概率论与数理统计课程应用型教学法研究

包淑华 张 健

（呼伦贝尔学院数学与统计学院，内蒙古 呼伦贝尔 021008）

对高等院校来说，概率论与数理统计课程是理工类和管理类专业的一门重要的公共数学基础课，对学生综合能力的提高和后续课程的学习都有重要作用。下面就相对偏远地区的高校如何切实改善概率论与数理统计课程的应用型教学，提高学生利用所学知识去解决各种问题的能力进行探讨。

一、概率论与数理统计课程教学现状

第一，在高等院校概率论与数理统计课程的教学中存在“重视概率、轻视统计”的现象［1］。甚至有些给非数学专业授课的教师对数理统计部分只做简单介绍或者不讲。主要原因是本课程知识点多，计划学时量有限。第二，对课程理论部分的讲解和练习比较多，对日常生活和学生所学专业有关联的应用型案例讲得偏少。分析主要原因，大部分任课教师擅长理论推导和分析，对授课专业的实践应用不够了解［2］。第三，课程的开课专业较多，但他们对学时量的设置参差不齐，虽然各专业学生的基础与需求大不相同，但授课教师对课程内容没有明确界定，区分度不高［3］。

二、优化概率论与数理统计课程应用型教学的措施

为更好地促进学生自主学习的意识，缓解因学时量有限造成统计学部分的缺失，任课教师要做到以下两点：明确自主学习的重要性，制定学习的方案和细则，科学理性改进课程考核方式，及时验收并听取学生汇报，使学生的自主学习落到实处，切实提高课程的教学质量。

（一）学生自主学习的方案及考核方式

任课教师制定课程自主学习的方案时，既要掌握该课程产生的历史背景和统计思想方面的内容，更需要有统计软件的操作能力，只有这样才能更好地培养学生自主学习、解决问题的能力。学生执行自主学习的方案如下：

项目1：基本掌握概率论与数理统计的起源和发展史；

项目2：会使用两种统计软件，能解决简单的统计问题。

考核方式：项目1在开课后前三周内以2-3名学生为单位提交有关概率论与数理统计的起源、发展历史及统计思想的综述，并以PPT形式汇报；项目2以2-3名学生组成项目组，在结课前提交相应案例的统计软件运行结果，并进行汇报和演示。由于时间有限，全班可分成两组分别选择项目1和项目2来完成。除此之外，为鼓励学生参加相关学科竞赛，可邀请参加过“全国大学生数学建模竞赛”的同学（概率论与数理统计方面的作品）分享参赛经验和获奖作品。

（二）把握课程内容的区分度

授课学院应明确理工类、文管类及不同学时专业的授课计划和考核方式，统一应用型教育的思想，规范应用型教学的内容。如，理工类专业可根据学时量进行随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的数字特征、抽样分布、参数估计等内容；对文管类专业的学生根据高等数学基础较弱等特点，依照学时量适当删减二维连续型随机变量及其分布、参数估计等内容，并加强和保障学生在数学基础知识方面的准确应用。

（三）规范和加强课程网络平台建设

鼓励任课教师建立对应课程的微信群和网络教学平台（如超星学习通、钉钉等）。一方面，方便教师布置学习任务、课下答疑和互动交流。另一方面，教师上传到平台的应用视频案例、学习资料等能随时被学生下载和参考，减少学习的障碍。

三、概率论与数理统计课程的教学与实践

应用型教学法的目的是以“理论与应用相结合”的教学法缩短教与学的距离，提高学生运用掌握的数学知识解决实际问题的能力。下面通过个别案例来说明理论与应用相结合的模式。

（一）理论与软件应用相结合

教师可用经典的“三门问题”作为贝叶斯公式的引入。“三门问题”是来自美国某一电视节目中的游戏，此游戏是在三个关闭的门（编号不妨记为1到3）后分别停放一辆汽车、两只羊。游戏的参与者只能从中选择一扇门，该门打开后参与者就可以免费获得门后的奖品（汽车或山羊）。如果假设，主持人事先已经知道几号门后是汽车，当游戏参与者选择了1号门，而在未打开此门时主持人先开了2号门，并且发现门后是一只山羊。这个时候，主持人问参与者是否要更换最初的选择。如果你是游戏的参与者，是和否会更换选择呢？

从表面上看，由于已经排除了2号门，所以在1号和3号门后是汽车的概率相等，那实际情况果真如此吗？

分析：为使参赛者获大奖（汽车）的概率最大化，我们需要计算两个条件概率。第一，在已知2号门后是山羊的条件下1号门后是汽车的概率；第二，在已知2号门后是山羊的条件下3号门后是汽车的概率。

再由条件概率和全概率公式可得

从上述两个事件发生的概率可知，参赛者若将已选择的1号门改为3号门能让获大奖的概率增加1倍。通过这样一个案例，学生能很自然地掌握并理解这个求“后验概率”的方法（贝叶斯公式）。

除了用上述贝叶斯公式外，教师还可以引导学生自主学习Matlab或python 软件来随机模拟求解“三门问题”。例如，在已知2号门后是山羊的条件下，用python 软件模拟10000次的重复试验，通过分别计算1号和3号门后是汽车的频率来验证上述结论，这样不仅能提高学生学习本课程的热情，还能培养学生的实践能力。下面是使用python的random模块和matplotlib模块绘制的折线图（图1）。

图1

对一些不方便实体操作的案例，教师要会灵活改变试验场景，例如上面的“三门问题”可以改成方便操作的“有奖竞猜”游戏：教师在讲桌上放三个粉笔盒分别记为1、2、3号，其中一个装有粉笔，其他两个均为空盒。让学生猜测哪一个是装有粉笔的盒子，如果猜中了有奖励。假设任课教师事先知道哪个盒子里装有粉笔，如果学生选择的是1号盒，但在未打开此盒之前任课教师打开2号盒，显示该盒是空盒。这时，老师征询该生是否将当初选的1号盒更换为3号盒？通过这样简单的互动，不仅能激发学生的学习兴趣，还能充实应用案例教学的内容，使概率论与数理统计的知识变得形象而生动［4］。

（二）逻辑与思考相结合

《论语·为政》中说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。对一个实用性很强的课程，教师在讲新概念时如果只是介绍定义，那么学生基本只会知其然而不知其所以然［5］。为让学生养成较好的逻辑思维能力，教师要善于启发、设问和增加互动。

例如讲方差的概念时，教师可通过列举有关案例提出问题：怎样用数学的方法去度量随机变量与其期望值的偏离程度？有学生会提出用来表示的想法；但是的正负项能抵消，显然不能很好地反映需要的偏差；而确实能度量与其期望的偏离程度，只因绝对值存在运算不方便的缺点，从而有了方差的定义式。通过这一系列辩证思考，学生对定义能加深理解。

四、结语

为更好地加强应用型教学的目的，将“理论与应用相结合”的教学法引入课堂教学，能够缩短教与学的距离，提高学生运用掌握的数学知识解决实际问题的能力。应用型教学法，无论对学生还是教师都是一种挑战，也是一分收获，既能提高教师的业务水平，又能激发学生学习兴趣学以致用，对培养学生自主思考和创新能力，实现应用型人才的培养起到推动作用。