善用数形结合思想促进学生思维发展

【摘要】本文论述利用数形结合思想促进学生思维发展的方法，建议教师利用数形结合思想引导学生理解算理，掌握计算方法，深化图形认识，精准把握图形概念，探寻有效的问题解决策略，从而发展学生的数学思维。

【关键词】小学数学 数形结合 思维发展

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）05-0105-02

在数学学科中，数表示数量关系，是抽象的符号化语言;形表示空间形式，是直观的图形语言。就小学数学知识而言，能用数来表示的内容有数、运算、方程等，能用形表示的内容有数轴、位置、正比例图象等。在小学数学教学中，数与形相互补充，两者各有优势。这就需要教师在课堂教学中将数与形结合起来，让数学知识具体化、形象化，从而带领学生走进数学世界，提高学生的数学学习能力，发展学生的数学思维。

一、利用数形结合掌握计算方法

在小学阶段，数的认识和数的运算是十分重要的教学内容。小学生的抽象思维比较薄弱，学习数学需要借助生动具体的直观形象，因此，教师要从小学生的思维发展特点入手，将数和形结合起来，通过直观形象的数学特征，帮助学生理解数的运算原理，建构数的抽象概念。

比如，在教学“分数乘分数”的内容时，为了让学生对算法有更深刻的理解，笔者从三个层次展开教学：

第一层次：画图表示

笔者出示一道例题：拖拉机每小时耕地[12]公顷，[23]个小时能耕地多少公顷？学生读题后，笔者让学生根据数量关系画示意图表示，学生习惯用线段图表示（如图1所示）。

笔者引导学生想一想：要表示[12]的[23]用哪一种图示更好？学生发现用长方形图示呈现数量关系更为清楚（如图2所示）。

第二层次：演绎动态过程

笔者让学生根据图示动态呈现整个画图过程。学生通过动态演示，重新梳理分数乘分数的动态过程：一公顷平均分成两份，取其中的一份就是[12]公顷;再把[12]公顷等分成三份，取其中的两份，这就是[12]公顷的[23]（如图3）。

第三层次：总结算法

笔者让学生观察图示中的结果，学生能很容易得到答案[26]。紧接着笔者引导学生思考：6是什么意思？和2有什么关系？两个分数的分子和6有什么关系？通过讨论，学生重新梳理整个计算过程：[12]×[23]=[1×22×3]=[26]，由此深入理解算理。

在以上环节中，教师把抽象的数学算法转化为直观的图形，学生通过可视化的动态图形操作，大大提高了学习效率，深刻理解了分数乘分数的算理“分母乘分母做分母，分子乘分子做分子”，在此基础上对分数乘分数的抽象含义有了更深的认识，从而有效地掌握了计算方法。

二、善用数形结合深化图形认识

在小学数学教学中，通过直观的图形表达，能让抽象的数更容易被学生接受。与此相对，当教师把具象的图形提炼成数量关系，并用学生熟悉的数来表达图形的特征时，会让学生对图形的认识更加深入。在进行图形概念教学时，直观图形的表达并不能帮助学生精确认识概念，这就需要利用数的精确性帮助学生加深对图形的认识，从而有效、精准地把握图形的概念。

比如，“图形的放大与缩小”的内容是比例知识的基础，为了让学生能够将其与生活中的图形变大缩小区别开来，在头脑中建立精确的放大缩小的概念，笔者特意设计了三个层次的教学：

第一层次：从观察入手理解本质特征

笔者先给学生出示一张风景图，然后再将这张风景图放大，并以另外三种形式呈现，让学生观察并找出哪张图片和另外一张图片是一样的。在此基础上，笔者引导学生继续思考：这些图片有什么不同？你能够从中发现什么？（如图4）

学生经过观察比较，发现图片在本质上并没有改变，改变的只是大小。学生头脑中建立了“改变大小，但没有变形”这个印象之后，笔者继续引入第二个层次的教学。

第二层次：发现图形放大的规律

为了让学生通过观察自主发现图形放大的规律，笔者特意在给学生出示的4张图片中，设置了边长为1厘米的方格（如图5所示），并列出了相关的数据，然后让学生结合数据对照比较，找出图片大小的变化规律。学生经过比较后发现，擴大后的图片长和宽都扩大了两倍，根据已学过的知识，学生认识到扩大后的图片与原图的比例为2∶1。这个层次的教学通过学生对数的关系的研究，帮助学生梳理了图形放大的数量关系，由此对图形放大的本质有了深刻的理解。

第三层次：运用数据理解抽象概念

笔者让学生仔细观察原图和改变后的图片，首先隐去图片的内容，让学生将图片的形状看作是一个长方形，长方形的边长是1厘米，然后将长方形的每条边都扩大到原来的两倍（通过方格显示数据），让学生说出扩大后的长方形和原有长方形之间的比是多少。学生结合已有数据，认识到长方形扩大的比例是2∶1。紧接着，笔者让学生反过来进行比较，将图形的每条边都缩短到原来的二分之一，让学生将其与原图相比，看看图形缩小的比例是多少，学生借助这个环节的探究活动认识图形的缩小。通过数据，学生能够清晰地看见并认识到“图形大小变，形状不变”的本质内涵，并能够根据对应边的比的变化，理解“对应线段成比例”的数学内涵。

以上环节，教师先让学生对图形进行直观的比较，初步感知图形放大缩小都不变形的本质，再通过对应边数据的变化，让学生精确认识到图形变大、缩小的比例，最后再让学生结合数据，精确揭示图形放大缩小的概念内涵。通过三个层次的教学活动，学生将原本模糊的生活经验概括为精确的数的概念，由此深刻理解“对应线段成比例”的内涵，提升了学生的学习效率。

三、巧用数形结合探寻问题解决策略

在小学数学教学中，培养学生解决问题的能力是重中之重，数形结合作为一种思想方法，能够帮助学生探寻有效的问题解决策略。教师巧用数形结合，能够让学生在传统的解决方法之外另辟蹊径，积极探索并找到多元化的问题解决策略。

比如，有这样一道习题：计算[12]+[14]+[18]+[116]。很顯然，这道习题具有非常独特的特征，需要学生找到有效的问题解决策略。为此笔者通过四个层次的设计展开教学：

第一层次：观察算式的独特特征

笔者先让学生仔细审查算式中的加数的特点，找出其中独特的地方。学生发现，这道算式中的4个加数都是分数，分数的分子都是1，后边分数的分母总是前一个分数的分母的2倍。

第二层次：用常规算法解决问题

笔者让学生结合已经学过的知识，思考用什么方法进行计算。学生认为可以运用通分的方法，将4个加数转化成同分母分数，再进行计算。也有学生提出，将这些分数转化成小数，然后再进行相加计算。

第三层次：寻找特殊的非常规的解决办法

为了启发学生找到非常规的解决方案，笔者特意在算式后添上了两个分数[132]和[164]，然后引导学生思考：想一想，如果我们用一个面积是1的正方形表示这个算式，你会怎么表示呢？学生经过讨论后认为，可以在这个正方形中涂色表示每一个加数，第1个加数是[12]，就将正方形的一半涂色，接着再涂出[14]。就是在正方形一半的基础上，涂出其中的一半。当学生涂色到[116]时，学生发现正方形还剩下一小块没有涂色的空白部分，这一部分正好和[116]相等。这也就是说只要用1-[116]，就可以得到这道题的结果。学生顺利找到了解决方法，在此基础上，笔者又增加了难度：如果加数再增加一个[132]或者[164]，该怎么计算？学生根据已有的解决策略，能够很快得出答案。

第四层次：建构问题解决策略

学生经过探索，找到了问题解决策略，此时笔者引导学生回顾整个过程，反思使用了什么策略，并进行课堂交流，让学生理解数形结合的思想方法。学生发现，先用通分再计算的传统方法比较麻烦，可以通过数形结合的方法构造一个面积是1的正方形，然后通过涂色表示每一个加数相加。通过涂色，学生能够直观地看到这一类分数计算题所隐含的规律：每个加数代表正方形的一半，以此类推其中剩下的一半，剩下的面积正好与最后一个加数相同。通过直观的图示，学生能够将顺向的求和问题进行转化，使其转化为简单的逆向求差的问题。

以上教学环节，教师借助数形结合，将复杂特殊的分数计算这个“数”转化为直观的“形”，引导学生经历正方形涂色的过程，通过涂色寻找问题解决的策略。学生借助图形涂色转换思维角度找到了逆向求差的解决策略，最终使复杂的数学问题顺利转化为简单的数学问题，实现了高效学习。

总之，教师应深入研究教材，充分挖掘知识背后隐藏的数学思想，将数形结合落实在课堂中，引导学生反复进行体验和感悟，让课堂教学更高效。

【参考文献】

[1]李志云.数形结合思想在小学数学中的应用[J].数学教学通讯，2019（1）

[2]李长皞.数形结合思想在小学数学课堂教学中的重要作用及应用方法[J].华夏教师，2019（13）

[3]何彪元.小学数学教学中数形结合思想的融入与渗透[J].名师在线，2019（22）

[4]李强.例谈小学低年级数学教学中数形结合思想的渗透[J].基础教育论坛，2019（31）

[5]张玉翠.数形结合巧运用 思维能力妙培养[J].名师在线，2020（10）

作者简介：陈世辉（1971— ），女，广西玉林人，大学本科学历，教育学专业，一级教师，研究方向为小学数学教学。

（责编 雷 靖）