带Allee效应的混合单种群模型解的存在性

张彩琴，郭琳琴

(吕梁学院 数学系，山西 离石 033001)

的解的存在唯一性。

0 引言

带有Allee效应[1]的随机微分方程在不同种群的生存分析中有着广泛的应用，进而受到国内外学者的广泛关注[2-5].文献[6]研究了单种群间的竞争系统(1):

(1)

其一般化为(2):

(2)

当θ=1时，(2)退化为(1).文献[7]提出如下带有Allee效应的模型(3):

(3)

文献[7]考虑到环境对模型的影响，给出了带有随机扰动的模型(4):

(4)

但模型(4)中的白噪声只能刻画小型的波动对种群的影响，对于自然界中大型的、灾难性的冲击等可以通过有色噪声来进行表示，文献[8]对方程(5)：

(5)

的生存情况进行分析.

受上述文献的启发，本文将研究下列方程：

(6)

1 预备知识

假设条件

(H1)ξ(t)是Ft适应的且独立于布朗运动；

(H3)令C2(Rn;R+)表示Rn上所有二阶连续可微的非负函数V(x)的集合.对于任意V∈C2(Rn;R+)，若(x(t),λ(t))是方程(7)：

dx(t)=f(x(t),λ(t))dt+g1(x(t),λ(t))dB1(t)+g2(x(t),λ(t))dB2(t)

(7)

的解，则可定义算子：

2 主要结果

定理给定初值(N(0),ξ(0))∈(0,+∞)×M，方程(6)存在唯一解(N(t),ξ(t))∈ (0,+∞)×M,t≥0.

系统(6)的系数满足局部Lipschitz条件，由文献[9]中的定理3.15知，系统(6)存在一个唯一局部解N(t)(t∈[0,τe))，若τe=∞意味着方程(6)有全局解.下证τe=∞.

假设τ∞=∞不成立，即P{ω:τ∞(ω)=∞}≠1，则P{ω:τ∞(ω)=∞}<1，即P{ω:τ∞(ω)<∞}=1-P{ω:τ∞(ω)=∞}>0，因此，∃T>0,ε∈(0,1)，n≥n0使得P{τ∞≤T}>ε，故P{τn≤T}≥ε.

(8)

对式(8)两端积分取期望可得：

EV(N(τn∧T))≤V(N(0))+KE(τn∧T)≤V(N(0))+KT.

所以

(9)

式(9)两端取极限t→∞得：

∞>V(N(0))+KT>∞

矛盾，故有τ∞=∞，即τe=∞.

3 结束语

本文研究了带Allee效应的随机微分方程(6)的解的存在唯一性，推广了文献[8]中的结果.