状态，而靠近固定端部分的蜂窝则出现了整体倾斜式压溃。与NGV 相类似，蜂窝的中间位置处也出现了较为明显的“I”字形形带。整个蜂窝结构在随后的压缩过程中，形成菱形的蜂窝也最终被压溃。当压缩速度增加到V=35m/s 时，蜂窝结构的变形模式与V=7m/s 非常类似。而当速度提高到V=100m/s，其变形模式则变成了动态模式。总体上，除了准静态模式与NGV 蜂窝结构在初始变形发生的位置不同外，转换模式和动态模式与NGV 蜂窝结构具有非常类似的变形特征。为了获得蜂窝结构的变形模式分类图，参考文献[24、27]，进一步扩大冲击速度和厚度范围，对所提出的连续梯变拉胀蜂窝在不同厚度和速度下的变形模式进行系统分析，得到了蜂窝结构的变形模式分类图，分类图如图4 所示。通过图4 可知，NGV 蜂窝结构和PGV蜂窝结构的准静态模式区间基本一致，而转换模式的区域则出现了明显不同，PGV 蜂窝结构的转换模式所覆盖的范围更大。当t=0.8mm，冲击速度达到V=100m/s 时，PGV 蜂窝结构的变形模式才转换为动态模式，这主要是因为PGV 蜂窝结构的冲击端为内凹角更大的元胞组成，其在冲击载荷作用下由于负泊松比效应产生了较为明显的横向收缩，横向收缩提高了其抵抗冲击的能力，使得整个结构转换模式区域覆盖范围更大。

图3 PGV 蜂窝结构在不同冲击速度下的变形模式Fig.3 Deformation Mode of PGV Honeycomb Structures at Different Impact Velocities

图4 蜂窝结构的变形模式分类图Fig.4 Deformation Pattern Classification Chart of Honeycomb Structure

3.2 不同冲击速度的动力学响应分析

厚度t=0.4mm 的NGV 和PGV 蜂窝结构在不同冲击速度下的名义应力和名义应变曲线，如图5、图6 所示。

图5 NGV 蜂窝结构的应力-应变曲线Fig.5 Nominal Stress-strain Curves of NGV Honeycomb Structure

其中，名义应力的可表示如下[19]：

式中：σ—名义应力；F—刚体与蜂窝之间的接触力；b—面外厚度；L—蜂窝宽度。根据图1，L的取值即为L2的取值。

通过式（3）可知，名义应力即为蜂窝结构所受到的冲击载荷与蜂窝接触面积的比值。明显的，连续梯变蜂窝结构也像常规正六边形蜂窝结构[25]一样，其应力-应变曲线主要经历了初始压缩时的应力快速上升的线弹性阶段、应力相对稳定的平台阶段以及后续的密实化阶段。通过图5 可知，冲击端的应力明显高于固定端冲击应力，并且随着冲击速度的增加，应力值也相应提高，而这种趋势在冲击端表现的更为明显。与NGV 蜂窝结构一样，PGV蜂窝结构冲击端的应力也高于其固定端冲击应力。但需要指出的是，PGV 蜂窝结构在冲击的初始阶段，其应力相对NGV 初始阶段的峰值应力更大，而随着压缩的进行，平台阶段的应力整体上则呈现不断减少的波动趋势。这主要是由于两种不同蜂窝结构的元胞内凹角的不同所致。可以发现，将内凹角大的一端布置在冲击端的PGV 蜂窝结构相对将内凹角小的一端布置在冲击端的NGV 蜂窝结构，初始阶段的应力值更大。从保护乘客或货物的角度出发，初始阶段的应力值过大将直接增加乘客或货物受伤害的概率，因此，将胞元内凹角较小的一端布置在冲击端更为有利。相对冲击端，蜂窝结构在固定端的应力则没有发生明显的变化。

图6 PGV 蜂窝结构的应力-应变曲线Fig.6 Nominal Stress-Strain Curves of PGV Honeycomb Structure

3.3 不同厚度的动力学响应曲线

不同厚度的蜂窝结构在V=35m/s 速度冲击下的固定端的名义应力-应变曲线，如图7 所示。总体上，较厚的蜂窝相比较薄的蜂窝，具有更高的应力，这主要是因为结构材料的增加，直接提高了蜂窝结构整体抗冲击抵抗的能力。从图7 也可以看出，随着厚度的增加，蜂窝的波动也更为明显，尤其是t=0.8mm 的PGV 蜂窝结构，其波动范围和幅度更为剧烈，这主要是因为当t=0.8mm 时，PGV 蜂窝结构变形模式为转换模式，由于壁厚较厚，在压缩的过程中，内凹角较大的元胞在变为菱形前和菱形后，其压缩后的名义应力具有更为明显的差异，导致整个结构的冲击应力应变的波动范围更大。

图7 不同厚度的蜂窝结构在固定端的名义应力-应变曲线Fig.7 Nominal Stress-Strain Curves at Supporting Rigid Plate of Honeycomb Structures with Different Wall Thicknesses

3.4 能量吸收特征

通常采用比能量吸收（Specific energy absorption，SEA）来评价结构吸能的效率和水平，比能量吸收指的是结构单位质量所吸收的能量，其表达式可以表述如下：

根据上述定义，连续梯变拉胀蜂窝结构在不同厚度不同冲击速度下的能量吸收特征，如图8 所示。通过图8 可以看出，结构的SEA 随着壁厚的增加而相应的提高，其能量吸收对速度也较为敏感，高速冲击下的蜂窝结构相比低速冲击能吸收更多的能量。这主要是因为不同的冲击速度，蜂窝结构的变形模式也发生了重要改变，随着冲击速度的不断增加，变形模式逐渐由准静态变形模式演成为了由冲击端向固定端的转换模式和动态模式。

图8 蜂窝结构在不同厚度不同冲击速度的能量吸收特征Fig.8 Energy Absorption Characteristics of Honeycomb Structures with Different Impact Velocities at Different Wall Thicknesses

不同厚度的NGV 和PGV 蜂窝结构的SEA 对比图，如图9 所示。通过图9（a）可以看出，当壁厚t=0.2mm 时，中低速冲击的NGV蜂窝结构的SEA 相比PGV 蜂窝结构更高，而随着速度的增加，PGV 蜂窝结构则表现出了更好的能量吸收。但当壁厚t=0.4mm，t=0.6mm 和t=0.8mm 时，NGV 蜂窝结构的SEA 优势开始显现，NGV蜂窝结构在不同速度冲击下的SEA 相比PGV 蜂窝结构更高，并且随着冲击速度的增加，优势更为明显。通过上述分析可以看出，NGV蜂窝结构相比PGV 蜂窝结构不但在限制初始峰值载荷有优势，其能量吸收效果也相对更好，在实际的应用中，应将内凹角相对较小的一端布置在冲击端，对结构的保护更为有利。

图9 NGV 蜂窝结构和PGV 蜂窝结构的比能量吸收对比图Fig.9 Comparison of SEA of NGV Honeycomb Structure and PGV Honeycomb Structure

4 结论

对连续梯变拉胀蜂窝结构的面内冲击动力学性能进行了分析和研究，推导出了连续梯变拉胀蜂窝结构的相对密度公式，对NGV 和PGV 两种不同蜂窝结构在V=7m/s、V=35m/s 和V=100m/s三种不同速度冲击下的变形模式进行了分析，在此基础上，进一步扩大冲击速度和蜂窝的厚度范围，得到了结构的变形模式分类图。研究了不同速度、不同厚度的蜂窝面内动力学响应，针对蜂窝的能量吸收特征进行了分析。研究表明，NGV 蜂窝结构相比PGV 蜂窝结构具有更低的峰值应力和更好的能量吸收，研究结果能为连续梯变拉胀蜂窝结构的吸能提供参考。