基于混沌分形理论的故障电弧诊断方法研究

苏晶晶， 许志红

(1.福州大学 电气工程与自动化学院，福州 350116；2.闽江学院 计算机与控制工程学院，福州 350108)

0 引 言

在低压用电系统中，故障电弧受故障原因、燃弧工况、线路负载性质等因素的影响，电弧的演化过程具有不确定性。通过对电弧电流的时域、频域、时频域特性的分析[1-4]，虽然能够获取燃弧前后线路电流的突变量，但是对于初始燃弧阶段或小电弧，线路电流中的电弧特征信息十分微弱，故障发生前后区分度小，容易被忽略。对于用电负载不确定的电气线路时，负载正常工作电流与故障电弧电流的波形特性可能非常相似而不易区分。对于多种不同性质、不同容量的负载并联运行的电气线路，若只在某一支路产生间歇性电弧现象时，电弧的特征信息可能被其他线路的正常信号湮没[5]。此外，传感器的精度、数据采集硬件电路的电磁兼容问题、环境的干扰、负载自身噪声等都可能导致正常电流含谐波噪声。这些都使得仅仅依靠线路电流的时域、频域特性无法完全表征电弧，出现误判或漏判。

文献[6-7]分别对开关电器中空气电弧和SF6断路器中的电弧的混沌行为展开研究，表明开关电弧具有混沌特性。文献[8-9]证明了故障电弧的弧声信号同样存在混沌特征，基于此提出了故障电弧的早期预测方法。论文将以电弧发生前后，线路电流时间序列为分析对象，利用混沌分形理论对间歇性电弧的混沌分形特性进行定性、定量分析，提取基于混沌分形特征的电弧空间域特征向量，并建立故障电弧诊断模型，为电弧的检测与识别提供依据。

1 混沌分形理论

由于用电系统的正常电流具有周期性，电弧故障发生时，电弧电流的基波频率仍近似于正常运行时的基波频率。对于这种周期性的时间序列，为了充分的揭示电弧的演化行为，要求分析样本的数据量要足够长。假设电流时间序列为

i={i(t1),i(t2),……,i(tk),……,i(tN)}，

(tk=t1+(k-1)T，k=1,2，……，N)。

(1)

式中：i为电流；tk指第k个采样点所对应的时间；T表示采样周期；N表示最大采样点数。每次分析的样本数据采用滑动窗函数法进行确定，其中时间窗、平滑窗分别取10个电源周期、一个电源周期。

1.1 相空间重构方法

重构电流时间序列的相空间，将一维电流数据映射至三维甚至更高维的空间，使其形成有规则、有形的吸引子轨迹，实现从空间视觉揭示电流时间序列的内在机制，同时隐藏在电流中的电弧信息将被显现出来。

设电流时间序列的分析样本数据为{i(t)}，对其重构m维相空间I={Ik}，可表示为：

(2)

式中：Ik为相空间中的点；M为重构相空间的向量个数；τ为延迟时间；m为嵌入维数。在重构电流时间序列的相空间时，τ和m是非常重要的参数，直接影响到分析结果能否充分反映时间序列的空间性质。利用自相关法、复相关法、G-P算法、伪邻近点、时间窗口法、C-C算法等方法都能对τ和m进行求解，这些算法各具优缺点[10-11]。

Takens定理指出，重构无噪声、无限长、无限精确的时间序列的m维相空间时，只要满足m≥2倍的吸引子的维数+1，混沌吸引子就能不受坐标系延时时间的影响而全部恢复[12]。然而，实验采集到的电流时间序列是含有噪声的有限长的数据，且传感器精度、硬件采集电路、环境干扰等因素都将使得采样的数据存在测量误差。因此，τ和m存在相关性。基于此，论文采用改进的C-C算法[11]求解τ和m。该方法利用关联积分能够实现对τ和最优时间窗口τw的同时估计，使得τ与时间序列各数据点i(tk)相互依赖，且依赖于τw，解决了τ和m互不独立的问题。τw可表示为

τw=(m-1)τ。

(3)

1.2 混沌和分形特征参数

1.2.1 盒维数

假设F是Rn空间的任意有界几何图形，利用若干个边长为r的n维立方体(盒子)对F进行覆盖。当r→0时，若存在一个实数d，使得盒子的最小数目Nr(V)满足条件Nr(F)∝r-d时，则定义d为F的盒计数维数，简称盒维数[13]。这里采用像素点覆盖法对二值图像中有效像素点数进行统计。

为了实现像素点的全部覆盖，利用几何阶网格划分方法[14]，将相空间图形转换2n×2n方形的二值图。假设网格的边长是一个随着划分次数逐渐增长的动态数值，在每一次划分后图像的像素都将全部被网格覆盖，通过计算每一个大小相等网格内覆盖的有效像素点个数，并进行求和计算，最终将获得方形图像的全部有效像素大小，这就是所谓的几何阶网格划分法。设网格半径r(k)=2k-1，k表示图像反复划分的次数，最大的划分次数为n，即r的取值范围为2n-1≥r≥1，且前后2次划分网格的大小相差2倍，当图像的全部像素被覆盖后，所有网格内的像素点总数即为盒子总数。对于不同边长r的网格，二值图像每次划分后盒子总数Nrk为：

(4)

式中：P为二值图像的数值矩阵；r(k)为网格的边长，r(k)=2k-1；Ng为每次划分后总的网格个数，Ng=2n-k+1。通过计算不同的r(k)下的总盒子数Nrk，就可以计算得到若干个双对数点[-log10r(k)，log10Nr(F)]。最终可采用线性拟合方法得到一条以-log10r(k)为横坐标，log10Nr(F)为纵坐标的双对数曲线，其斜率就为盒维数Db。

1.2.2 关联维数

关联维数是混沌分形理论中用于度量相空间的复杂程度的重要参数。在m维相空间中，关联积分为相空间内点与点之间的距离小于r的概率[14]，即

(5)

若r→0，关联维数可以写成

(6)

因此，双对数曲线lnr～lnCm(r)在无标度区间的斜率[14]，即为关联维数D2(m)。

1.2.3 最大Lyapunov指数

Lyapunov指数描述了两相邻初值点随时间推移按照指数方式分离现象[12]，其值与相空间轨道的发散速度和样本序列的混沌程度有关。论文采用小数据量方法估算λ1，即估计重构相空间后吸引子轨道上各点Ik的最邻近点的平均发散速率[15-16]。λ1的估算式为：

(7)

式中：Δt为样本时长；hk(0)为短暂分离的两点最小距离；hk(j)为经过j个离散时间后的点间距；fP为时间序列的平均周期。当λ1>0时，认为该分析样本呈现混沌状态。

2 故障电弧诊断模型的建立

为了实现故障电弧的检测与识别，借助概率神经网络(probabilistic neural network，PNN)构建电弧的诊断模型，其结构如图1所示。输入层是诊断模型的第一层，将特征向量乘以加权系数Wj得到的标量积Inet输入至模式层，该层神经元个数为特征向量的维数；模式层是第2层，该层以指数函数gj为激活函数训练样本，每个神经元的概率密度通过Parzen函数求解；求和层是第3层，该层对模式层中同类输入向量的神经元的概率密度做加权平均，得到各类输入向量的估计概率密度；输出层为基于Bayes决策准则的判决层，通过选择后验概率最大的类别作为样本的实际分类结果[5,17-18]。

图1 PNN网络结构Fig.1 PNN network structure

电弧诊断模型实现步骤如下：

1)采集线路电流、电压波形，并进行降噪。

2)重构电流时间序列的相空间，求解混沌分形特征参数，建立空间域特征向量T=[Db，D2，λ1]。

3)样本数据库的构建。将电弧多维特征矩阵分为训练样本、测试样本。电弧诊断模型的特征矩阵的样本库表示为

TNLT×s=[DbNrkD2Nrkλ1Nrk]，

(Nr=1，2，…，NLT；k=1，2…，s)。

(8)

式中：t为特征矩阵的时间点；s为每个独立状态的样本个数；Nr为用电系统的运行状态标识号；NLT为用电系统的总运行状态数。

4)模型的训练。把训练样本作为输入对电弧故障诊断模型进行训练，并根据训练效果更新平滑参数，以改进模型，从而达到最佳的诊断效果。

5)验证模型诊断效果。将测试样本输入诊断模型，对样本的运行状态和负载进行辨识。

3 实验分析

利用自行研制的电弧故障实验平台进行实验，如图2所示。为了重现不同原因引发的故障电弧现象，研制了3种电弧故障模拟发生装置，分别是模拟接线端子接触不良产生故障电弧的拉弧装置、相间并联金属性短路产生故障电弧的电缆切割装置和因电缆绝缘老化、破损形成碳化路径通道时产生故障电弧的碳化电缆试验装置。实验负载为烧水壶、导通角为60°的电子调光灯、卤素灯、手持电钻、真空吸尘器、空气压缩机、开关电源、多种灯并联运行、吸尘器与开关电源并联等，采集不同实验条件下线路电流波形数据进行分析。

图2 电弧故障实验平台示意图Fig.2 Schematic diagram of arc fault experimental platform

将每次获取的电流波形分为正常运行时、过渡期、燃弧期3个阶段，如图3所示。其中，电弧未产生前的线路电流波形认为是正常运行阶段；当电弧燃烧时的线路电流波形认为是燃弧期波形；从正常运行阶段发展至有弧的阶段的中间区域，定义为过渡期，即过渡期的电流波形包含若干周期正常运行电流波形和电弧刚燃烧时若干周期的电流波形。

由图3可见，不同负载的线路在不同运行阶段具有不同的波形特性，如在正常运行时，导通角为60°的电子调光灯、卤素灯、真空吸尘器、开关电源负载、吸尘器与计算机负载并联运行等负载线路的电流波形存在零休期；在燃弧期，开关电源的线路电流出现间歇性现象。

图3 不同负载线路的电流波形Fig.3 Current waveforms under different loads

3.1 故障电弧混沌分形特性的定性分析

以空气压缩机和开关电源负载线路为分析对象，重构不同阶段的电流时间序列的相空间，对应的三维相图如图4所示。

图4 重构相空间轨迹图Fig.4 Reconstruction of phase space trajectory diagram

对于空气压缩机线路，电机自身存在漏感，正常运行阶段，线路电流并非是标准正弦波，电流上升率和下降速率相对于阻性负载的正弦电流变化缓慢，相空间轨迹线为四边向内凹陷的矩形环状。在过渡阶段，相空间轨迹线的变化情况出现凸起和分散的轨迹线。燃弧阶段，相空间轨迹线逐渐中心交叠，形成双环螺旋体。由于电弧噪声的影响，相空间中相点出现错位，使得轨迹线存在凸起和毛刺，如图4(a)所示。

对于开关电源线路，其原副边开关管和电子变压器均工作在高频工作状态，时域电流波形为一系列瞬时三角脉冲波形，其吸引子的运动轨迹为沿中心轴线旋转的奇怪形状体。发生故障电弧时，电弧电流出现不稳定变化，并且可能出现半波丢失的断续现象，此时相空间轨迹线开始发散，并将逐渐形成上下两端为网形的漏斗状结构，如图4(b)所示。

综上所述，电流时间序列的重构相空间轨迹图中蕴含了电流的空间特征信息，这些信息以不同的几何形状直观的呈现。对于不同的负载，当同处于正常运行状态或同处于电弧故障状态时，各自的电流时间序列的重构相空间轨迹线可能为不同的奇异形状的图形。由此可见，电流空间域特征信息与负载工作性质有关。对于同一个负载而言，在不同的运行阶段，重构相空间轨迹线也呈现不同的几何形状，说明电流时间序列的混沌分形特性对电气线路运行状态的改变具有敏感性，即电流时间序列的空间特征信息将随着电气线路运行状态改变而发生变化。

3.2 故障电弧混沌分形特性的定量分析

计算上述2种负载线路的混沌分形特征参数，分析故障电弧的演变过程，如图5所示。

正常运行时，电流时间序列的演化过程相对稳定，根据重构相空间的分析结果可知，各类负载的电流时间序列的相空间轨迹的几何形状具有稳定的规则的形貌，混沌吸引子几乎处于稳定运动状态，吸引子轨迹线的几何形状几乎保持不变。由图5可知，这一阶段的各个特征量浮动范围较小，且最大Lyapunov指数的值大部分都大于零，这说明即使处于正常运行阶段用电系统也同样具有混沌特性；这是由于在正常运行过程中，虽然用电系统能够稳定运行，但是会受到负载自身工作性质、外界干扰和电网电力波动的影响，同时在信号采集过程中，硬件电路的设计、传感器的性能以及采样精度都会使得实际采集到的时间序列含有电源噪声、电磁干扰等一系列的固有噪声，使得线路电流具有混沌特性。

图5 混沌分形特征曲线Fig.5 Chaotic fractal characteristics curves

线路从无弧到有弧的过渡阶段，电流时间序列向电弧电流演变，原来正常周期变化的趋势将被打乱。根据重构相空间分析结果可知，由于电弧信息微弱，电弧引起噪声使得相空间的相点出现错位，混沌吸引子的运动轨迹开始发生偏离，并且轨迹线可能出现凸起和毛刺。对应于图5的混沌特征曲线可知，这一阶段Db和D2均呈现上升趋势，这表示吸引子轨迹线越加复杂；λ1变化趋势受负载性质的影响呈现不同的变化趋势。

在燃弧阶段，线路电流时间序列受燃弧过程的影响将发生畸变。根据重构相空间的分析结果可知，相空间相点发生错位，混沌吸引子运动轨迹严重偏离轨道并可能出现交叠，相空间轨迹线形状随着电弧的燃烧发生畸变，并发展为奇怪的形状。尤其是非线性负载，如空气压缩机、真空吸尘器、开关电源等，相空间轨迹线更加怪异。这是由于电弧的存在使得非线性负载的内部的电子控制电路运行机制发生改变，从而运行在非稳定运行状态，并导致线路电流的畸变并产生大量的噪声。这些噪声与电弧噪声叠加，使得相空间的相点严重偏离原轨道，出现大量杂散的轨迹线。由图5可见，除混沌特征量在燃弧阶段的值将大于正常运行阶段的值，说明电弧发生后，用电系统的混沌分形特性更加复杂。然而，这一阶段各个特征指标并非稳定值。这是因为故障电弧形成后，一方面交流电周期过零点使得电弧在过零后周期性的熄灭，而电弧重燃与否，与其燃弧条件有关，一旦无法满足重燃条件，电弧将熄灭；另一方面，受负载容量、负载性质、燃弧介质、周围环境等因素的影响，电弧的燃烧过程并不稳定且随机性强，尤其是对于间歇性电弧和小电弧，电弧电流将表现为电流半波丢失或者全波丢失的情况，这使得混沌分形特征量将可能出现下降趋势甚至出现负值。

将3种混沌分形特征参数进行融合，形成电弧空间域特征向量，如图6所示。可见，相对于发生故障电弧时，正常运行电流的混沌分形特征向量分布范围相对集中。在不同运行状态时该特征向量具有不同的分布趋势，尽管存在小范围的重叠区域，但是在一定程度上仍然可以区分出正常运行状态和发生电弧状态。

图6 混沌分形特征向量的三维分布图Fig.6 Three-dimensional distribution map of chaotic fractal eigenvector

3.3 基于混沌分形理论的故障电弧诊断模型

针对上述负载，分析获取在不同工作状态下，混沌分形特征向量作为训练样本，建立故障电弧诊断模型。每种负载在正常运行状态和线路发生电弧状态随机各选取50组作为训练样本并进行分类排序，即前450组为依次为各类负载在线路正常运行的特征向量，后450组为依次为各类负载在线路发生电弧时的特征向量，用于训练诊断模型。同时，另取900组特征向量矩阵作为诊断样本，用于对电弧诊断模型识别电弧准确率进行验证。

将提出的方法与基于电流周期差异量的电弧检测方法进行对比分析，检测效果见表1。方法1以线路电流周期差的归一化幅值作为电弧的特征量，并通过取正常运行阶段计算得到的最大值作为电弧检测依据，当实时计算值大于该阈值时认定线路存在电弧，反之，线路处于正常运行状态。该方法属于单变量判据的电弧检测方法。方法2为本文提出的方法。

表1 不同方法下的电弧检测率Table 1 Arc detection rate of different methods

由表1可见，正常运行时，方法1能准确识别正常运行状态，而方法2对正常运行时的样本识别准确率较低。发生电弧故障时，方法1 的电弧诊断准确率最小，方法2的准确性明显得到提高。这是因为电弧电流的时域特性受到实际运行环境、负载类型、负载容量和燃弧炽烈程度的影响，使得电弧特征阈值可能发生变化，如图7所示。

图7 周期差值-归一化幅值法的检测效果Fig.7 Effect of periodic difference-normalized amplitude method

对于不同的用电线路而言，在正常运行时，由于线路电流具有明显的周期性和稳定性，此时的电弧特征量的上下浮动较小。而在发生电弧时，由于电弧的燃烧是一个复杂的动态变化过程，这一阶段的电弧特征量的变化趋势并非完全相同。当燃弧过程随着时间的推移愈加炽烈时，电弧电流相邻周期变化明显，使得电弧特征量呈现上升的趋势，如图7(a)所示。当电弧在某一时间段内稳定的燃烧时，电弧电流的周期变化趋势相对稳定，电弧的特征量变化趋势平缓，甚至可能仅是略微大于正常运行阶段，甚至小于正常运行阶段的情况，如图7(b)和图7(c)所示。此外，对于非线性负载而言，受自身运行过程中噪声的影响，电弧的特征信息被运行噪声湮没，导致特征量提取时存在阈值选取困难的问题，如图7(d)所示，燃弧前后，电流周期差的归一化幅值区分度不高。因此，利用方法1进行电弧检测时，存在着漏判的问题，检测率相对较低，且不同负载的判断阈值不同。而方法2通过多种不同角度获取的电弧特征量能够弥补单变量判据因运行工况的改变而导致特征量波动和阈值选择困难的缺陷。

利用上述2种方法，在线路正常运行时和发生电弧时对线路负载线路进行辨识。实验发现，方法1没有判断未知负载线路运行状态的功能。这是因为依赖单一时域阈值进行故障电弧检测的前提条件是在已知线路负载类型的情况下提取故障电弧阈值判据，未知负载时该判据无法准确获得。而方法2能够实现对未知负载线路的辨识，结果见表2。

表2 在未知负载下，负载线路识别结果Table 2 Identification results under unknown loads

由表2可见，在正常运行时，方法2对未知负载的辨识准确率超过90%。但当电弧故障发生时只在70%以上。这是因为电弧故障发生时，不同负载的空间域特征向量存在重叠和交叉区域，降低模型辨识负载的准确性。为了提高故障电弧检测的精度和线路负载辨识效果，将方法1提取的电弧特征量与方法2提取的电弧空间与特征量进行融合，改进电弧故障诊断模型，其识别结果见表3。

实验结果显示，正常运行检测率为98.2%，电弧故障发生时检测率为95.6%，相比于表1的结果可见融合了电弧时域特征与空间域特征的电弧故障诊断模型能够提高电弧故障检测准确率。同时，由表2和表3可见，改进的电弧故障诊断模型在一定程度上改善了未知线路负载的辨识效果，但是对于多种负载并联的线路辨识效果并未得到提高，如吸尘器与开关电源并联线路。

4 结 论

针对低压电弧的电气特性的不确定影响因素多、间歇电弧和小电弧的时间-频率特征信息不明显或被湮没等问题，利用混沌分形理论研究交流故障电弧电流的空间特性并建立故障电弧的诊断模型，以弥补时间-频率特性在检测故障电弧的不足。

1)通过对电流时间序列重构相空间和混沌分形特征参数分析可知，发生电弧故障时，线路电流的相空间轨迹出现凸起、交叉等现象，并逐渐发展为不规则的怪异几何形状，混沌分形特征参数值通常大于正常运行状态，且以非单调变化的趋势改变。对于处于同一运行阶段的不同负载，电流的相空间轨迹和混沌分形特征参数也并非完全相同，通常非线性负载具有较强的混沌特性。

2)建立了基于电弧空间域特征向量和PNN神经网络的故障电弧诊断模型，实现了对不同负载线路故障电弧的检测和对未知负载线路的辨识。通过不同方法的对比实验发现，融合电弧时域特征量和空间域特征量的电弧故障诊断模型能够改善电弧故障检测的效果。

由于实际交流用电系统实际运行工况复杂，负载种类呈现多样化，论文试验结果仅针对文中所述的9类负载线路，未来将继续深入研究故障电弧特性，建立具有代表性的故障电弧特征参数库，将故障电弧的时间-频率特性参数与空间特性参数进行融合，优化电弧故障诊断模型，弥补空间域特征参数交叠所带来的误判问题。