拓界而舒展 多联而悟思*——小学数学拓展性课程的开发策略探讨

□张红波

科技发展日新月异的今天，学生的学习途径日益丰富，学习中体现出的区域特征、个性特点日渐明显。原来的“教教材”的方式已经不能很好地适应现在的教学环境，因此，以学校为主体的、灵活可变的、有针对性的、适合深度学习的数学拓展课程应运而生。

一、拓展性课程的开发现状

小学数学拓展课是指对小学数学教材内容进行扩充、开拓、延伸后展开教学的一种课型。根据学校特色和学生特点开设个性化的拓展性课程，可让学生感受数学学习的乐趣和魅力，从而更为深入地理解、掌握并灵活应用数学，并为其可持续发展奠定良好基础。

然而，受师资条件等所限，目前学校层面开展的数学拓展课程呈现良莠不齐的样态，往往表现为“拓而不展”，只限于难题、偏题或怪题的解决，无知识体系的建构；“展而无序”，内容选择、形式采用无序列，或拿来就用或随意选用，没有依据教学规律或学生实情进行适切拓展；“活而不动”，拓展课堂看似学习气氛活跃，实则缺少数学实验、思维碰撞等体验活动。

二、拓展性课程的建构框架

课程的实施在于课的教学。学校搭建拓展性课程需要“脚手架”，作为日常数学课的延伸与补充，拓展性课程同样需要以发展学生的数学素养为核心，围绕这一核心，可在内容拓展、习得方法、体悟思想、方式革新等方面建构课程体系（如图1）。充分挖掘、盘活各种源于教材、高于教学的教学资源与学习材料，引导学生在探索中理解知识，拓宽数学视野，提升数学素养，加强教学的有效性，提升学生的自主学习力。

图1 拓展性课程建构框架

三、拓展性课程的具体开发策略

教师要有效开发数学拓展课，在日常教学的基础上，多维度、多途径、多联构、多元化予以设计，让拓展课成为一道别样的风景。

（一）多维链接，开拓视界

拓展性课程可突破教材的藩篱，多维度链接课内外教学资源，开拓学生视野。

1.从教材到素材的衔接

基于教材体系的拓展性课程开发，不能只限于教材，教师要善于发掘，可将由习题延伸拓展出来的内容设计为拓展课。如《长方体体积》一课中有这样一道练习题（如图2），原教学目标是考查学生整体观察信息以及信息转化的能力。但深入挖掘此题，可以将其改造加工为“怎样切割容积为最大”的拓展研究课，引导学生从去角法、剪拼法等不同角度进行思考，通过计算发现规律。这就是对一道题目进行挖掘与再造，组织学生进行数学研究的拓展课形成方式。

图2

2.从课内到课外的对接

《义务教育数学课程标准(2011年版)》（以下简称《课程标准》）要求学生面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。生活化的数学问题也是拓展性课程内容的主要来源。目前关于数学阅读的书籍有不少，教师可从中选择适合学生的、生活化的数学问题，融入拓展性课程中，有效开拓学生用数学眼光看世界的角度和方式。如从生活现象中发现的数学问题：《生活中的圆》《包装中的学问》；从自然界的神奇现象中发现的数学问题：《动物中的数学天才》《神奇的角度》；体现数学无处不在的《数学与音乐》《有趣的计时单位》等等，从课内走向课外，不断拓宽学生的数学视野。同时还可利用现代信息技术中的微音频、微视频，通过绘声绘色的图示音像，让学生充分感受到数学就在我们身边。

（二）多种途径，习得方法

教师要打破数学拓展课单一的途径，设计多样态的课程形式。

1.学中悟——设计探究式拓展课

学生异想天开的天性与灵动的思维能力往往使他们在课堂上会有各种意想不到的发现与观点。教师在课堂上除了为学生创设轻松和谐的学习氛围外，还要善于激发学生的创造性思维，抓住来自学生的稍纵即逝的思维火花智慧地进行启发，生成有价值的拓展性教学资源。

例如，在《圆柱的体积》一课中有这样一道题：广场的一侧设有圆柱形挡车柱，挡车柱的侧面积是25.12平方分米，地面半径是1分米，这个挡车柱的体积是多少？

学生一般的解题思路是先求圆柱的高：25.12÷（2×3.14×1）=4（分米），再求圆柱体积：3.14×12×4=12.56（立方分米）。而有位学生提出了一种特殊的解法：25.12÷2×1=12.56（立方分米）。

显然，第二种方法不仅沟通了圆柱与近似长方形之间的关系，而且巧妙地把长方体侧放，利用直柱体的通用体积计算方法（底面积乘高）轻松解答。小小的一个变式，使复杂的问题变得简单化。我们的数学学习中还有哪些像这样的小窍门呢？中高年级的拓展课可以创设类似的探究式拓展课，让学生通过探究诸多数学现象，发现数学本质，以产生“类”的共鸣：转化法、归一法、数形结合等，以简驭繁。这其实是数学建模能力的一种培养，通过数学操作、比较分析、方法提炼，使学生建立起知识与应用的桥梁，抽象出众多表象后的数学思想方法。教师要有意识地设计诸如此类的拓展题，以启迪学生的智慧，使其更为灵活地学数学。

2.做中思——设计项目式拓展课

图3

以项目为引导的任务驱动型小课题也是拓展性课程的一种形式，它可以是基于社会生活实践的研究，也可以是基于课本内容的延伸，如在学习了平行四边形的面积后，可以引导学生开展“车位小研究”的活动，研究为什么生活中有的车位是长方形的，而有的车位是平行四边形的，这其中有什么奥秘吗？学生在活动中展现出不同的思维方式、别样的思考角度（如图4），为数学学习作了精彩的演绎。

图4

深度学习是学生体会数学学习乐趣、减轻数学学习负担的路径之一。教师可以和学生一起商定研究主题，制定研究方案，并搭建交流平台。引导学生利用网络、图书馆等平台查阅资料，开展调查研究，形成研究性材料。在课题成果汇报交流中，学生之间相互补充完善，教师在方法上予以必要的指导，培养学生带着数学的眼光从生活中发现问题、研究问题的能力。教师还可以利用微信公众号，推广学生的研究小成果，以提高拓展性课程的价值。

（三）多重联构，体悟思想

教师可以教材中的“你知道吗”这一栏目为基点，适当加以拓展，通过数学中的经典问题或是数学文化，拓宽学生的数学视野，激发学生学习研究数学的兴趣，体悟数学思想的精妙之处。

1.与经典同频，感悟数学之美

教师可对教材中的数学经典问题进行挖掘，结合不同阶段的数学知识加以有机渗透，以丰厚数学的学习。如人教版六年级上册《比》这一单元的“你知道吗”栏目中介绍了黄金比这一知识，教师可以布置这样一项课外作业——“寻找生活中的黄金比”。学生通过查找材料会发现这一经典问题的无穷魅力。教师可以在此基础上展开教学：从数与形中感受黄金比例的简洁美；从生活现象、植物世界以及著名建筑如法国的巴黎圣母院、埃及的金字塔等感受黄金比例的形式美；乃至在艺术、军事等各个领域中都用到了与黄金比例相关的数学知识，让学生充分感受在生活中数学所蕴藏的“美”和奇妙之处。

2.以文化感人，传递数学思想

《课程标准》指出：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。”那么数学文化的表现形态是否可以从以下两个方面去理解？一是体现与数学内外联系的事物或对象。如数学知识的发展史、数学知识的产生背景、数学家的故事以及数学在日常生活和其他领域中的应用；二是蕴含于数学意识形态和精神领域的因素。如数学知识的形成、发展和应用过程之中的数学思想、方法、观念、意识、精神和数学美等。

数学知识产生发展的过程也是数学文化的一部分，数的产生就是一个很有结构的序列，从石头结绳记数产生自然数开始，发展到小数、分数，因为生产生活的需要，数的分支越来越丰富，越来越细致。分数是学生在小学阶段第一次接触到的非整数的新的数学知识，因此给学生介绍分数的产生，既能帮助学生对分数产生的意义有更深的认识，又能了解分数在产生发展的过程中经历了哪些变化。分数本身是非常抽象的概念，通过图文并茂的讲解，数形结合，学生对此会有全新的认识。数学拓展教学不仅应当关注那些显性的数学知识本身，还应特别关注那些隐性的数学思想，需要把两者的教学有机融合起来，才能使学生真正理解数学，获得对数学的完整认识。

（四）多元活动，提升素养

信息化时代的现今，数学丰盈的活动彰显了数学学习的多样性。

1.设计“数学节”式拓展课，全方位感受数学的魅力

可以利用每年的3 月14 日——π 日所在的一周专门开设数学节，让每一个孩子感受数学的魅力、享受数学学习的乐趣是开设数学节活动最大的价值所在。数学节活动可以形式多样，内容丰富。可以是现场操作竞技类的活动，如低年级的“七巧板拼图”、中年级的“酷玩魔方”、高年级的“数独游戏”等，也可以是“数学手抄报”“制作微课”“数学论文”等专题专项活动，还可以穿插数学课外知识专题讲座、名题欣赏、数学家图片展等活动。活动设计重在体现“基础性”“全员性”“参与性”“操作性”“探究性”，重在激发兴趣，感悟数学思想方法。让学生充分感受到数学的魅力，进一步激发学数学、用数学、研究数学的热情。

2.设计“微课程”式拓展课，全视角留存数学的美妙

微课作为一种新型的教学方式，已越来越被广大教师所重视，数学拓展内容的微课程开发本身就可以作为拓展课的一部分。教师应精选辅助材料，拓展学习空间，开发一些学生喜欢的、有趣的学习内容，让学生参与录制。如制作数学经典“斐波那契数列”微课或者录制有关数学名题解析的视频等，既是课程的学习资源，又是课程内容之一，也为后续拓展课程资源的开发作了很好的素材积累。

综上所述，数学拓展课实施策略的开发，既为其应用提供了保障，也使教师对数学拓展课的认知更为准确而深入，促使课程价值的实现得以最大化。