双曲线解题常见错误分析及对策探析

刘雨柔 赵临龙

摘 要：双曲线是高中数学教学的重点和难点，也是高考的重要考点之一。目前，双曲线教学存在教学方法单一、不注重引发学生思考、忽视学生应用能力等问题。文章分析双曲线解题常见错误，探讨提高双曲线教学效率的策略：改进教学方法，重视提升学生的数学应用能力。

关键词：双曲线;解题训练;错误分析;策略

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2021）11-0110-02

高中数学的教学目标是让学生获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。因此，在高中数学教学中，教师要基于数学教学目标，不断提高学生数学学科核心素养。双曲线是高中数学教学的重点和难点，也是高考的重要考点之一。本文从提升学生数学学科核心素养角度出发，分析双曲线解题常见错误，探讨双曲线教学存在的问题及提升策略。

一、双曲线解题常见错误分析

1.忽略双曲线标准方程中x、y的范围

例1：是否存在同时满足下列条件的双曲线？ 若存在，求出双曲线的标准方程;若不存在，说明理由。①焦点在x轴上。②渐近线方程为x±2y=0。③点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为。

错误解法：由条件①设双曲线的标准方程为：=1（a>0，b>0）。由条件②得知：=，即a=2b，双曲线方程可化简为x2-4y2=4b2。设点P（x0，y0），则有两点距离公式|PA|2=（x0-4）2+5-b2，所以，5-b2=6。解得：b2=-1（舍去）。故不存在满足条件的双曲线。

错误剖析：焦点在x轴上的双曲线的标准方程中的x的范围是|x|≥a，而不是x∈R，这正是该题错误所在。如果设双曲线方程为x2-y2=m，则可避免这个错误。

2.忽略“判别式”

例2：已知双曲线x2-=1 ，过点 P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点。

错误解法：设直线l的表达式为：y-1=k（x-1）或x=1。当K不存在时，直线l的表达式为：x=1，经过点P，但不满足条件。当k存在时，直线l的表达式为：y-1=k（x-1），根据题意得：y-1=k（x-1）x2-=1 ，消去y，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0，所以A、B两点的中点坐标为：=。若点P是线段AB的中点，则k（1-k）2-k2=1，即k=2。

错误剖析：“判别式法”是判斷直线与双曲线是否有公共点的重要方法，学生在解决直线与双曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式法，但有的情况下是需要考虑判别式法的。本题以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，但容易出错。错误原因是学生忽略了对直线与双曲线是否相交的判断。

二、双曲线教学存在的问题

1.教学方法单一

学习双曲线的过程是充满乐趣的，但学生却缺乏兴趣，究其原因是教师以讲授法为主，没有充分发挥教师的引导作用和学生的主体作用。这就出现教师讲课吃力，学生吸收不好的情况。教师的教学方法单一还体现在不注重解题方法的引导，而是运用题海战术让学生吸收知识，这使得课堂氛围枯燥乏味，不利于提高学生的学习积极性。

2.不注重引发学生思考

部分教师在讲解具体题目时，只考虑当前题目的解法，不注重通过类比拓展知识范围，也不注重从学生的角度出发，探索更易被学生接受的方法。在这种教学模式下，学生的思维具有局限性，知识呈碎片化，教师讲一道会一道，题目只要稍有变换，就不知从何下手。

3.忽视学生的应用能力

在双曲线教学中，有的教师只讲解有关双曲线问题的知识，而忽视了提高学生的应用能力。对于学生来说，实现从数到形的转化，熟练掌握数形结合思想是非常难的，这就需要教师积极引导学生正确认识几何问题，让学生加强代数问题和图形之间的联系，掌握代数问题的思维方法。例如，代数式求最值问题是运用解析几何的方法解决代数问题。

例3：求函数f（x）=+的最小值。

解： f（x）=+=+

f（x）的最小值可看作p（x，0）到A（5，-1）和B（2，3）的距离的最小值，如图1。所以f（x）max=|AB|=5。

分析： f（x）=+=+，这一步大多数学生都可以想到，但缺乏从数到形的转化，所以无法求出最小值。f（x）的最小值可以看作p（x，0）到A（5，-1）和B（2，3）的距离和最小值。

三、提高双曲线教学效率的策略

1.改进教学方法

教师可在双曲线教学中采取多样化教学方法，以促进师生之间的交流，实现课堂教学效果最大化。其中，自主学习法强调学生是学习的主体，让学生独立、自觉地进行学习;讨论法可充分发挥学生的主观能动性，让学生通过师生、生生之间的讨论，思考问题、解决问题;直观演示法主要是通过实物模型、多媒体等，让学生通过观察产生感性认识;练习法分为口头练习、实操练习两种，既可以让学生巩固当堂所学知识，也可以让教师掌握学生的学习情况。

以双曲线的课堂导入为例。教师：大家一起回顾一下，椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？（学生口头叙述，教师在PPT上展示其定义，并给出两种标准方程及其图像。）教师：请同学们拿出准备好的拉链和白纸，小组成员之间合作，看看拉链拉动的过程中，会画出什么样的形状？这就是今天要学习的新的几何图形：双曲线。同学们，再试着思考一下，如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？

分析：本节课的课堂导入采用了多种教学方法，首先，采用复习导入。通过提问，让学生注意力高度集中，口头叙述和PPT展示相当于大脑、嘴和眼睛进行三遍记忆，可以加深学生的记忆。其次，进行小组互动。让学生在讨论中思考问题、解决问题。最后，教师抛出问题，引出新课内容，开始新课讲授。可以说，本节课的教学始终以学生为主体，让学生全程参与，可以实现知识的有效传递。

2.重视提升学生数学应用能力

高中数学涉及部分高等数学的知识，因此，教师可在教学中适当以高等数学的视角给出题目新解，以开拓学生的思维，提升学生的数学应用能力。例如，圆锥曲线题目重点考查圆锥曲线中三点共线问题和斜率公式，因此，教师可以从高等几何的角度出发，建立蝴蝶定理模型，使复杂的问题简单化，不断提升学生的应用意识，让学生发现数学之美，并产生浓厚兴趣。

参考文献：

[1]朱兴炬.高中数学课堂教学中学生解题能力培养的探讨[J].高考，2020（16）.

[2]何军海.基于核心素养的高中数学解题教学实践研究——以“基本活动经验”为例[J].数学教学研究，2019（05）.

[3]杨冬成.一类双曲线型目标函数最大值的求法[J].数理化解题研究，2019（22）.

[4]汪晶.平面几何在解决高中数学问题中的应用[J].高中数理化，2019（04）.

Exploration of Analysis and Countermeasures of Common Mistakes in Hyperbolic Problem Solving

Liu Yurou1， Zhao Linlong2

（1. College of Mathematics and Computer Science， Yan'an University， Yan'an 716000， China;

2. School of Mathematics and Statistics， Ankang University， Ankang 725000， China）

Abstract： Hyperbola is the key and difficult point of high school mathematics teaching， and it is also one of the important test points of college entrance examination. At present， there are some problems in hyperbolic teaching， such as single teaching method， ignoring students' thinking， neglecting students' application ability and lacking mathematical modeling training. This paper analyzes the common mistakes in solving hyperbolic problems， and discusses the strategies to improve the efficiency of hyperbolic teaching： improving teaching methods and paying attention to improve students' mathematical application ability.

Key words： hyperbola; problem solving training; error analysis; strategy

基金項目：本文系陕西省“高层次人才特殊支持计划”项目（立项号：2019TZJH01）、安康学院硕士点培育学科专项（立项号：2016AYXNZX009）研究成果

作者简介：刘雨柔（1997-），女，陕西榆林人，延安大学2020级学科教学数学专业硕士;赵临龙（1960-），男，陕西西安人，二级教授，从事数学教育研究。