基于泰勒级数展开及其应用探讨

王从徐

（滁州城市职业学院教育系 安徽滁州 239000）

泰勒级数是复变函数的重要知识点，常出现在诸如求解算符、微分方程初值、数值法、概率、近似值等实际问题中的应用。[1]如臧景才等[2]提出基于DV-Hop测距修正的泰勒级数扩展的定位算法，通过估值运算大大降低误差。随着复变函数广泛应用起来，在我国许多高校老师都在研究泰勒级数的应用，同时也是成为了非常重要的数学工具，许多实际问题的解决依赖于对泰勒级数的使用。[3]张威等[4]利用卫星间干扰信号，提出一种基于泰勒级数展开的干扰源定位算法并建立FDOA模型。谢冬冬等[5]在非解析复变系统中通过泰勒展开式提出一种快速求取系统的极限功率和临界电压的方法。本文通过收集资料和在许多数学研究工作者的重要成果基础上，综述解析函数展成泰勒级数的几种方法和应用，并提出对于这几种方法的理解，同时推导出一种新的解析函数展成泰勒级数方法与应用，为泰勒级数在数学函数研究中提供可值得参考价值的见解与研究成果。

1 函数展开成泰勒级数的方法

1.1 直接求泰勒系数法

1.2 代换法

1.3 幂级数的除法和乘法

幂级数的除法一般用于分式中，分式中分子和分母的式子都可以展开成幂级数。解题步骤是：先把分子和分母的式子单独展开成幂级数，然后再相除。而幂级数的乘法一般用于两数相乘中，在函数中两个数可以展开成泰勒级数。解题步骤是：先把两个数各自展开成泰勒级数，最后再把两个数相乘。

1.4 待定系数法

待定系数法是一类可以根据多项式待定系数求解未知数的方法。首先需要把原等式转化为待定系数的新型等式，然后在原来等式的基础上构建包含待定系数的方程组，再对方程组进行求解，过程中需要转变方程式的结构，或代入或合并，将待定系数消除最终得到未知数的解。

1.5 部分分式法

有理数式是指两个多项式的商所示的函数，其一般形式为：时，根据同幂项系数相等的原理，可以求出一组包含待定系数的线性方程，所求出的方程组的解即是所要求的系数。完成部分分式分解后，把函数展成泰勒级数。

2 泰勒级数展开在函数中的应用

2.1 泰勒级数在高阶导数中的应用

2.2 泰勒级数在近似计算中的应用

2.3 泰勒级数在求积分值中的应用

从上述可以看出利用泰勒级数可以精确地计算出反常积分的值，但它仅适用于平常熟悉几个式子泰勒级数时，就可以考虑要泰勒级数。

2.4 泰勒级数在求极限中应用

解：由泰勒展示得：

3 结论

综上所述，通过总结解析函数展成泰勒级数的5种方法和泰勒级数的4种应用举例充分说明在学习高等数学过程中对于泰勒级数的学习与运用是非常重要的。但并不是说只要学会一种泰勒级数展开的方法就能够解决任何一道题，而是需要根据不同的数学函数构成与展开方式运用不同的级数展开方法，因此需要深入地学习泰勒级数的原理、定理，视情况不同运用不同的级数展开求解。本文通过运用实例，一方面体现了泰勒级数的展开在计算中应用的简明性、直观性，另一方面也体现复变函数和数学分析之间深刻联系。总之，泰勒级数展开在数学教学以及各个领域的应用中都是十分重要的数学武器，在面对复杂的数学函数分析中起到至关重要的作用。