细节重建，让数学思维可视化

瞿芬

[摘  要] 当代数学家R.柯朗认为数学是对思想及方法的基本研究，需要学习者通过数学猜想、演绎操作、思辨交流等形式呈现数学事实。但小学阶段的孩子们，受自身数学思维水平的高低所制，学生学习的结果往往产生了很大偏差。为缓解这样的差距产生，在课堂教学中，设想借以细节重建的方式，突破芥蒂让学生将自己在问题解决时看不见的思维路径、方法及相关的规律用图示或文字描述等形式呈现。文章以“三角形面积的计算练习课”为例，从问题解决的思路、方法两个角度展开论述，阐明了让数学思维可视化、显现化对学生数学思维培养的必要性。

[关键词] 细节重建;小学数学;思维可视化

知识的传授是一个复杂、持续的过程，学生学习的结果往往受到自身数学思维水平的高低所制，产生很大的偏差。数学思维是看不清、摸不着的身体机能的反映，很难让教师对学生学习的掌握程度做出一个明确的评判。基于此，将思维可视化的理念引入小学数学教学中，无疑是一个及有意义的实践尝试。何为“数学思维可视化”？让学生将自己在问题解决时看不见思维路径、方法及相关的规律用图示或文字描述等形式呈现。思维可视化并非简单的形式操作，它必须建立在教师对教材文本的精准研读、对课堂环节的精心设计、对教学重难点的细节处理，只有在课堂教学中能发现和优化教学细节，适度地捕捉和利用一些辅助的课堂资源，让学生在生动的场景中呈现自己学习的全过程，才能让这样的学习理念落地开花。

■一、改弦易辙，让隐性的解题思路显现化

当代数学家R.柯朗认为数学是对思想及方法的基本研究，需要学习者通过数学猜想、演绎操作、思辨交流等形式呈现数学事实。因此，让学生掌握知识内在的逻辑形式和意义领域的相连点，必须在深度挖掘知识的丰富内涵的基础上，跨越知识表层的学习，建立数学思维活动新模式，进而凸显最高级的学习价值，使常态下的数学课堂教学具备可期、动态、延续等特性。为此，教师对教学细节进行重建、对学习媒介进行充分的运用，能在很大程度上让学生数学的思维“动”起来、“说”出來，突破辖制的空间将问题解决的思维路径、规律呈现出来。

1. 设计“静”到“动”的路径，突破变与不变的局限

数学概念是小学数学知识的基本要素，是一种静态的资源呈现，为了能引导学生建构知识意义，主动探索、发现知识的联系，必须让其经历从不平衡到平衡、变与不变中不断反复应变的过程，才能理解概念并加以灵活地运用。特别是在小学数学高段的学习中，更应注重学生综合应用多个概念的融合处解决问题能力的培养。因此，设计好从“静”到“动”的路径，无疑能使概念的形成达到“水到渠成”之境，更能让学生在“画面感”中得到意向的同化。

【教学片段回放一】

任务驱动，感知“等底等高、面积相等”。

出示任务一：以BC为底，画出与△ABC面积相等的三角形（见图1）。

学生独立完成任务一。

出示学生的作品（略）并反馈交流。

师：这些三角形的面积都相等吗？为什么？

生1：这些三角形的面积都相等，因为平行线之间的距离处处相等，高就相等，再加上都是以BC为底，所以面积都相等。

师：像这样的三角形还有吗？

生2：有，很多。

（教师借用几何画板，在平行线上移动点“A”得出多个面积相等的三角形）

师：我们可以移动点A在这里，还可以在这里，还可以在哪里？想象一下，这里可以吗？

师：如果这个A点移动到右边呢，想象一下，会是怎么样的？

师：依照这样的移动轨迹，你觉得A点要符合什么条件？

生3：一定要在平行线上就可以。

师：同学们想象一下这样的三角形你可以怎么画，画出的图可能会怎么样？

……

师：同学们，刚才我们在头脑里画了这么多面积相等的三角形，你有什么体会？

生4：可以画出无数个形状完全不同，但面积相等的三角形。

生5：这些三角形的底和高相等，面积也相等。

小结：形状各异的三角形只要等底等高，面积就相等。

……

学生头脑中的图像基本上是片段式、静态存在的，受自身学习经验的限制对一些几何形体的理解就愈发觉得困难。在本课的这个环节回放中我们可以清晰地感受到教师并不拘于单纯表象的建立，将学习的任务就简单地停滞在判断三个三角形的面积是不是相等。而是善于捕捉住课堂教学的每个细节，通过设计一系列的数学问题展示学习的路径，借用几何画板的动态演示促使学生头脑中的片段融会贯通，让点A成为一个“动点”，通过移一移、想一想、议一议有意识地让比较抽象、静态、不易理解的“等底等高，形状不同，面积却相等的三角形”这个知识点在“静动融合、数形联系”的方式下，寻找到数学知识“变”与“不变”的立意之处，即兼顾学生的体会，又能在头脑中很鲜明地构建这样的一个空间感，让学生的思维动起来、活起来，在想象中成形，真正做到从小入手，见微知著。

2. 确立“分”到“合”的路径，感悟同与不同的缜密

数学学习是一个获取数学思想、掌握学习方法、归结方法步骤的过程，学生在经历大量的实践活动中，不断积累学习经验，突破认知的辖制进而获得新知。但在实际的课堂教学中教师会以最后的学习结论为依据，忽视学生对数学思想的建立。如何将无形的数学思想得以完整地构建，感悟到解数学思想的精髓，进行知识的有效迁移，就需要教师舒展教学细节，关注动态建构，让学生在同与不同的辨析中感悟所学。

【教学片段回放二】

运用“等积变形”，化“未知”为“已知”。

出示任务二：求出△ABD的面积（见图2）。

反馈交流：

师：你遇到了什么困难？

生1：△ABD的底和高不知道，没办法求出它的面积。

师：谁有好建议吗？

生2：我觉得△ABD的面积可以通过△ABC求得。

师：说说你是怎样想的。

生3：从图上可以看出，△ABD和△ABC是等底等高的。

师：你们同意他的想法吗？谁看出来了，能上来在图上指一指，为什么等底、为什么等高？

生4：△ABD和△ABC有一条共同的底AB，且点C和D都在同一条平行线上，如果移动C到D，他们就完全重合了，如果移动D到C，他们也完全重合，所以△ABD和△ABC的面积相等，如果利用△ABC的已知条件求出面积，那么△ABD的面积也就知道啦。

师：你觉得他的想法有道理吗？我们也来移一移。

（教师利用几何画板动态演示）

师：我们刚才是怎么求出底和高都不知道的两个三角形的面积的？

师：是的，利用“等底等高的三角形的面积相等”这个规律，我们可以把未知的问题转化成已知的问题。

……

把未知的问题转化成已知的问题，是学生所要理解和掌握的一个学习方法。在本环节教学中，当学生的学习“盲区”出现的时候，教师既不是置之不理，也不是簡单化处理——将答案直接告诉学生，而是敏锐地捕捉学生解题思路的价值，根据学生的学习实际，巧妙地利用媒介，将知识和技能的“学”提升到思想与方法的“悟”。抓住教育时机，教师引导学生利用“等底等高的三角形的面积相等”这个规律，通过几何画板进行新知的巧妙引导，将学生的数学思维暴露在众人的面前，通过相互的交流、争辩，将问题解决的思路清晰显现、引向深入，让整个数学学习、探究的路径清晰明朗，让学生感受三角形形状之“不同”与计算方法“同”之间的联系，达到内化提升之效。

■二、优化序列，让显性的解题方法系统化

因为缺乏足够的表象为支撑，小学生在解决数学问题时往往会呈现出一种很茫然的状态，特别对于一些有一定学习困难的孩子，他们更渴望能有一个学习的支撑点，帮助他们在抽象与形象的知识间做一个简单的搭建，处理好问题想象、数学思维展开的特殊关系。基于这样的考量就需要教师有一种优化序列的解题意识，让学生的思维相互碰撞，让解题方法呈现系统化，映衬古人所说的“聚沙成堆，汇水成渊”之理。

1. 架构“难”到“易”的路径，建立具象与抽象的链接

将“双基”延伸至“四基”，“双能”拓展到“四能”，是2013年数学课程标准的一个重大变革，这一个变革也让每位教师更理性地审视自己的课堂教学，用全新的教育教学理念去设计教学，做一个学生学习之路真正的“引路人”。只有尊重和遵循学生的认知规律，以展示思维全过程为目标，将实际问题抽象成数学模型，做好“难”到“易”的自然过渡，才能让学生的数学思维在具象和抽象中自由穿梭，并获得数学思考与情感态度的不同体验与拓展。

【教学片段回放三】

运用“等积变形”，化“复杂”为“简单”。

出示任务三（见图3）：

（1）求梯形ABCD中涂色部分的面积。

（2）求四边形ABCD的面积。

学生独立完成，分析交流。

分析第一题：

方法①：7×4÷2+3×4÷2=20（cm2）。

方法②：（7+3）×4÷2=20（cm2）。

师：你能读懂第二种方法的解题思路吗？

生1：我明白了，大家可以想象一下，如果把A点移至D点，也就是连接B、D两点，那么就会得到一个大的△BCD。同理，如果把D点移至A点，就是连接A、C两点，那么就会得到一个大的△ABC，这样就能简单算出这个图像涂色部分的面积了。

师：你知道他解题的依据是什么吗？

生2：等底等高的三角形的面积相等。

分析第二题：4×10÷2=20（cm2）。

师：你看懂了吗？

生3：很简单，延长CD这条边，将A点沿着平行的方向移动，相交到延长的这条直线上得到新的一个点E，那么就把△ABD转化成新的△ABE，根据等底等高的三角形的面积相等，就能算出啦。

师：通过这两个问题的解决，你有什么想和大家分享的？

生4：任何一个复杂的图形都可以利用等积变形的数学思想变得简单。

生5：等底等高的三角形的面积相等的规律，可以让复杂问题变得简单。

……

在本环节的教学中，我们可以感受到当学生的学习触角已经突破教材的边界，并汇聚了足够的学习驱动力时，教师就可以顺势而为，在知识、方法、思想与观念上进行向外拓延，突破思维的局限，将学生从单一的思维中解放出来。透过多种解题方法的展示、分析、比较，学生就能真正地感悟“等积变形”的这种数学思想在实际的问题解决中的重要作用。在整个教学环节中，学生的思维经历从具象到抽象的回归，抽象到具象的模式建立，让学生的思维得以真正地打开，并能灵活运用相应的方法解决问题。

2. 把控“度”到“渡”的路径，拓展回顾与反思的边界

数学学习是一个不断发现问题、辨析跟进，不断提炼归纳的过程。小学阶段的学生到中高年级都具备一定的归纳、概括和策略反思的能力，并能运用这样的学习经验转化为一种解题策略为自己所用。为了能让学生进一步加深学习印象，形成较为完整的知识链，使思维得到进一步的发展，就要让每个孩子经历回顾与探讨、分析与总结的阶段。问题解决的最后阶段不应该是简单的结果呈现，而应该是对思路的梳理、方法的提炼。因为这样一来能在很大程度上让教师触碰到学生思维的最深处，也影响到学生后期方法的运用和知识的积累。

在本课的最后回顾沟通阶段，教师有目的地出示了这样两个问题：求这三个图形的面积，解决过程中有什么相同的地方？回忆一下，我们研究这些复杂的图形都是怎么做的？

学生通过比较再次对解题的策略和方法进行了一个纵向、横向的联系与归结，得出了“等底等高的三角形的面积相等”这一个特定的知识点，让学生真正认识到等底等高的三角形，虽然形状不一定相同，但面积一定相等的本质关联。同时通过回顾、辨析、讨论，让学生认识到当我们需要解决一些不规则的平面图形的面积时，可以利用“等积变形”的数学思想将未知转化成已知。根据“等底等高的三角形的面积相等”这一规律，通过想一想、画一画等方式打破自己的定式思维，选求最便捷的问题解决方式让难题迎刃而解。

思维的破冰，才能带来学生学习行动的破局。数学教学是一个需要教师不断做出专业判断与相应构思的过程，它不仅建立在教师对教材的深度研读，更需要教师对学生的知识起点、认知规律有一个完整的认识。只要我们“立足于教材，对话于教材”“走近教材，理解教材”，通过细节重构的方式，突破自己教学的“瓶颈”，就能帮助学生在比较和活动参与之中获得数学感受，与新知深层地交流、对话，到达思维可视化之境。