古今中外话记数 亲触演变过程——HPM视角下“认识万以内的数”教学设计

□竺君斐 周 洁

一、教材编排

“认识万以内的数”，是数认识序列中一个重要的知识点。小学数学现行教材中，比较通用的人教版、北师大版、苏教版教材虽然在例题呈现时都没有结合历史，而是省略了其产生时复杂和反复的历程，只保留了严谨的、间接性的逻辑结构，但教材在编排这块内容时却有一个共同点，即在该章节后面设置了“你知道吗”“读一读，讲一讲”等小栏目，补充介绍中国古代记数的方法——算筹记数法。具体见表1所示。

二、问题聚焦与课前思考

学生学习“认识万以内的数”时，已经临近认识自然数的“收官”阶段。在这一阶段的教学中，教师有必要帮助学生梳理自然数产生发展的历史，尤其是结合教材提供的史料，梳理“算筹记数”的发展过程。梳理中要清晰以下三个问题。

其一：为什么要让学生了解算筹记数

站在历史的角度看待数学知识产生和发展的过程，引导学生发现隐藏在数学知识背后的数学思想和方法，让学生体会“数学有着悠久的历史”“数学是人类的文化活动”的道理。

表1

其二：中国古人为什么要创造横向、纵向两种算筹表示方法

从表1 可以看出，算筹用1 根小棒表示1，用2根小棒表示2，若要表示12，就得把十位的1根小棒和个位的2 根小棒放在一起。看上去像3 根小棒，12与3容易造成混淆。中国古人为了区别12与3，发明并规定用横向与纵向两种不同形式表示不同数值的数。

其三：中国古人的算筹记数方法有何优点

中国古人的算筹记数采用“十进位值制”的方法来表示数（如图1），而作为文明古国之一的古埃及，在同一时期采用的是计数单位累加的方法（如图2）。

图1 我国古人用算筹记数法表示6728（北师大版教材二年级下册第26页）

图2 古埃及人用“计数单位累加”的方法表示235

对比以上两个记数法可发现，我国的算筹记数法更简洁方便。我国算筹记数采用的是“十进位值制”，这是我国古人的一大创举。英国著名科学史家李约瑟先生曾对这种记数法予以很高评价。他说：“总的来说，商代的数字系统比古巴比伦和古埃及同一时代的字体更为先进、更为科学。”他还指出：“在中国，只用九个数字同位值名称相结合的记数法，早在公元前14世纪就已经出现了。在印度，则直到公元6世纪，才放弃了对十的倍数所采用的专门符号。”

三、HPM视角下的教学设计

【教学目标】

1.借助数学史料，了解数的发展历史，认识“十进位值制”。

2.经历HPM 视角下动态化的知识演变过程，感受数学史料的文化魅力。通过探究活动，体会数学符号的简洁美。

【教学设计】

1.借助方块直观模型，理解数位意义。

（1）课件有序出示小方块（1 个、10 个、100 个、1000个），复习计数单位个十、百、千。

（2）课件出示235个小方块，明确235由2个百3个十5个一组成。

（3）追问：为什么2、3、5 三个数字可以表示那么多的小方块呢？为什么2可以表示2个百？

（4）归纳：数在不同的数位上，表示不同的数量。个位、十位、百位、千位就是数位。

2.了解中国古代的算筹记数法，探究发现规律。

（1）了解中国古代的算筹记数法。

①课件出示算筹1～9 的图片。介绍2000 多年前，我国古人用算筹来记数。

②介绍算筹记数有横式与纵式两种表示方法。

③观察思考6 为什么改变摆法，明确“以一当五”更简约美观。

④练习。出示算筹记数的图片，请学生说说各图分别表示几，它们各是什么摆法。（略）

（2）尝试用算筹记数法表示235。

①学生独立尝试。

②呈现学生作品。

③交流评价。请学生说说喜欢哪幅作品并说明理由。

④课件演示正确书写方法，在作品3 后面打钩。同时表扬4 号作品，虽然反了，但是他这种纵横交替的思想特别宝贵。

（3）尝试用算筹记数法表示5555。

①学生独立尝试。

②作品反馈。

3.介绍古埃及的记数方法。

（1）介绍古埃及的记数方法。

①课件出示图3，介绍1～9，10，100，1000，10000的表示方法。

图3 古埃及的记数方法

②出示用古埃及的记数方法表示的235。

（2）学生尝试用古埃及的记数方法表示5555。

（3）交流用古埃及的记数方法表示的5555 各部分的含义。

图4 用古埃及的记数方法表示的5555

4.对比古埃及的记数方法和中国古代的算筹记数法，感受十进位值制的价值。

师：对比2000 多年前古埃及的5555 与古代中国的5555表示的方法，你想说些什么？

生：古埃及记数法中的千百十一有专门的符号，而我国古代的算筹记数法是用位置来加以区分的。

生：古埃及的太麻烦，我国古代的算筹记数法更方便。

生：作为中国人，我很骄傲，我们的祖先太聪明了！

5.对比中国古代的算筹记数法和现代记数法。

6.小结。

师：数学追求简洁美，我们学习的数学知识凝聚了一代又一代数学家的努力和智慧。用不同的数位表示个十、百、千，叫作“十进位值制”，它是古代中国人民贡献的智慧。

四、HPM视角下教学设计的价值探寻

华东师范大学的汪晓勤教授将HPM研究价值归纳为“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。HPM视角下“认识万以内的数”一课的教学设计对以上六大价值均有所体现。

了解算筹的记数方法，体会“以一当五”，这是感受“知识之谐”；让学生尝试探究“中国古人表示235 的方法”，体悟的是数学的“探究之乐”；经历“再创造”的过程，明白纵横交替摆法的优势，发挥学生的能动性，是“能力之助”；在古埃及、古代中国算筹和阿拉伯数的记数方法对比中，感受古埃及记数方法的繁杂，体会中国算筹十进位值制的价值，感受古代中国人民的伟大，是“德育之效”；在历史发展进程中，感受数学是不断发展、不断前进的，数学是属于全世界人类的一项文化成果，体会的是“文化之魅”。

这样的设计，将数学史、数学文化知识融入数学教学中，充分体现了HPM视角下“趣味性”“科学性”“有效性”“可学性”“新颖性”五大设计原则。学生学得轻松，学得扎实。