化难为简，以策略促高效

张艳

【摘要】初中数学课程有效教学具有重大的研究意义，教师对课堂难点的把握和处理是决定课堂有效性和精彩程度的关键.本文先对课堂难点进行分析，再结合实践，从四个方面论述突破难点的有效方法.

【关键词】初中数学;难点突破;方法

一节数学课的难点教学的成功与否，是评价一节数学课优劣的重要标准之一.教学难点是指学生不易理解的知识、方法或不易掌握的技能.教师帮助学生理解这些知识、方法或掌握这些技能的教学过程，就是常说的突破难点.大部分教师在备课和课堂教学中对教学的重点与难点是很重视的，但大量实践表明，教师的重视不一定带来教学的成功.一些教师能把握教学难点，却很难有效突破难点.这既有教师主观的原因，也有学生认知基础的原因.因此，难点教学是一节课的重中之重，是一节课的灵魂所在.

那么，我们该如何实施难点教学呢？有的教师采用“课上不足课后补”的办法，即布置大量作业，批改作业，辅导作业，必要时“盯关跟”.显然，这样的做法事倍功半，有悖于轻负高效的教学理念.那么我们该怎么做，才能使教学难点有效突破呢？难点的突破其实有规律可循，我们要把握教材，弄清知识的来龙去脉，掌握学生的认知状况，设计出符合知识规律和学生认知的教学方案，在课堂45分钟内高效完成教学目标.

一、合理迁移，突破难点

在数学教学中，类比和换元都有着广泛的应用，可培养学生的迁移能力.这两种方法的基础是观察、比较.教师必须在学生原有知识基础上进行类比教学，使学生系统地掌握知识，让学生在轻松的氛围中学习，获得事半功倍的教学效果.以下是新授课中的类比教學案例.

在“提取公因式法”一课上，学生第一次接触因式分解，难以理解确定多顶式的公因式和另一个因式的方法.教师可通过类比学生在小学时学过的分配律来突破这一教学难点.

通过思考这两个问题，学生回忆了分配律在简便计算中的应用，把数学规律从数字迁移到字母，对因式分解不再感到陌生，反而感到亲切.接下来的学习过程就很顺利了.通过类比，教师把新知识作为学生已有知识的延伸，从心理上拉近了学生和新知识的距离，顺利地把新知识呈现给学生.

利用换元可将烦琐的代数式转化为较简单的式子，在简化的模型中求得问题的答案，这一过程有助于提高学生的思维能力，开阔学生的视野思路.下面来看另一个案例.

笔者在“因式分解”的完全平方公式复习课中给出这样一题：已知（2016-a）（2014-a）=2015，求（2016-a）2+（2014-a）2=.

看到这道题后，很多学生用多项式乘法，把条件中等式的左边化为多项式，又把要求的算式化为多项式，但比较之后就不知道怎么继续了.这时，教师应引导学生观察，使学生发现已知条件中的两个多项式与所求的多项式有相似之处，并给出习题：

教师分析引导：是否可以把2016-a看作m，2014-a看作n？所给条件中还少什么？你会求m-n的值吗？

受到这样的迁移启发，学生恍然大悟.

二、变式串题，突破难点

变式就是通过改变对象的非本质特征的表现形式.如：题设与结论的互换;图形的位置、形状、大小等的变化;规律及语言符号的互译.最终，教师使学生找到变化过程中始终保持不变的因素，透过现象看到本质.这一方法在突破教学难点上是常用的.

例如，“角的大小比较”的难点是角的和差计算及形和数的计算.两个角的和差在教师看起来比较直观，但学生往往不易看出，特别是当两个角部分重叠时.笔者在上课时做了这样的处理：从角平线出发，进行两次变换，让学生充分理解两角和差的本质特征，具体过程如下.

师：如图1中（1），OC是∠AOB的平分线，∠AOC，∠BOC，∠AOB之间有怎样的数量关系？

在笔者的启发下，学生依次回答出下列四个关系式：

①∠AOC=∠BOC=12∠AOB;

②∠AOC+∠BOC=∠AOB;

③∠AOC=∠AOB-∠BOC;

④∠BOC=∠AOB-∠AOC.

笔者逐一肯定，然后开始变换：若把射线OC移到图1中（2）的位置，以上四个式子还成立吗？

生：①不成立，②③④仍成立

这样，笔者就顺利过渡到了两角的和与差这个知识点.而且从形到数，学生很自然地把两者融合在了一起.笔者又进行变换，增加一条线[如图1中（3）]，让学生完成填空：

（1）∠AOB=∠AOC+;

（2）∠AOD=∠AOB-=-∠COD;

（3）∠AOC+∠BOD-∠AOB=.

图形变得复杂了，多了好几个角，但顺着刚才的思路，学生很快完成了前两道填空题.对于最后一道填空题，一部分学生感到为难.此时，教师给了一点提示：可先观察∠AOC+∠BOD等于多少.有学生马上说：“有一部分是重合的.”又有学生说：“可以看作∠AOB+∠DOC.”答案就这样出现了，第三道题应该填“∠COD”.通过两次变换，学生对角的和差及形和数的计算有了较深的感受，本节课的教学难点就这样迎刃而解了.变式的做法不仅有效突破了难点，提高了学生的数学思维能力，还使学生对数学学习的本质有了更深的体会.

三、精心改编，突破难点

在课堂教学中，如果教师一味按照教材的编排上课，那么课堂会显得比较呆板，对学生来说缺少新鲜感和活力.一旦思路遇阻，学生就会觉得无从下手，这种挫败感会打击学生的学习热情.对难点进行改编能激发学生的探究欲望，使学生克服畏难情绪，引导学生自主发现、自主探索新知.

例如，“分式”第一节的教学难点是：分式中分母的取值不能为零，当分母为零时，分式没有意义;当分子为零、分母不为零时，分式的值为零.为了突破这一难点，教师对例题做了如下修改：

教材中原例题 对于分式2x+13x-5

（1）当x取什么数时，分式有意义？

（2）当x取什么数时，分式的值是零？

（3）当x=1时，分式的值是多少？

改后的新例题 对于分式x-2[]x-1

（1）选择一个你喜欢的x的值，求分式的值.

（2）当x取什么数时，分式有意义？

（3）当x取什么数时，分式的值是零？

把原例题（3）问改为新例题的（1）问.这一设计的意图如下：一是设计开放性情境后学生说出代数式的值并不难，教师可让平时很少举手发言、学习稍有困难的学生回答，增加他们的成功体验;二是学生可以脱口而出“x=1，2”，但在代入后发现分母等于零、分子等于零的问题，由此引起思维冲突，引发思考;三是让学生说出“x=1”，保持问题的探索性、挑战性，使课堂“增色”.教师还可设置一些问题引导学生讨论，增加师生互动.当学生说出“1”时，教师追问：“如果取1，结果会怎么样？”学生举手回答：“会使分式无意义.”教师继续问：“那么要使分式有意义，x应满足什么条件？”教师用多媒体出示新例题（2）当x取什么数时，分式有意义？（3）当x取什么数时，分式的值是零？教师再抛出原例题，学生就比较容易突破难点了.

这样一改，课堂教学过程成了学生亲身探究知识的活动过程.教师以学生的生活实际为基础，为学生提供自由表达、探究、讨论的机会，顺利解决本節课的难点——何时分式的值为零.

在综合复习时，笔者给出这样一道题：

图2如图2，AB=6，C，D是线段AB上的两点，且AC=BD=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，点G移动的路径长度为.

这种动态类题目是初中生比较头痛的题，但是这类题对培训学生思维、开拓学生思路是非常有价值的.解本题的关键是学生能作出AE、BF的延长线交于M，从而发现平行四边形MEPF，而点G是平行四边形MEPF对角线的中点.学生无法同时作出这么多辅助线的原因是不能预见本题要用平行四边形的性质解.于是在出示本题之前，笔者先设计并出示了“热身题”：

图3如图3，线段AB=a，P是线段AB上的任一点.在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，AE、BF的延长线交于点H，求证EH+FH的长是恒值.

这一题由浅入深地引领学生思考，避免让学生产生畏难情绪，树立学生的学习自信心，使学生积极主动地投入难题的探究.

四、一题多解，突破难点

在数学教学中，教师经常会看到这样的情况：面对一道比较抽象复杂的题目，学生毫无头绪，无从下笔.如果教师能多角度地理解一个问题，寻找不同的解题方法并进行比较归纳，那么学生对知识点的认识将更全面、更系统.

以“求|x+2|+|x-1|的最小值”为例，大多数学生觉得这道题无从下手，有的学生会在草稿上取一些数尝试代入，但是不能确认答案.教师在分析这一题时可多角度剖析给出第一种解法：

从数学概念上理解，由绝对值法则可知，正数和零的绝对值是它本身，负数和零的绝对值是它的相反数.因此分三类讨论代数式的值：

当x≥1时，x+2>0，x-1≥0，原式=x+2+x-1=2x+1≥3;

当x≥-2且x<1时，x+2≥0，x-1<0，原式=x+2-x+1=3;

当x<-2时，x+2<0，x-1<0，原式=-x-2-x+1=-2x-1>3

进行分类讨论及比较后，学生不难发现代数式的最小值为3.但是下次遇到类似的题型，学生未必能确定字母的边界值而进行正确分类.

在此基础上，教师可从形上分析，给出第二种解法：

两数差的绝对值表示数轴上这两数的点之间的距离.x+2，x-1分别表示x与-2的差和x与1的差.可画图，在数轴上有A、B分别表示的-2和1，另有一点M表示数x.求代数式的最小值的问题转化为使点M到点A，B的距离之和最小.不难发现，当点M在线段AB上时，点M到A，B两点的距离之和最小为3;当点M在点A左边或点B右边时，点M到点A、B两点的距离之和、大于3.

为了巩固知识，教师可设计探究问题：当x时，代数式|x+2|+|x-1|+|x-3|有最小值.

从数和形两个角度解题后，大多数学生能达到学一题、会一类的目标.

一般来说，每堂课都有教学难点，如何轻松有效地突破难点是每位教师应思索的问题.难点教学的有关实践与思考有助于丰富教学设计和教学形式，为学生搭建起攀登数学高峰的台阶，这也是对“学为中心”教学理念的落实.教师必须经常研究教学内容和自身的教学方法，不断提高自己的教学能力，才能更快地成长.

【参考文献】

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[3]袁旭.借助数学实验，提高初中数学课堂教学的有效性[J].中学数学，2020（4）：86-87.