结构化视角下数学思想的渗透*

张晞

摘 要 数学思想是数学的灵魂，也是数学知识的一部分。基于结构化学习视角，从发现挖掘、自我建构、循环上升和整体孕育四个方面通过问题引领，探寻数学思想的渗透策略，进而在结构化学习中有效渗透数学思想方法，提升学生的数学学科素养。

关键词 结构化视角 数学思想

《义务教育数学课程标准（2011版）》（下称《标准》）指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”在小学数学教学中，每一个知识点的背后，或者说每一种解题方法、策略教学的背后，都蕴含着相关的数学思想与之联系。在实际教学中，教师或多或少都能关注到数学思想的渗透，但对数学知识背后蕴含的数学思想的认识多数只停留在浅层次上。数学思想方法的教学应该是一个通过长期的渗透才能够形成的思想和方法的过程[1]。如何把数学知识的学习和数学思想的渗透有机结合起来，促进学生对数学知识内容的理解，并帮助他们形成数学思想方法，已成为教师普遍关注的热点。

一、数学思想要在结构化教材解读中发现挖掘

结构化学习认为良好的知识结构是学生获得数学思想方法的基础。《标准》把数学思想方法与知识技能同等地位地呈现出来，我们备课时应基于结构化视角对教材进行追问：本课知识点从哪里来到哪里去？重难点是什么？要解决的核心问题是什么？需要培养哪些学习能力？可以用哪些动词来描述本节课的数学思想方法？通过问题探讨帮助教师弄清楚数学本质，使得有关数学思想方法的教学目标落到实处。

以苏教版《数学》五年级下册“因数和倍数”这一课为例，其教学重点是让学生认识并理解因数和倍数的概念，学会找一个数的因数和倍数，突出有序思考和对自然数相互关系的新理解。教材通过用12个小正方形拼成一个大长方形的直观操作，借助整除的模式ma=b引出因数和倍数的概念。在具体的活动过程中借助每排的个数、排数和总个数之间的关系，让学生感受到每排的个数和排数这两个数量的变化过程，以及它们的对应关系。备课时，我们不仅要看到本课的教学内容远非这几个静态的拼成的长方形，还要深入挖掘其丰富的内涵，要组织学生进行观察、操作、演示、语言表达、画图、书写、符号表征、思考等多种活动，让学生在已有经验的基础上，逐步认识因数和倍数的概念，同时感悟不同的数学思想。在这个过程中，让学生经历从直观的动手拼、动手写中抽象出什么是一个数的因数、什么是一个数的倍数的抽象思想和数形结合思想;认识用除法成对的方法找因数、用乘法找倍数的有序思想、对应思想及函数思想;知道怎样找一个数的因数、倍数快而全的优化思想;感受一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的极限思想等等，这些数学思想共融于本节课的知识学习中，且彼此包容。在众多丰富的数学思想方法中有些是一般的、普遍的，还有些是本课特有的。其中数形结合、有序思考、对应思想等等是从一年级就渗透教学的，我们应不着痕迹地进行，比如函数思想，还有些是本课重点渗透的，我们要着力进行。

二、数学思想要在结构化问学活动中自主建构

小学数学结构化学习着眼于现实世界的意义建构，从数学外部世界中的相关数学元素的提取进入数学内部的加工，成为一个整体结构的建构[2]。在结构化学习中，离开数学活动，思想方法的建构就无从谈起。只有在教师引领下，组织学生积极参与教学过程，触发新知学习的顿悟，学生才能逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。活动引领的知识整体建构的同时可以促发学生数学思想方法的自主建构。

数学知识有一定的序结构，数学思想的渗透同样有它的序结构。知识和思想方法的学习过程一定是学习者自我建构、感悟积累的过程，它经由一个量变到质变的过程。顿悟是结构化学习中不可跨越的一步，也是数学思想形成的重要节点。作为教师，要把握新知探究建构的生长点，每个结构之间的关联点都要实现顿悟，数学学习才有可能真正发生。比如教师在“因数和倍数”教学中，组织两次问题探究活动，为学生充分经历学习过程提供活动机会。第一次，组织学生“用12个小正方形拼成一个大长方形，并用一道算式表示自己的拼法”，让学生在动手操作的过程中感受到12个小正方形的个数即拼成的长方形大小是一个不变的量，拼成的长方形长边变化了，宽边也跟着变化，在变与不变的过程中体会感悟有序的方法和函数思想，同时也为下面根据乘法算式和除法算式成对有序地找一个数的因数作铺垫。让学生在探究讨论中进一步建构两者相互依存的关系，建立对因数和倍数概念的数学模型。在建模过程中教师有意引领和学生无意感悟促进他们对函数思想、对应思想和模型思想的感悟。第二次，通过问题引领，让学生独立记录36所有的因数，并在小组里说一说“你是怎么找的？”然后集中展示典型的三种记录方法，组织对比观察，讨论：“你有什么想说的？”学生通过小组讨论发现，找36的因数如果能有序、不重复、不遗漏是最好的。这时再追问：“怎么样做到呢？”这一问激起千层浪，轻松获得找一个数因数的方法。因为给予学生经历找一个数因数的方法的过程，并在比较中自主感悟和发现有序思考、成对去找的好处，使学生在找因数方法不断优化的過程中感悟有序思考、一一对应的价值，从而建立找一个数因数的思想方法，使得有序思想、函数思想、模型思想的渗透得以自然、自主地生长。这个从无序到有序，由零散重复到不重复不遗漏这个过程正是学生自主建构数学思想方法的极好机会。

三、数学思想要在结构化应用反思中循环上升

根据认知心理学的研究，数学思想的学习应规避“功能固着”，数学新知学习后的结构化练习是数学学习形成素养的重要组成部分，这里通过问题引领的练习反思和感悟既是对数学知识、技能的巩固，也是数学思想渗透提升的重要途径[3]。

1.在仿例变式中巩固循环

“因数和倍数”的新知学习后，教师设计“找一找”的数学活动，“你能找出下面各数的因数吗？”通过问题引领仿例和变式练习，找出24的所有因数，巩固找一个数因数的方法。找后面三个数的因数则是变式练习，是形成数学思想方法更加充实的课程资源，具有一定的挑战性。当方框或字母不确定时，因数也是不确定的，但有些因数是肯定的，比如1和这个数本身一定是这个数的因数等等。突出在变式练习中感悟学习内容的实质，让学生体会从变化中感悟数学思想不变的真谛。这样的变式练习不仅巩固了新学的因数的相关知识，而且把握了因数概念的本质。

2.在解决问题中巩固循环

上面两题既是巩固知识，形成技能，更重要的是突出用表格的形式来体现变与不变的数学思想，更直观地反映排数、每排的人数，以及乘坐人数和应付元数等两个变量之间的数量关系。应用反思是结构化练习功能循环提升的一种策略，也是数学思想方法形成提升的策略，当学生把表格填写完整后，教师追问：“为什么每排人数和排数都是24的因数？为什么应付的元数都是4的倍数？”通过这一思维过程，帮助学生进一步结构化理解因数和倍数的含义，巩固有序思想、对应思想、函数思想和模型思想。

每一次探究、练习和反思都是数学思想方法学习的极好机会，在课堂上我们要适时对数学知识形成过程中的各个环节进行反思，加深对概念内涵的理解和数学思想的感悟。

四、数学思想要在结构化学习迁移中整体孕育

小学阶段数学思想的渗透，不是一两节课能达到的，要结合不同阶段、不同内容的知识学习，有意识地反复孕育同一种数学思想，这一过程一定是螺旋式上升，需要经历较长时间的认识和理解，切忌操之过急[4]。数学思想通过渗透点的理解发现、关联点的触发顿悟、融合点的迁移反思，体验螺旋提升，逐步引发学生对数学思想的感悟和思考，当经验和感悟积累到一定程度时，数学思想就能达到一种呼之欲出的境界。

虽然，数学思想方法教学比数学知识教学有难度，但仍然是有规律可循的，数学思想方法的形成一定是经过多次孕育、初步理解、简单应用的过程。“因数和倍数”这节课的重点是有序思考和对自然数相互关系的新理解。有序的数思想方法，从一年级第一节课“数一数”就开始孕育，其间“认数”“认识图形”“认识乘除法”“解决问题”等新知学习过程中，不断渗透有序思想方法，经过各年级反复孕育，现在学习探索一个数的因数和倍数的方法做到有序，可以说是水到渠成。再如，抽象概括不是一节课就能学会的，学生解决问题或多或少带有一些“试误”的可能，有些虽然解决了问题，但对问题解决的思路、方法乃至结果的正确性没有把握，因此，在解决问题的过程中学会反思是非常重要的。在学生已有认知中对自然数之间的关系以及对“因数”和“倍数”的名词并不陌生，相差关系、倍比关系是他们所熟知的自然数之间的关系。学生已经知道的“因数”可能是乘法算式中的乘数，已经知道的倍数也可能是受到“倍”的影响，在学生已有认知中因数和倍数是两个独立的概念。但“彼因数非此因数”“彼倍数非此倍数”。在教学中，创设相关的问题情境，学生基于自己的认知经验会对与自己认知产生冲突的两个概念提出质疑：“这里的因数和以前学的因数是否一样？这些倍数和今天学的倍数一样吗？”课堂从关联点出发，在關键处慢下来，提出质疑，进行辨析，整体建立对数学概念本质的理解，进而促进学生学会抽象概括的思想方法。

参考文献

[1] 王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[2] 吴玉国.走向深度学习的小学数学结构化学习[J].江苏教育，2017（09）：67-68.

[3] 钟启泉.读懂课堂[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[4] 李光树.小学数学学习论[M].北京：人民教育出版社，2014.

[责任编辑：陈国庆]