数学问题解答
2021-03-24江苏省徐州市第一中学张培强221140
(江苏省徐州市第一中学 张培强 221140)
(安徽省旌德中学 赵忠华 242600)
(河南省方城县教研室 邵明宪 473200)
(安徽省南陵县城东实验学校 邹守文 241300)
2021年1月号问题解答
(解答由问题提供人给出)
2581如图1,半径为r、R的⊙B、⊙C外切于点A(R>r),两圆的一条外公切线与⊙B相切于点D,与⊙C相切于点E,点H1、H2在BC上,且BH1=CH2.过点A作DE的垂线,与过点H1垂直于BC的直线相交于点F1,与过点H2垂直于BC的直线相交于点F2. 求证:
图1
(北京市朝阳区教育研究中心 蒋晓东 100028;北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校 郭文征 100121)
证明如图2,连接BD、CE,过点B作BM⊥CE于点M.
图2
因为DE为⊙B、⊙C的切线,D、E为切点,
所以BD⊥DE,CE⊥DE.
所以四边形DBME为矩形.
所以BM∥DE,BD=EM.
所以CM=CE-BD=R-r.
则△F1H1A∽△BMC.
因为BH1=CH2,所以BH2=CH1.
所以BH1+BH2=BH1+CH1=BC.
注意到AH1=BH1-BA,AH2=BH2-BA,
所以AH1+AH2=BH1+BH2-2BA
=BC-2BA=BA+AC-2BA=AC-BA
=R-r. ④
由③和④得
在Rt△BCM中,由勾股定理,得
当且仅当点H1、H2重合为BC的中点H时,不等式中的等号成立.
2582设a,b,c,d>0,a+b+c+d=4.求证:
abcd(a2+b2+c2+d2)≤4.
(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)
证明应用调整方法证之.
记f(a,b,c,d)=abcd(a2+b2+c2+d2).
这等价于abcd(a2+b2+c2+d2)
等价于ab(a2+b2)+ab(c2+d2)
显然成立.
这时,所要证明的不等式等价于
f(x,x,y,y)≤4,也就是 2x2y2(x2+y2)≤4,
注意到xy≤1,所以,只要证明
(2xy)(x2+y2)≤4,
由基本不等式得
综上,知所要证明的不等式成立.
(江苏省徐州市第一中学 张培强 221140)
解设A(acosθ1,bsinθ1),
B(-acosθ1,-bsinθ1),
C(acosθ2,bsinθ2),D(acosθ3,bsinθ3),
所以
(k1+k3)(k2k4+k2k5)
=(k2+k4)(k1k3+k4k6),得证.
2584在△ABC中,三内角A、B、C所对边长分别为a,b,c,外接圆、内切圆半径和半周长分别为R、r和s.试证:
(浙江湖州市双林中学 李建潮 313012)
证明在△ABC中,由三角形恒等式
有 cosA+cosB+cosC
其次,在(1)式中作三角形代换
有
即
(2)
最后,将三角形恒等式
问题得证.
2585如图,点I为△ABC的内心,直线AI,BI,CI分别交线段BC,CA,AB于点D,E,F,记S△BID=S1,S△CID=S2,
(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)
2021年2月号问题
(来稿请注明出处——编者)
2586如图,⊙I是△ABC的内切圆,D,E,F分别是圆与边BC,CA,AB相切的切点,射线DI和EF相交于K.证明:AK平分BC.
(安徽省旌德中学 赵忠华 242600)
2587设a,b,c,d>0,证明:
(河南省方城县教研室 邵明宪 473200)
2588如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3,求证:∠ABC=60°.
(安徽省舒城县杭埠镇中心学校 丁遵标 231323)
2589试证明ex+4x4lnx≥x5+x4.
(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )
(安徽省南陵县城东实验学校 邹守文 241300)