有关对称点的星像函数和凸像函数逆的Toeplitz行列式*

张 成， 郭 栋

(①滁州城市职业学院基础部；②滁州职业技术学院基础部，239000，安徽省滁州市)

0 引 言

令Α表示D={z:|z|<1}解析且具有标准形式

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

的f(z)的全体. 用S表示Α中单叶函数全体.

(2)

Das和Singh[2]引入了函数类Cs，f(z)由(1)式给出，满足

(3)

对每任意的单叶f存在逆函数f-1，f-1定义在圆盘|ω|

f-1(ω)=ω+d2ω2+d3ω3+d4ω4+…=ω-a2ω2+

(4)

对f∈S，Löwner[3]得到了f-1的系数dn(n≥2)的上界.

2017年，Thomas和Halim[4]引入了对称的Toeplitz行列式，定义如下

特别地

在D内解析形且Re(p(z))>0，具有形式

p(z)=1+c1z+c2z2+c3z3+…

函数的全体记为P.为证明主要定理，需要如下引理.

引理1[9]假设p(z)=1+c1z+c2z2+…∈P，则存在复数x,ζ(|x|≤1,|ζ|≤1)满足

(5)

在(5)式展开式中，比较z,z2和z3的系数得

(6)

在(4)式，带入(6)式中的a2,a3和a4值得

(7)

(8)

假定c1=c∈[0,2]，利用三角不等式得

证明由(7)式得

像定理1的证明，不失一般性令c1=c∈[0,2]，应用三角不等式得

8c3MN+14c2|x|3M2+28c|x|M2N+c2|x|4M2+

4c|x|2M2N+32c2|x|M+4M2N2+16|x|2M2|=φ(c,|x|)

其中X=4-c2,N=1-|x|2.

(ⅰ)c=2时，φ(2,|x|)=0.

首先求|d2-d4|的最大值.利用(7)式和引理1，经简单计算得

c|x|2(4-c2)+2(4-c2)(1-|x|2)]=φ(c|x|),

其中c=c1∈[0,2].

(ⅰ)c=2时，φ(2,|x|)=0.

4|x|2(4-c2)2+c2|x|2(4-c2)+2c(4-c2)(1-|x|2)]=φ(c,|x|),

其中c=c1∈[0,2].

证明利用引理1和(7)式,对|T3(1)|计算得

类似地，假定c1=c∈[0,2]，将c1=c带入上式，应用三角不等式得

2 Cs逆的上界

证明因f∈Cs,则由(3)式得

(9)

在(9)式两边，比较两边z,z2和z3的系数得

(10)

在(4)式中带入(10)式中的a2,a3和a4值，得

(11)

(12)

假定c1=c∈[0,2]，对上式应用三角不等式得

证明由(11)式得

假定c1=c∈[0,2]，利用|ζ|<1和三角不等式得

66c2|x|3M2+132c|x|M2N+9c2|x|4M2+36c|x|2M2N+

36M2N2+256c2|x|M+256|x|2M2]=φ(c,|x|),

其中M=4-c2,N=1-|x|2.

定理7 若f∈Cs,逆函数的系数由(4)式给出.则有

18c(4-c2)(1-|x|2)]=φ(c,|x|),

其中c1=c∈[0,2].

定理8 若f∈Cs,逆函数的系数由(4)式给出.则有

证明利用引理1和(11)式,对|T3(1)|计算得

类似前述定理的证明，不失一般性，假定c1=c∈[0,2]，将c1=c带入上式，应用三角不等式得