在单元统整中让转化落地生根

【摘 要】“多边形的面积”这一单元由于知识特点适合渗透和应用转化的思想方法教学。通过对单元的整体思考和结构统整，在既统一又多元的转换推导过程中，在既注重独立的推导又注重多维度的验证的过程中，在既关注转换铺垫又关注转换迁移的过程中，学生能不断加深对转化思想方法的理解，并在练习中学会应用该思想。

【关键词】小学数学;转化思想;多边形面积

【中图分类号】G623.5  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0172-02

北师大版五年级上册“多边形的面积”这一单元关注转化思想和类比思想的渗透。在进行面积公式推导的时候，两次运用相关图形转化成已知的图形来进行。第一次把平行四边形转换成长方形，第二次把三角形和梯形转换成平行四边形。这样分两次来做为的是降低学生的认知难度，但同时也给学生认识多边形的面积带来了一定的困难[1]。

笔者通过教学实践发现，在学习多边形面积的时候正因为分成了两次转换，有的学生难以理解多边形的面积公式，认为解决方式是多样的。在后续的复习阶段，绝大多数教师都会整理归纳所有公式，把这些面积计算公式都统一到梯形计算公式上来。这正是说明了不同图形之间面积计算公式存在一定的联系。立足学生学情，教师更应该从整体角度来教授多边形面积的计算知识。

1   结构重整，突显转化思想

将本单元的知识结构统整在五个部分（课时），分别是起始课（图形的转换）、辅助课（认识底和高）、推导课（公式的推导）、提升课（公式的统整）和应用课（综合应用）。以上五个课时都可以设计重点课例，因为它们都有自己的教学目标。起始课体现思想和方法，辅助课注重操作和类推，推导课着力分析和探究，提升课展现整体和综合，应用课力求拓展和迁移。

2   图形摆拼，搭建转化桥梁

2.1  认识底高，注重操作和类推

要进行图形割补转化就要认识图形的高，所以一开始教师就要带领学生学习图形的高。在学习图形的高的时候就要引导学生思考，为什么要学习图形的高，认识多边形的底和高，重点引导学生认识底和高的相对性以及高的类推学习，为转化图形和推导公式的学习做铺垫。

2.2  图形转换，体现思想和方法

转换思想的渗透需要有具体的操作来搭建桥梁，教师可以借助图形的摆拼来展示转化思想。在第一课时，教师可以设计运用具体的割补方法，把图形转换成长方形。

2.2.1  体会转化的必要

活动采用任务驱动，提出求非长方形图形的面积的任务。引导学生体会转化的需要，让探究变得有意义，有实际应用的价值。探究的内容主要是运用割补的方法让学生把三角形、平行四边形和梯形转换成一个长方形。

2.2.2  有序进行转换

笔者在活动设计中安排了从易到难几个层次的活动，依次把平行四边形、梯形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形转换成长方形。

2.2.3  统一转化方法

把平行四边形、梯形、三角形转换成长方形之后，需要对这些转换方法进行分析，探究这些方法的共同特点，即沿着高的中位线分开以后旋转就变成了长方形。虽然这样在平行四边形上面显得比较多余，但是种方法确实把平行四边形、梯形以及三角形都统一到了一起。把割补法都统一到根据中位线旋转的方法上来。统一转化方法为统一公式做铺垫。

3   统一推导，实现转化渗透

让学生分組选择平行四边形、梯形和三角形来同时进行面积计算公式的推导探究。接着再进行反馈、交流。在反馈交流后开展双拼转化的尝试。

3.1  剪拼推导促进分析和探究

3.1.1  平行四边形面积计算公式的推导

推导平行四边形的面积是最简单的，学生可以比较轻松地得到结论。虽然推导过程比较简单，但是教师要引导学生去分析在这个转换过程中，面积是不变的，周长发生了变化，特别要注意平行四边形的两条邻边不对应长方形的长和宽。

3.1.2  梯形面积计算公式的推导

梯形面积的推导相对平行四边形来说主要难点在于转换方法。不过这也有助于学生理解通过剪拼得到的长方形和原来梯形之间是怎么样一种关系，从而记住公式。

3.1.3  三角形面积计算公式的推导

在推导三角形面积计算公式时，优先从直角三角形开始推导。再用剪拼方法推导锐角三角形。在这里笔者故意避开了钝角三角形的推导。钝角三角形如果以最长边为底边来拼，还是可以达成的，如果以比较小的一条边来拼，那情况就比较复杂。这个问题可以留做拓展题让学生去思考。

在单拼法（割补）中推导公式，用同样一种拼法解决了三种图形转换的问题，同时也统一了推导的过程，这样有利于学生对面积计算公式进行统一认知和学习，同时也可以帮助学生建立一个面积推导的模型，为后续学习圆的面积作好铺垫。

3.2  双拼推导促进验证和强化

双拼法就是用完全相同的两个图形来拼。平行四边形转换成长方形是用不到的，但是三角形和梯形转化成平行四边形的时候就可以用到。双拼法主要是利用所学方法验证和强化推导出来的面积计算公式。

3.2.1  梯形的双拼验证和强化

通过梯形的双拼，学生能得到一个平行四边形，它的底是梯形上底和下底的和，高是不变的，那这个平行四边形的面积是梯形的二倍，面积公式是上底和下底的和乘以高，还要除以二。

3.2.2  三角形的双拼验证和强化

两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。得到的平行四边形和三角形是等底等高的，平行四边形面积是底乘以高，求三角形的面积要除以二，再次验证了之前得到的三角形面积公式是正确的。

4   拓展应用，提升转化能力

4.1  展现整体和综合

平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，其推导的过程可以统一到一起。那么这三个计算公式之间有没有相同的地方呢？可以引导学生发现三个计算公式的相同点。

在公式统整的过程中，可以分两步走，第一步先统整梯形和三角形的计算公式。观察三角形和梯形转换的情况，可以发现两者相似性较高，唯一不同的地方是上面的情况，一个是一个点，一个存在一段，这就是统整的突破点。分析公式的形式，找到突破点，可以发现三角形和梯形的计算公式可以合在一起，可以将三角形看成是上底为零的梯形。公式如下：

①梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。②三角形的面积=（0+下底）×高÷2=底×高÷2。

第二步，统整平行四边形和梯形的面积公式。有了前面的经验，把平行四边形看成上底和下底相等的梯形，便容易推导。进而把三角形、平行四边形和梯形的面積计算公式都统整到梯形的面积计算公式中。即平行四边形的面积=（底+底）×高÷2=底×高。

接着利用多媒体技术直观地展示三角形、梯形、平行四边形之间的转换过程，让学生深刻地体会这三种图形的面积计算公式具有一致性。这个过程提高了学生的整体意识和综合意识，让学生深刻体会到了转化的同理性和共通性，为后续拓展普通四边形的面积计算公式做了好铺垫。

4.2  应用力求拓展和迁移

这一部分主要是指转换的思想方法的应用。在完成基础练习之后，可以设计拓展练习让学生思考普通四边形的面积计算公式，引导学生运用转化的思想，在新的情境探究中提高自身的转换能力。

4.2.1  转化的迁移

在引导学生转化过程中，首先是把任意一个四边形分成两个三角形，接下来让学生把这两个三角形转换成两个等长但不一定等宽的长方形，这样又能组合成一个新的长方形。这个过程就是引导学生利用所学方法进行转化方法的迁移。

4.2.2  能力的提升

平面图形面积公式推导是体现转换思想，运用转换方法的一次极好的训练机会。加上后续的拓展，解决类似的问题，是学生对转换思想方法理解的一次提升。在教学实践中，笔者选择了一个小组，引导他们对圆的面积进行转换推导。在没有学习圆的基础知识的前提下，通过转换的迁移，学生能够想到把圆像切西瓜一样分成一小块一小块，分成的份数越多，这些小块越接近于三角形，最终他们推导出圆的面积可以是圆的周长乘以中心点到边上的距离。这也说明了迁移可以较好地提高学生的转化能力。

【参考文献】

[1]刘伟.学生有“思想”课堂有“灵魂”——《多边形的面积》单元教学的思考[J].广西教育，2019（21）.

【作者简介】

楼忠杨（1972～），男，汉族，浙江义乌人，本科，小学一级教师。研究方向：小学数学教育。